Número de Euler e: o que é e por que vale 2,718

Digite "e elevado a 1" numa calculadora e ela responde 2,718281828. Esse número é o número de Euler, escrito e, e é uma das poucas constantes que todo ramo da matemática acaba encontrando: juros compostos, crescimento populacional, decaimento radioativo, probabilidade e todo o cálculo.

Este guia dá primeiro a resposta curta e depois mostra de onde vem o valor, duas maneiras de calculá-lo e por que o cálculo trata o e como a base natural dos expoentes. Se os expoentes ainda não estão firmes para você, comece por entender expoentes de forma intuitiva e volte aqui.

A resposta curta: o que é e, quanto é e elevado a 1 e outros valores-chave

O valor de e é cerca de 2,71828. Com mais casas, é 2,718281828459045..., e as casas decimais nunca terminam nem se repetem, porque e é irracional (MathWorld). Ele é a base do logaritmo natural e da função exponencial natural $e^{x}$. Você também verá o nome constante de Napier, em homenagem a John Napier (Wikipedia).

A maioria das buscas sobre o e pede, na verdade, um entre poucos valores. Aqui estão eles, calculados com seis ou mais algarismos significativos:

Expressão	Valor	Por quê
$e^{1}$	2,718282	Qualquer número elevado a 1 é ele mesmo
$e^{0}$	1	Qualquer número diferente de zero elevado a 0 é 1
$e^{-1}$	0,367879	Igual a $1/e$
$e^{2}$	7,389056	$e \times e$
$e^{1/2}$	1,648721	Igual a $\sqrt{e}$
$\ln e$	1	O logaritmo natural desfaz $e^{x}$

Ou seja, e elevado a 1 é simplesmente e, cerca de 2,71828. Nada de especial acontece na primeira potência; o especial é a própria base.

De onde vem o e: juros compostos

Jacob Bernoulli encontrou esse número em 1683, ao estudar juros compostos continuamente, e mostrou que ele tinha de estar entre 2 e 3 (MacTutor). A pergunta dele é fácil de enunciar.

Coloque 1 dólar numa conta que paga 100% de juros ao ano. Se os juros forem pagos uma só vez no fim do ano, você terá 2 dólares. Agora divida esses mesmos 100% em n pagamentos menores, cada um somando $1/n$ do saldo, e deixe cada pagamento render juros sobre os anteriores. Depois de um ano você terá

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$$

dólares. Capitalizar com mais frequência rende mais, mas não sem limite:

Capitalização	n	Saldo após um ano
Anual	1	2,000000
Semestral	2	2,250000
Trimestral	4	2,441406
Mensal	12	2,613035
Diária	365	2,714567
A cada hora	8.760	2,718127
Contínua	n cresce sem limite	2,718282 = e

Passar da capitalização mensal para a diária acrescenta cerca de dez centavos. Passar da diária para a de hora em hora acrescenta menos de meio centavo. O saldo se arrasta em direção a um teto que nunca ultrapassa, e esse teto é e. É exatamente assim que o texto de cálculo da OpenStax define o número: conforme m cresce, $\left(1 + 1/m\right)^{m}$ se aproxima de um número, e esse número se chama e (OpenStax Calculus Volume 1, seção 1.5). Para uma taxa r durante t anos, a mesma ideia dá a fórmula do crescimento contínuo $A = Pe^{rt}$.

Duas definições que concordam, e a rapidez com que cada uma chega

Existe um segundo caminho até o mesmo número. Some 1 dividido por cada fatorial:

$$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$$

A MathWorld lista as duas formas como definições de e, e Euler colocou-as lado a lado na sua Introductio in analysin infinitorum, de 1748, onde também deu e com 18 casas decimais (MacTutor). Elas produzem o mesmo número, mas em velocidades muito diferentes. Aqui está a corrida de convergência, calculada diretamente; a meta é 2,71828, as cinco primeiras casas decimais de e:

Corrida de convergência: limite contra série

Limite $\left(1 + 1/n\right)^{n}$	Valor	Série, termos usados	Soma parcial
n = 1	2,000000	2 termos (até 1/1!)	2,000000
n = 10	2,593742	4 termos (até 1/3!)	2,666667
n = 100	2,704814	6 termos (até 1/5!)	2,716667
n = 1.000	2,716924	8 termos (até 1/7!)	2,718254
n = 100.000	2,718268	9 termos (até 1/8!)	2,718279
n = 1.000.000	2,718280	10 termos (até 1/9!)	2,718282

A série fixa 2,71828 depois de 10 termos. O limite precisa de um n em torno de 743.000 antes de mostrar 2,71828 pela primeira vez, e mesmo com um milhão de passos ainda erra na sexta casa decimal. O motivo está no tamanho dos erros. Cada novo termo fatorial é muito menor que o anterior, então o erro da série diminui mais rápido que qualquer potência. O erro do limite diminui aproximadamente como $e/(2n)$, de modo que dez vezes mais passos rendem só cerca de um algarismo correto a mais.

A lição prática: o limite explica por que o e existe (ele é o teto do crescimento composto), e a série é como você realmente o calcula.

Por que o cálculo prefere o e

Toda função exponencial $b^{x}$ com $b > 0$ é uma curva que sobe (ou desce) cada vez mais depressa. Sua inclinação em qualquer ponto é proporcional à sua altura. Para a maioria das bases, a proporção é uma constante incômoda: para $2^{x}$ a inclinação é cerca de 0,693 vez a altura; para $3^{x}$, cerca de 1,099 vez a altura.

Existe exatamente uma base para a qual essa constante vale 1, de modo que a inclinação em cada ponto é igual à altura. Essa base é o e. A OpenStax define o e assim no capítulo de derivadas: a única base cuja exponencial tem inclinação 1 em $x = 0$, e disso decorre que

$$\frac{d}{dx}\, e^{x} = e^{x}$$

(OpenStax Calculus Volume 1, seção 3.9). Uma função que é a própria derivada torna o cálculo com crescimento quase gratuito: derive $e^{x}$ e nada muda, integre-a e nada muda. Se a ideia de derivada como inclinação é nova para você, derivadas do zero a constrói passo a passo.

O logaritmo natural, escrito ln, é a inversa de $e^{x}$: $\ln(e^{x}) = x$ e $e^{\ln x} = x$ para $x > 0$. Sua derivada é igualmente limpa, $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$. É por isso que os cientistas chamam a base e de "natural": é a base que deixa as fórmulas mais curtas. Nosso guia sobre entender logaritmos de forma intuitiva cobre o ln ao lado das bases 10 e 2.

A série da seção anterior também não é coincidência. A série de Maclaurin de $e^{x}$ é $\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}/n!$ (OpenStax Calculus Volume 2, seção 6.3); faça $x = 1$ e você obtém a soma de fatoriais do e.

Número de Euler, constante de Euler e identidade de Euler

O nome de Euler está ligado a tantos resultados que três coisas diferentes se misturam nas buscas:

Nome	Símbolo e valor	O que é
Número de Euler	e ≈ 2,71828	Base do logaritmo natural; o limite e a série acima
Constante de Euler (Euler-Mascheroni)	γ ≈ 0,57722	O limite de $1 + \tfrac{1}{2} + \cdots + \tfrac{1}{n} - \ln n$ quando n cresce
Identidade de Euler	$e^{i\pi} + 1 = 0$	Uma equação que liga e, i, π, 1 e 0

Elas também diferem no que se sabe sobre cada uma. Do e provou-se que é irracional e, por Charles Hermite em 1873, transcendente (MathWorld). Do γ ainda não se sabe nem se é irracional (MathWorld, constante de Euler-Mascheroni). E a identidade de Euler não é um número, mas uma afirmação sobre e elevado a uma potência imaginária; nosso passo a passo da identidade de Euler mostra por que $e^{i\pi}$ cai em -1.

Erros comuns com o e

Tratar o e como variável. Em $e^{x}$, quem varia é x, não o e. Resolver $e^{x} = 5$ significa aplicar ln nos dois lados: $x = \ln 5 \approx 1.609$.

Arredondar cedo demais. Usar 2,7 no lugar de e em $e^{3}$ dá 19,683 em vez de 20,0855. Mantenha o e da calculadora até o último passo.

Confundir $e^{-1}$ com $-e$. Expoente negativo significa inverso: $e^{-1} = 1/e \approx 0.3679$, que é positivo. $-e \approx -2.718$ é outro número.

Misturar ln e log. Na maioria das calculadoras, "log" é base 10 e "ln" é base e. $\ln e = 1$, mas $\log e \approx 0.4343$.

Pratique com o e

Tente estes exercícios antes de conferir:

1. Sem calculadora, quanto valem $e^{0}$, $e^{1}$ e $\ln 1$?
2. Simplifique $e^{2} \cdot e^{3}$ e $\ln\left(e^{7}\right)$.
3. Resolva $e^{x} = 1$.

Respostas: 1, e e 0; $e^{5}$ e 7; $x = 0$.

A prática de logaritmos do Math Zen treina o ln e a mudança de base, e a prática de funções inclui funções exponenciais, para você transformar essas regras em hábito, um problema de cada vez.

Perguntas frequentes

O número e é racional?

Não. O e é irracional e suas casas decimais nunca terminam nem se repetem. Hermite provou em 1873 que ele também é transcendente: não é raiz de nenhum polinômio não nulo com coeficientes racionais.

Por que se chama e?

Leonhard Euler usou a letra numa carta a Christian Goldbach em 1731 e em texto impresso em 1736. Ninguém sabe ao certo por que ele escolheu o e; os historiadores não sustentam a história de que ele escolheu a própria inicial.

Quanto é e^2?

Cerca de 7,389. É e multiplicado por ele mesmo, $2.71828 \times 2.71828$.

Quanto é e elevado a 0?

Exatamente 1, como qualquer número diferente de zero elevado a 0.