Как подготовиться к IB Math AA (SL и HL): план на 12 недель

IB Mathematics: analysis and approaches (AA) является более алгебраическим из двух курсов математики Diploma Programme (DP). IB описывает его как курс с сильным акцентом на умении строить, излагать и обосновывать верные математические рассуждения. В DP можно выбрать только один курс математики, и AA существует на двух уровнях: стандартном (SL) и углублённом (HL).

Большинство советов о подготовке к IB Math AA общие: решайте прошлые работы, выучите сборник формул, начните внутреннее оценивание пораньше. Всё это верно. Этот материал опирается на документы самого IB: описание предмета (subject brief), сборник формул и правила использования калькуляторов. Здесь разобраны работы на обоих уровнях, место материала только для HL, что сборник формул даёт и чего не даёт, и план на 12 недель по пяти темам программы. Параллельно можно тренироваться в пути IB Математика AA в Math Zen.

SL и HL: три работы или две

Описание предмета IB для курса, который впервые оценивался в 2021 году, задаёт оценивание на обоих уровнях.

Компонент	Что это	Время SL	Вес SL	Время HL	Вес HL
Paper 1	Без техники. Раздел A с кратким ответом, раздел B с развёрнутым ответом	1 ч 30 мин	40%	2 ч	30%
Paper 2	Техника разрешена. Раздел A с кратким ответом, раздел B с развёрнутым ответом	1 ч 30 мин	40%	2 ч	30%
Paper 3	Только HL. Две обязательные развёрнутые задачи на решение проблем, техника разрешена	нет	нет	1 ч	20%
Исследование	Внутреннее оценивание, пишется во время курса	около 15 ч	20%	около 15 ч	20%

Все задания обязательны. Экзаменационные работы дают 80% оценки на обоих уровнях, исследование даёт оставшиеся 20%.

Оценки ставятся от 7 (высшая) до 1. IB даёт одинаковые баллы диплома за оценку HL и за оценку SL, и оба уровня оцениваются по одним и тем же описаниям оценок; от учеников HL ожидают того же на большем объёме материала. Обзор оценивания DP от IB объясняет, как оценки по предметам складываются в итоговый балл диплома.

Для планирования важна одна дата. Согласно странице IB о математике, текущий курс сдаётся в последний раз в ноябре 2028 года, а новая программа преподаётся с 2027 года, и впервые её оценят в 2029 году. Описание предмета для 2029 года сохраняет ту же длительность и вес работ, но перегруппирует материал в темы от A до E. Если ваши экзамены в 2027 или 2028 году, всё написанное ниже относится к вам. Если вы начинаете курс в 2027 году, уточните у учителя, по какой программе учитесь.

Куда уходят часы: темы SL и добавки HL

Описание предмета перечисляет рекомендованные учебные часы по темам: это лучший открытый показатель того, сколько каждой темы вас ждёт и где растёт HL. В столбце HL перечислены главные добавки только для HL из программы и сборника формул.

Тема	Часы SL	Часы HL	Что добавляет HL	Что тренировать в первую очередь
1 Числа и алгебра	19	39	Комбинаторика, простейшие дроби, комплексные числа, доказательство по индукции, от противного и контрпримером, системы линейных уравнений	Законы логарифмов и геометрические ряды вручную
2 Функции	21	32	Многочлены и дробно-рациональные функции, чётные и нечётные функции, графики модуля и обратной величины f(x)	Композиция, обратные функции и преобразования
3 Геометрия и тригонометрия	25	51	Функции sec, cosec, cot и обратные тригонометрические функции, формулы сложения, векторы, прямые и плоскости в пространстве	Значения на единичной окружности и тригонометрические уравнения на промежутке
4 Статистика и вероятность	27	33	Формула Байеса, непрерывные случайные величины	Биномиальные и нормальные вероятности на калькуляторе
5 Математический анализ	28	55	Пределы и непрерывность, неявное дифференцирование, связанные скорости, дополнительные методы интегрирования, объёмы тел вращения, дифференциальные уравнения, ряды Маклорена	Правила производной сложной функции, произведения и частного, затем оптимизация

Бросаются в глаза две вещи. Анализ остаётся самой большой темой на обоих уровнях, и на HL она почти удваивается. Геометрия и тригонометрия на HL тоже удваивается, во многом за счёт векторов в трёхмерном пространстве. Если вы выбираете уровень, эти две строки честно показывают, откуда берутся лишние 90 часов.

Если векторы кажутся абстрактными, материал о векторах связывает картинку со стрелками и координаты, с которыми вы будете считать, а тема «Векторы» в Math Zen тренирует скалярное и векторное произведения, прямые и плоскости.

Paper 1: здесь окупается алгебра

На Paper 1 никакая техника не разрешена, и он весит 40% на SL и 30% на HL, столько же, сколько Paper 2, причём ни один балл не приходит от калькулятора. Материал охватывает всю программу, поэтому анализ, тригонометрия и логарифмы должны работать вручную.

Большую часть Paper 1 держат три навыка. Первый навык: точные значения, синус, косинус и тангенс стандартных углов в радианах, считанные с единичной окружности, а не вспомненные как таблица. Материал о тригонометрии строит их как координаты на окружности, и их легко восстановить. Второй: законы логарифмов и степеней в обе стороны, для уравнений так же, как для упрощения; материал о логарифмах объясняет, почему эти правила работают. Третий: чистое применение правил дифференцирования и интегрирования, а затем алгебра без ошибок.

Тренируйте это, убрав калькулятор подальше: если во время подготовки проверять каждый шаг на калькуляторе, Paper 1 кажется намного труднее, чем он есть.

Paper 2 и ваш калькулятор

На Paper 2 техника разрешена, и IB пишет, что все курсы математики DP требуют уверенного владения графическим калькулятором. Ждите задач, где калькулятор даёт самый быстрый путь: найти точку пересечения двух кривых, численный определённый интеграл или нормальную вероятность.

Список калькуляторов IB называет рекомендованные модели, среди них семейство TI-84 Plus, модели TI-Nspire без CAS в режиме Press-to-Test и Casio fx-CG50 в режиме Examination Mode. Он запрещает калькуляторы с CAS, например TI-89 и Casio ClassPad, и не допускает сохранённых заметок, программ или приложений, избавляющих от необходимости помнить факты и формулы.

На своей модели научитесь строить график в разумном окне, находить точки пересечения, нули и точки экстремума, решать уравнения численно, вычислять производную в точке и определённый интеграл, а также биномиальные и нормальные вероятности, включая обратную нормальную. Записывайте сделанное математической записью: голое число без метода рискованно в задаче на несколько баллов.

Paper 3 на HL: отдельный навык

Paper 3 на HL длится один час и состоит из двух обязательных развёрнутых задач на решение проблем, это 20% оценки. Две задачи за час означают, что каждая длинная, а описание предмета понимает решение проблем как применение знаний к нестандартным и открытым задачам. Требуется разобраться в незнакомой ситуации, когда никто не подсказывает, каким методом пользоваться.

Тематические упражнения сами по себе этому не учат. Раз в две недели берите задачу из прошлого Paper 3, давайте себе тридцать минут и записывайте всё, включая случаи, которые не сработали. Потом прочитайте в схеме оценивания путь, которого ждали экзаменаторы, и сравните.

Чего нет в сборнике формул

Сборник формул представляет собой один документ для SL и HL с разделом только для HL в каждой теме, им пользуются во время курса и на экзаменах. Он щедрый. В нём есть формула корней квадратного уравнения и дискриминант, бином Ньютона, теоремы синусов и косинусов, площадь треугольника $\tfrac{1}{2}ab\sin C$, формулы двойного угла, правила производной сложной функции, произведения и частного и производные $\sin x$, $\cos x$, $e^x$ и $\ln x$.

Поэтому полезен список того, чего вы там не найдёте. Таблицы точных значений тригонометрических функций нет. Сборник даёт правило, но не говорит, когда его применять: какое тождество превращает уравнение в квадратное и когда уместна подстановка. Составьте одну страницу «того, чего нет в сборнике» по своим ошибкам и раз в неделю проверяйте себя по памяти; материал о запоминании формул объясняет, почему понятую формулу легче удержать. Прочитайте сборник от начала до конца один раз, чтобы на экзамене находить формулу за секунды.

Исследование: 20% без короткого пути

Исследование (exploration) представляет собой письменную математическую работу на выбранную вами тему, обязательную на обоих уровнях и дающую 20%. Описание предмета отводит на неё около 15 часов. Её оценивает учитель, а IB проводит модерацию. Math Zen с ним не помогает, как и любое приложение для тренировки: это ваше собственное исследование под руководством учителя и по критериям оценивания. Выберите тему рано, сделайте её узкой и оставьте подготовку к экзаменам на время после сдачи работы.

План подготовки к IB Math AA на 12 недель

Отсчитайте двенадцать недель назад от первой работы по математике; дату сообщает координатор IB. До первой недели решите один Paper 1 и один Paper 2 без подготовки, засекая время для своего уровня, проверьте их по схеме оценивания и разложите каждый потерянный балл: пробелы в понятиях, в методах, алгебраические ошибки, работа с калькулятором, чтение условия и время. Пробелы в понятиях требуют заново объяснить идею; пробелы в методах требуют на следующий день воспроизвести разобранное решение с чистого листа; ошибки требуют более медленной практики вручную с проверкой.

План идёт в порядке тем и отдаёт анализу больше всего времени, как и учебные часы. Завершайте каждое занятие десятью минутами смешанных задач из прошлых недель; материал об интервальном повторении объясняет, почему короткие, разнесённые по времени повторения держатся лучше.

Недели 1 и 2: числа, алгебра и функции. Последовательности и ряды, логарифмы и степени, бином Ньютона, квадратные уравнения, функции, обратные функции, композиция и преобразования. Сначала вручную, потому что так проверяет Paper 1.

Недели 3 и 4: геометрия и тригонометрия. Теоремы синусов и косинусов, включая случай, когда теорема синусов даёт два треугольника, который разобран в материале о теоремах синусов и косинусов; радианы, дуги и секторы, тождества и тригонометрические уравнения на заданном промежутке. HL: векторы, прямые и плоскости в пространстве.

Недели 5-7: анализ. Пределы, правила дифференцирования, касательные и нормали, оптимизация, кинематика, интегрирование и площади. HL: неявное дифференцирование, связанные скорости, подстановка и интегрирование по частям, объёмы тел вращения и дифференциальные уравнения. Тема «Производные» в Math Zen тренирует правила до автоматизма.

Неделя 8: статистика и вероятность. Описательная статистика, регрессия, вероятность, биномиальное и нормальное распределения на калькуляторе. HL: формула Байеса и непрерывные случайные величины.

Неделя 9: дополнительные темы HL или закрепление SL. HL: комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и показательной (Эйлеровой) форме (материал о тригонометрической форме поможет), доказательство по индукции, от противного и контрпримером, ряды Маклорена. SL: второй проход по анализу и тригонометрии.

Неделя 10: сборник и калькулятор. Ваша страница «того, чего нет в сборнике» и все действия на калькуляторе для Paper 2 на экзаменационной модели.

Недели 11 и 12: полные работы. Комплекты Paper 1 и Paper 2 с экзаменационным временем, на HL плюс Paper 3. Перерешивайте каждую потерянную задачу с чистого листа, затем перестаньте добавлять темы.

Что Math Zen охватывает, а что нет

Путь IB Математика AA в Math Zen тренирует материал SL и материал только для HL в одном пути, по одной задаче за раз, с подстраивающейся сложностью. Ученики SL могут пропускать подтемы только для HL, например комплексные числа, векторы в пространстве и дифференциальные уравнения. Путь охватывает большинство пунктов программы, но не все, и пробелы полезно знать заранее:

• Письменные доказательства. Приложение не может проверить доказательство. Оно тренирует шаг индукции в доказательстве по индукции, но не дедуктивные доказательства SL и не доказательство от противного и контрпримером.
• Часть материала HL. Непрерывные случайные величины, показательная форма комплексных чисел и теорема о сопряжённых корнях, чётные и нечётные функции, графики модуля и обратной величины функции, наклонные асимптоты, метод Эйлера, площади и объёмы относительно оси y и бином Ньютона для дробных и отрицательных показателей пока не тренируются.
• Некоторые детали SL. Неоднозначный случай теоремы синусов, линия регрессии x по y и построение эскизов графиков (приложение тренирует их чтение) не охвачены.
• Калькулятор, Paper 3 и исследование. Приложение не тренирует работу с графическим калькулятором, не даёт исследовательских задач в стиле Paper 3 и не помогает с исследованием.

Используйте приложение для ежедневной практики техники, а прошлые работы со схемами оценивания для всего, что есть в этом списке.

Итог

IB Math AA включает две работы на SL и три на HL плюс исследование на 20%. Paper 1 весит столько же, сколько Paper 2, и полностью без калькулятора, поэтому ручная алгебра и точные значения решают многие оценки. HL добавляет около 90 учебных часов, в основном анализ и векторы, и Paper 3 на решение проблем. Начните с диагностики по настоящим работам, следуйте весу тем, знайте, чего нет в сборнике, и закончите полными работами с экзаменационным временем.