Regra de L'Hôpital: quando usar e quatro limites resolvidos

Você substitui o valor procurado em uma fração e encontra $0/0$. Deve derivar o numerador e o denominador? Às vezes. Primeiro veja se a expressão se simplifica com álgebra comum, se as duas partes realmente formam um caso permitido e se a derivação facilita o limite. A regra de L'Hôpital é um teorema com condições, não uma ordem para derivar toda fração com denominador problemático.

Este guia coloca uma tabela de elegibilidade antes dos cálculos e a acompanha por quatro limites resolvidos. Um é mais rápido por fatoração, outro está fora da regra, um usa a regra no infinito e o último só se torna elegível depois do logaritmo. Se a ideia de limite ainda é nova, leia primeiro nosso guia sobre limites. O guia de derivadas cobre o outro pré-requisito.

Verifique a elegibilidade antes de derivar

No ponto de aproximação, examine o numerador e o denominador separadamente. A aplicação direta de L'Hôpital envolve quocientes nas formas $0/0$ ou $\pm\infty/\pm\infty$, desde que as demais condições sejam atendidas. Ela não se aplica diretamente a $5/0$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$ ou a uma potência como $1^{\pm\infty}$. Algumas dessas formas podem ser reescritas como quocientes elegíveis; outras precisam de outro método.

Numa forma usual, sob as hipóteses do teorema,

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

desde que o limite da direita exista como limite finito ou infinito apropriado. Perto do ponto, $f$ e $g$ devem ser diferenciáveis no intervalo perfurado relevante, e $g'(x)$ deve ser diferente de zero ali. No par original, ambas devem tender a zero ou ambas crescer sem limite em módulo na direção considerada. Versões correspondentes valem para limites laterais e limites no infinito. OpenStax Calculus, volume 1, §4.8 apresenta o teorema e as transformações; Paul's Online Notes destaca a verificação da forma antes da aplicação.

Se o limite de $f'/g'$ não existir, essa tentativa pode apenas ser inconclusiva; ela não prova por si só que o limite original não existe. Por outro lado, obter $0/0$ na substituição é só a primeira checagem. As funções e a derivada do denominador ainda precisam atender ao teorema perto do ponto. Em cada exemplo mantemos o domínio e a direção de aproximação explícitos.

Caso 1: a álgebra resolve um limite 0/0 primeiro

Considere

$$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}.$$

Numerador e denominador tendem a zero, então a forma é $0/0$. A primeira linha da tabela permite a regra, mas fatorar é mais simples. Para $x\ne3$,

$$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.$$

A fração é indefinida em $x=3$, mas o limite usa valores vizinhos. Nesses valores ela é igual a $x+3$, por isso o limite é $6$. Como conferência, derivar numerador e denominador separadamente daria $\lim_{x\to3}2x/1=6$. Os dois caminhos coincidem, porém a fatoração mostra o furo removível e por que o cancelamento é permitido.

Aqui há uma escolha de método: elegível não significa melhor. Fatorar, racionalizar ou simplificar uma fração composta costuma remover o obstáculo antes das derivadas. Nossa explicação de limites usa outro furo removível para distinguir o valor no ponto do limite. Aqui a escolha é pelo método válido mais curto e claro.

Caso 2: 5/0 não é forma indeterminada

Agora observe

$$\lim_{x\to0}\frac{5}{x}.$$

O numerador tende a $5$, não a zero nem ao infinito, enquanto o denominador tende a zero. Essa é a segunda linha da tabela, $5/0$; a regra de L'Hôpital não se aplica. A direção resolve o comportamento: quando $x\to0^+$, $5/x\to+\infty$; quando $x\to0^-$, $5/x\to-\infty$. Portanto o limite bilateral não existe, embora os dois comportamentos laterais sejam claros.

Derivar o numerador e o denominador sem verificar daria $0/1=0$, resposta falsa. Não foi o teorema que falhou: o cálculo foi feito fora de suas hipóteses. Faça o teste de elegibilidade antes de derivar. O sinal do denominador de cada lado aqui diz mais do que outra linha de álgebra.

Este exemplo também mostra por que "o denominador tende a zero" não basta para classificar o limite. Compare com o caso 1: os dois denominadores tendem a zero, mas no primeiro o numerador também tende, e o quociente se aproxima de um valor finito. A forma inicial define os métodos disponíveis; o lado de aproximação decide se existe um limite bilateral.

Caso 3: infinito sobre infinito

Faça $x\to+\infty$ em

$$\frac{2x^2+3x}{x^2-1}.$$

Numerador e denominador crescem para $+\infty$, formando o caso elegível $\infty/\infty$ da terceira linha. Para $x$ positivo suficientemente grande, o denominador e sua derivada são diferentes de zero. Derive numerador e denominador separadamente:

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+3x}{x^2-1} =\lim_{x\to+\infty}\frac{4x+3}{2x}=2.$$

O último passo usa $3/(2x)\to0$. Uma aplicação basta: não continue derivando quando o novo quociente já tiver limite claro. Uma conferência algébrica direta é ainda mais curta. Divida numerador e denominador originais por $x^2$; então $(2+3/x)/(1-1/x^2)\to2$. Os dois métodos mostram que os coeficientes quadráticos principais determinam este resultado.

Essa comparação ajuda na escolha. Derivar é útil quando simplifica o quociente. Se dividir pela maior potência de $x$ resolve logo, use isso. A regra é válida aqui, mas não torna a álgebra simples inferior ou incorreta.

Caso 4: uma potência pede logaritmo

Considere a expressão positiva $(1+x)^{1/x}$ quando $x\to0$, com $x>-1$ e $x\ne0$. A base tende a $1$ enquanto o módulo do expoente cresce sem limite, produzindo a forma de potência indeterminada $1^{\pm\infty}$. Isso não é um quociente; portanto, pela quarta linha, não podemos aplicar L'Hôpital diretamente à potência.

Defina $y=(1+x)^{1/x}$ e tome o logaritmo natural em seu domínio positivo:

$$\ln y=\frac{\ln(1+x)}{x}.$$

Agora numerador e denominador desse quociente logarítmico tendem a zero. Perto de zero ambos são diferenciáveis, e a derivada do denominador vale $1$. Aplique a regra a este quociente:

$$\lim_{x\to0}\ln y =\lim_{x\to0}\frac{1/(1+x)}{1}=1.$$

A exponencial é contínua, logo o limite original é $e^1=e$. No domínio $x>-1$, o valor é o mesmo pelos dois lados. A distinção essencial é que L'Hôpital calculou o limite de $\ln y$, não da potência diretamente. Nosso guia do número de Euler mostra por que limites com $e$ aparecem com frequência no cálculo.

Não tome logaritmo de uma expressão possivelmente não positiva sem conferir o domínio. Aqui $1+x>0$ perto de zero, então o logaritmo é legítimo. O passo logarítmico transforma a questão em quociente; exponenciar transforma a resposta de volta. Se faltar qualquer um desses passos, o argumento fica incompleto.

Não confunda duas operações de derivação

A regra de L'Hôpital compara o limite de $f/g$ com o limite de $f'/g'$. A regra do quociente, em contraste, calcula a derivada da função inteira $f/g$:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$

São objetos diferentes. No caso 1, a fração é igual a $x+3$ para $x\ne3$, então sua derivada comum perto desse ponto é $1$. Mas seu limite quando $x\to3$ é $6$. Usar a derivada da regra do quociente no lugar de $f'/g'$ responderia a outra pergunta. Do mesmo modo, aplicar $f'/g'$ ao caso 2 deu resultado errado porque faltava a forma inicial exigida.

Uma rotina rápida é: substitua ou examine as duas partes, dê nome à forma, simplifique se puder, confira o domínio e as hipóteses e derive as duas partes separadamente somente se isso facilitar um quociente elegível. Mantenha a direção de aproximação na notação. Para praticar, mude o caso 3 para $x\to-\infty$ e confira novamente forma e resposta. Os tópicos de limites e derivadas do Math Zen treinam essas habilidades um problema por vez.

Perguntas frequentes

Posso usar L'Hôpital sempre que a substituição der $0/0$? É uma candidata, não uma ordem automática. Confira diferenciabilidade no intervalo perfurado relevante, derivada não nula do denominador ali e um limite adequado para o quociente das derivadas. Tente a álgebra simples primeiro.

Posso aplicar a regra mais de uma vez? Sim, se o novo quociente voltar a cumprir as condições e outra aplicação ajudar. Refaça a checagem da forma a cada vez. Pare assim que puder calcular um limite comum.

Por que não usar a regra do quociente? Ela encontra a derivada de $f/g$. L'Hôpital compara os limites de $f/g$ e $f'/g'$ sob condições especiais. As operações não são intercambiáveis.

E se o numerador não tender a zero? Se o denominador tende a zero e o numerador tende a um valor finito não nulo, não há forma $0/0$. Analise os sinais e o comportamento lateral, como em $5/x$ perto de zero.