Теорема синусов и теорема косинусов: какую применять и когда

Землемер знает две стороны участка и угол между ними и ищет третью сторону. Пилот знает два угла треугольника, образованного двумя радиомаяками, и одно расстояние. Ни в одном из этих треугольников нет прямого угла, поэтому мнемоника SOH CAH TOA тут не поможет. Такие задачи решают теорема синусов и теорема косинусов, два правила, которые позволяют решить любой треугольник, если известны три его элемента (и среди них есть хотя бы одна сторона).

Трудность обычно не в самой формуле. Она в том, чтобы выбрать нужную теорему и заметить единственную ситуацию, где калькулятор молча выдаёт неверный угол. Это руководство начинается с таблицы выбора, затем разбирает по одному примеру на каждый случай, а потом проводит один и тот же треугольник через все исходы неоднозначного случая, меняя лишь одну сторону. Если синус и косинус до сих пор кажутся вам кнопками, а не идеями, сначала загляните в руководство по тригонометрии: оно объясняет их с нуля.

Обозначения везде одни и те же: углы A, B, C лежат против сторон a, b, c.

Какую теорему применять: отталкивайтесь от того, что дано

В любой разрешимой задаче о треугольнике даны три элемента. Определите, какой это случай, и нужная теорема станет очевидной:

Что дано, какая теорема, что искать первым

Что дано	Обозначение (англ.)	Какая теорема	Что искать первым
Два угла и сторона, не лежащая между ними	AAS	Теорема синусов	Третий угол (180° минус два других), затем стороны
Два угла и сторона между ними	ASA	Теорема синусов	Третий угол, затем стороны
Две стороны и угол, не лежащий между ними	SSA	Теорема синусов, с осторожностью	Угол против второй известной стороны; проверьте, сколько треугольников подходит: 0, 1 или 2
Две стороны и угол между ними	SAS	Теорема косинусов	Третью сторону
Все три стороны	SSS	Теорема косинусов	Наибольший угол (против самой длинной стороны)
Три угла	AAA	Ни та, ни другая	Единственного ответа нет: подходят подобные треугольники любого размера

Такое разделение совпадает с учебником OpenStax по алгебре и тригонометрии: теорема синусов покрывает случаи с двумя углами и стороной, а также с двумя сторонами и углом не между ними, а теорема косинусов нужна в двух случаях, с которыми теорема синусов не справляется: две стороны и угол между ними и три стороны (OpenStax, law of sines; OpenStax, law of cosines).

Причина хорошо видна по формулам. Теорема синусов сравнивает каждую сторону с противолежащим углом:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Чтобы ею пользоваться, нужна хотя бы одна полная пара: сторона вместе с углом напротив неё. Когда даны две стороны и угол между ними или три стороны, такой пары нет, поэтому начинать приходится с другого правила.

Теорема косинусов: Пифагор плюс поправка

Теорема косинусов в трёх своих формах выглядит так:

$$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$$ $$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$$ $$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C$$

Посмотрите на последнюю при $C = 90^{\circ}$. Тогда $\cos C = 0$, последнее слагаемое исчезает, и остаётся $a^{2} + b^{2} = c^{2}$. По сути теорема косинусов и есть теорема Пифагора с поправочным слагаемым для углов, которые не прямые. В OpenStax то тождество, с которого она начинается, называют «обобщённой теоремой Пифагора». Идея старая: предложения 12 и 13 второй книги «Начал» Евклида доказывают её для тупоугольных и остроугольных треугольников на чисто геометрическом языке, задолго до появления косинусов (Euclid II.12, Clark University edition).

У поправки есть ясный смысл. Когда C острый, $\cos C$ положителен, и c получается короче, чем по Пифагору. Когда C тупой, $\cos C$ отрицателен, и знак минус превращает поправку в прибавку, так что c получается длиннее. Раскройте угол, и противолежащая сторона удлинится; сомкните его, и она укоротится.

Пример: две стороны и угол между ними

Две стороны равны $b = 8$ и $c = 11$, угол между ними $A = 40^{\circ}$. Найдите всё остальное.

Третья сторона. Подставьте данные в форму, где фигурирует известный угол:

$$a^{2} = 8^{2} + 11^{2} - 2(8)(11)\cos 40^{\circ} = 185 - 134.82 = 50.18$$

откуда $a \approx 7.08$. Для сравнения: при прямом угле A получилось бы $\sqrt{185} \approx 13.60$; угол в 40° сокращает это почти вдвое.

Остальные углы. Теперь есть полная пара (a с углом A), так что работает теорема синусов. Ищите угол против меньшей из двух оставшихся сторон, то есть против b:

$$\sin B = \frac{8 \sin 40^{\circ}}{7.08} \approx 0.7260, \quad B \approx 46.55^{\circ}$$

Тогда $C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 46.55^{\circ} = 93.45^{\circ}$.

Обратите внимание: C тупой. Если бы вы применили теорему синусов к C, арксинус калькулятора вернул бы 86,55°, острый угол с тем же синусом, и все дальнейшие числа оказались бы неверными. Если начинать с меньшего угла, этой беды нет: в любом треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол, а угол в 90° или больше может быть не более чем один, поэтому угол против меньшей стороны всегда острый.

Те же данные сразу дают и площадь: половина произведения двух сторон на синус угла между ними (формула площади из раздела OpenStax о теореме синусов): $\tfrac{1}{2}(8)(11)\sin 40^{\circ} \approx 28.28$.

Три стороны: сначала ищите наибольший угол

Если даны все три стороны, преобразуйте теорему косинусов так, чтобы выразить косинус:

$$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$$

Возьмите треугольник со сторонами 5, 7 и 9. Самая длинная сторона равна 9, поэтому начинаем с угла против неё:

$$\cos C = \frac{25 + 49 - 81}{2(5)(7)} = \frac{-7}{70} = -0.1, \quad C \approx 95.74^{\circ}$$

Отрицательный косинус сразу говорит, что C тупой. Теперь теорема синусов безопасна для остальных углов, ведь оба они обязаны быть острыми:

$$\sin A = \frac{5 \sin 95.74^{\circ}}{9} \approx 0.5528, \quad A \approx 33.56^{\circ}$$

а $B = 180^{\circ} - 95.74^{\circ} - 33.56^{\circ} = 50.70^{\circ}$. Проверка по теореме косинусов для B даёт те же 50,70°.

Сделайте в другом порядке, и ловушка сработает. Найдите сначала A, а затем примените теорему синусов к C: получится $\sin C \approx 0.9950$, и арксинус скажет 84,26°. Настоящий угол дополняет его до 180°: это 95,74°. В конспектах Хьюстонского университета правило сформулировано прямо: если есть выбор, «обычно лучше сначала найти наибольший угол» (UH Math 1330, section 7.3).

Теорема синусов: два угла и сторона

Когда известны два угла, третий достаётся даром: сумма углов равна 180°. После этого теорема синусов превращается в обычную пропорцию.

Пусть $A = 40^{\circ}$, $B = 60^{\circ}$ и $a = 10$. Тогда $C = 80^{\circ}$, а общее отношение равно

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 40^{\circ}} \approx 15.557$$

Умножьте его на каждый синус: $b \approx 15.557 \times \sin 60^{\circ} \approx 13.47$ и $c \approx 15.557 \times \sin 80^{\circ} \approx 15.32$.

Здесь нет никакой неоднозначности, потому что каждый угол найден вычитанием, а не арксинусом. Если известная сторона лежит между двумя известными углами, всё решается так же: вычтите, чтобы получить третий угол, и у вас появится сторона с противолежащим углом, а дальше всё сделает пропорция.

Неоднозначный случай (две стороны и угол не между ними): три исхода

Именно здесь ученики теряют баллы. OpenStax пишет, что такие данные «могут дать одно или два решения или даже ни одного». Самый наглядный способ понять почему: зафиксировать всё, кроме одной стороны.

Зафиксируйте угол $A = 30^{\circ}$ и сторону $b = 10$. Представьте, что сторона b лежит на земле от вершины C до вершины A, а угол в 30° находится при A. Сторона a свисает из C и качается, как калитка, пока не упадёт на прямую, выходящую из A. Упадёт ли она и куда, зависит только от её длины.

Всё решает длина высоты, опущенной из C на эту прямую:

$$h = b \sin A = 10 \sin 30^{\circ} = 5$$

Теперь меняем только a. Каждая строка ниже вычислена по формуле $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a}$ и проверена с точностью до 12 значащих цифр:

Исходы при A = 30°, b = 10

Сторона a	Сравнение с h = 5 и b = 10	$\sin B$	Число треугольников	Угол B	Угол C	Сторона c
4	короче h	1,25	0	нет	нет	нет
5	равна h	1	1	90°	60°	8,66
8	между h и b	0,625	2	38,68° или 141,32°	111,32° или 8,68°	14,91 или 2,42
12	не короче b	0,4167	1	24,62°	125,38°	19,57

Разберём построчно:

• a = 4. Калитка короче высоты, поэтому до земли не достаёт. Алгебра говорит то же самое: $\sin B = 1.25$, а синус не бывает больше 1. Треугольника нет.
• a = 5. Калитка едва касается земли, стоя вертикально. Один треугольник с прямым углом при B.
• a = 8. Калитка длиннее высоты, но короче b, поэтому она касается земли в двух точках, по одной с каждой стороны от основания высоты. Оба треугольника настоящие. Арксинус даёт 38,68°; второй ответ даёт смежный угол, $180^{\circ} - 38.68^{\circ} = 141.32^{\circ}$, и поскольку $30^{\circ} + 141.32^{\circ} < 180^{\circ}$, для третьего угла остаётся место. Получаются широкий треугольник с c = 14,91 и узкий с c = 2,42.
• a = 12. Калитка длиннее b, поэтому вторая точка касания оказалась бы за A, вне треугольника. Смежный угол 155,38° вместе с 30° уже превышает 180°, так что он отбрасывается. Один треугольник.

Эти условия совпадают с четырьмя рисунками в разделе OpenStax: a короче высоты даёт ноль треугольников, a равна высоте даёт прямоугольный, a между высотой и b даёт два, а a не короче b даёт один (для острого угла A).

Запомните порядок действий: после любого арксинуса в неоднозначном случае запишите и смежный угол и проверьте, умещается ли он вместе с заданным. Если умещается, ответов два, и задача обычно требует оба. Если сам A тупой, картина проще: a обязана быть длиннее b, иначе треугольника нет вовсе.

Типичные ошибки

Теорема синусов, когда даны две стороны и угол между ними или три стороны. Без полной пары из стороны и противолежащего угла в пропорции две неизвестные. Начинайте с теоремы косинусов.

Забытый второй треугольник в неоднозначном случае. Калькулятор возвращает только острый арксинус. Всегда проверяйте и смежный угол.

Тупой угол через арксинус. Когда даны две стороны и угол между ними или три стороны, наибольший угол находите по теореме косинусов или сначала ищите меньшие углы по теореме синусов.

Калькулятор в режиме радиан. $\cos 40$ в радианах примерно равен $-0.667$, а не $0.766$. Если сторона получилась длиннее суммы двух других, проверьте режим.

Раннее округление. Сохраняйте полную точность найденной стороны, прежде чем использовать её на следующем шаге; ответы выше вычислены с полной точностью и округлены только в конце.

Задачи для практики

Решите каждую, прежде чем смотреть ответ.

1. Две стороны и угол между ними. $b = 6$, $c = 9$, $A = 60^{\circ}$. Найдите a.
2. Три стороны. Стороны треугольника равны 4, 6 и 8. Найдите его наибольший угол.
3. Две стороны и угол не между ними. $A = 40^{\circ}$, $b = 12$, $a = 9$. Сколько треугольников подходит и какие значения может принимать c?

Ответы.

1. $a^{2} = 36 + 81 - 108\cos 60^{\circ} = 63$, значит, $a = \sqrt{63} \approx 7.94$.
2. Наибольший угол лежит против 8: $\cos C = \dfrac{16 + 36 - 64}{48} = -0.25$, значит, $C \approx 104.48^{\circ}$.
3. Высота равна $12 \sin 40^{\circ} \approx 7.71$, а 9 лежит между 7,71 и 12, поэтому треугольников два. Из $\sin B \approx 0.8571$ получаем $B \approx 58.99^{\circ}$ или $121.01^{\circ}$, затем $C \approx 81.01^{\circ}$ или $18.99^{\circ}$, а $c \approx 13.83$ или $4.56$.

Тренажёр по тригонометрии в Math Zen включает теоремы синусов и косинусов рядом с тригонометрическими соотношениями, тождествами и обратными функциями, причём в каждой попытке числа новые, так что выбор между двумя теоремами становится автоматическим. Тот же косинус снова появляется в скалярном произведении, которое руководство по векторам объясняет как естественный следующий шаг.

Часто задаваемые вопросы

Когда применять теорему синусов, а когда теорему косинусов?

Теорема синусов подходит, когда даны два угла и сторона или две стороны и угол не между ними. Теорема косинусов нужна, когда даны две стороны и угол между ними или три стороны: там ни у одной стороны нет известного противолежащего угла.

Теорема косинусов и теорема Пифагора: это одно и то же?

Это общая версия. Положите угол равным 90°, и слагаемое $-2ab\cos C$ исчезнет, оставив $a^{2} + b^{2} = c^{2}$.

Что такое неоднозначный случай теоремы синусов?

Две стороны и угол не между ними могут описывать ноль, один или два треугольника. Сравните сторону a с высотой $h = b \sin A$ и со стороной b, чтобы понять, какой из случаев ваш.

Почему сначала нужно искать наибольший угол?

У угла и смежного с ним угла одинаковый синус, поэтому арксинус не отличает 84° от 96°. Наибольший угол единственный, который может быть тупым; найдите его по теореме косинусов, и остальные станут безопасными.