Regra da cadeia: exemplos de funções compostas passo a passo

Derive $(2x+3)^5$. Se você aplicar a regra comum da potência como se houvesse apenas $x$ nos parênteses, obterá $5(2x+3)^4$. O formato parece certo, mas falta um fator dois. A expressão entre parênteses muda duas vezes mais rápido que $x$, e a derivada precisa levar essa mudança em conta.

Esse fator ausente é justamente o motivo da regra da cadeia. Nesta lição, vamos resolver exemplos originais, desde uma única função interna até três camadas aninhadas. Para revisar o significado mais amplo de uma derivada, comece pelo nosso guia de derivadas. Aqui vamos nos concentrar em reconhecer as camadas, derivá-las e conferir o resultado.

Identifique as funções interna e externa

Uma composição usa a saída de uma função como entrada de outra. Em $y=(2x+3)^5$, calcule primeiro $2x+3$ e depois eleve o resultado à quinta potência. Escreva $g(x)=2x+3$ para a função interna e $f(u)=u^5$ para a função externa. Então $y=f(g(x))$.

A ordem de avaliação e a ordem de derivação seguem direções opostas. Para avaliar, vá de dentro para fora. Para derivar, comece pela operação externa, mantenha sua entrada sem mudanças e depois multiplique pela derivada dessa entrada. O OpenStax enuncia assim a regra para composições diferenciáveis em seu capítulo sobre a regra da cadeia:

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$

A derivada da função externa é avaliada em $g(x)$, não em $g'(x)$. A derivada interna é um fator separado. Se alguma das camadas não for diferenciável no ponto considerado, a fórmula não poderá simplesmente ser aplicada ali.

Tente nomear as camadas antes de escolher uma regra. Em $\sin(4x^2-1)$, a operação externa é o seno e a expressão interna é $4x^2-1$. Em $\sqrt{1+x^4}$, a operação externa é a raiz quadrada e a expressão interna é $1+x^4$. Em $x^2+3x$, a operação principal é uma soma: derive os termos separadamente. Nem todo par de parênteses indica uma regra da cadeia.

Se a ideia de colocar uma função dentro de outra for nova para você, nosso artigo sobre funções compostas aborda a avaliação e o domínio antes da derivação. O artigo sobre funções é o ponto de partida caso a notação de entrada e saída ainda não seja familiar.

Siga sempre os mesmos quatro passos

O método não muda com o tamanho da expressão:

1. Nomeie a expressão imediatamente interna. Para $h(x)=(3x^2-2)^4$, use $u=3x^2-2$.
2. Derive a parte externa sem mudar $u$. Como a parte externa é $u^4$, sua derivada é $4u^3$.
3. Derive a parte interna. Aqui, $du/dx=6x$.
4. Multiplique e recoloque a expressão. O resultado é $h'(x)=4(3x^2-2)^3(6x)=24x(3x^2-2)^3$.

Não desenvolva a quarta potência a menos que algum cálculo posterior exija isso. A resposta fatorada mostra de onde veio cada parte: $4(3x^2-2)^3$ pertence à potência externa, enquanto $6x$ pertence à expressão quadrática interna. Desenvolver cedo demais dificulta a identificação de um fator ausente.

Para três camadas, repita o mesmo procedimento. Derive a camada mais externa, multiplique pela derivada da camada seguinte e depois pela derivada da mais profunda. O OpenStax apresenta esse uso repetido da regra da cadeia no mesmo capítulo. Não há uma nova regra para memorizar.

Três exemplos resolvidos por completo

Uma potência de expressão linear. Volte a $p(x)=(2x+3)^5$. A derivada externa é $5(2x+3)^4$ e a derivada interna é $2$. Portanto:

$$p'(x)=5(2x+3)^4(2)=10(2x+3)^4$$

Confira em $x=0$ sem confiar cegamente na resposta simbólica. A função original tem $p(0)=3^5=243$. Desenvolver apenas o termo de primeira ordem de $(3+2x)^5$ dá $243+5(3^4)(2x)+\cdots=243+810x+\cdots$, então a inclinação em zero é $810$. Nossa derivada dá $10(3)^4=810$. A versão sem o fator interno dá $405$ e falha nessa conferência.

Uma composição trigonométrica. Seja $q(x)=\sin(4x^2-1)$, com ângulos em radianos. A derivada externa do seno é o cosseno avaliado na mesma entrada, e a derivada interna de $4x^2-1$ é $8x$:

$$q'(x)=\cos(4x^2-1)(8x)=8x\cos(4x^2-1)$$

Em $x=0$, a derivada interna é zero, portanto $q'(0)=0$. Isso faz sentido como conferência local de simetria: $q(x)$ depende de $x^2$, então tem o mesmo valor em $x$ e em $-x$. Em $x=1$, a inclinação é $8\cos(3)$, não $\cos(8)$. O cosseno recebe a expressão interna inalterada, não sua derivada.

Três camadas aninhadas. Considere $r(x)=\left[\sin(2x^2+1)\right]^3$. As camadas, de fora para dentro, são o cubo, o seno e $2x^2+1$. Derive cada uma nessa ordem:

$$\begin{aligned} r'(x)&=3\left[\sin(2x^2+1)\right]^2 \cdot\cos(2x^2+1)\cdot 4x\\ &=12x\sin^2(2x^2+1)\cos(2x^2+1). \end{aligned}$$

Há três fatores porque três mudanças estão ligadas. O cubo contribui com $3\sin^2(\cdot)$, o seno com o cosseno e a expressão quadrática com $4x$. Novamente, $r'(0)=0$, o que é compatível com a função par $r(x)$. Isso não demonstra toda a derivada, mas ajuda a encontrar rapidamente alguns erros algébricos.

Decida quando outra regra é necessária

Encontre primeiro a operação principal. Em $a(x)=x(2x+3)^5$, duas expressões variáveis são multiplicadas. Comece com a regra do produto e depois use a regra da cadeia no fator elevado à potência:

$$\begin{aligned} a'(x)&=1\cdot(2x+3)^5+x\cdot 5(2x+3)^4\cdot2\\ &=(2x+3)^5+10x(2x+3)^4\\ &=(2x+3)^4(12x+3). \end{aligned}$$

Em contraste, $b(x)=(2x+3)^5$ não tem um produto no nível principal, então a regra da cadeia sozinha dá $10(2x+3)^4$. As duas expressões diferem por um fator $x$ fora da potência, e esse fator muda a regra que governa o cálculo.

Um quociente pode esconder a mesma escolha. Para $c(x)=1/(2x+3)^2$, reescreva como $(2x+3)^{-2}$. A operação principal passa a ser uma potência, então:

$$c'(x)=-2(2x+3)^{-3}(2)=-\frac{4}{(2x+3)^3},\qquad x\ne-\frac32.$$

A regra do quociente também funcionaria, mas a reescrita deixa a composição clara. Se tanto o numerador quanto o denominador dependem de $x$, use a regra do quociente no nível principal e examine cada parte para ver se precisa da regra da cadeia. O OpenStax trata dessas combinações na mesma seção.

Corrija três respostas erradas comuns

Faltar o fator interno. Para $(5x-1)^4$, a resposta $4(5x-1)^3$ omite a derivada $5$. Escreva as duas partes antes de multiplicar: $4(5x-1)^3\times5=20(5x-1)^3$.

Mudar a entrada da função externa. Para $\cos(x^2+2)$, a resposta $-\sin(2x)\cdot2x$ coloca a derivada interna dentro do seno. A derivada correta é $-\sin(x^2+2)\cdot2x$. Derive a parte externa na expressão interna inalterada e depois acrescente a derivada interna como fator.

Perder os parênteses. Para $(x^2+3)^3$, $3x^2+3^2(2x)$ não é o resultado da regra da cadeia. Toda a expressão interna continua dentro da potência ao quadrado: $3(x^2+3)^2(2x)=6x(x^2+3)^2$. Use parênteses bem visíveis em torno do interior até a última linha.

Uma conferência útil consiste em avaliar a função original e sua derivada em um ponto simples. Um único valor numérico não demonstra a derivada para todo $x$, mas uma divergência pode refutar rapidamente uma resposta errada que parecia convincente.

Três exercícios com soluções completas

Tente resolver cada um antes de ler a solução. Marque as camadas e depois escreva um fator por camada.

1. Derive $s(x)=(7-3x)^4$. A derivada externa é $4(7-3x)^3$. A derivada interna é $-3$, então:

$$s'(x)=4(7-3x)^3(-3)=-12(7-3x)^3.$$

O sinal negativo é uma conferência rápida: perto de um ponto em que $7-3x$ é positivo, aumentar $x$ diminui essa quantidade interna e, portanto, sua quarta potência.

2. Derive $t(x)=\cos(3x^2+x)$. O cosseno externo vira o seno negativo; o polinômio interno vira $6x+1$:

$$t'(x)=-\sin(3x^2+x)(6x+1).$$

Em $x=0$, o resultado é zero porque $\sin(0)=0$. Não conclua daí que a derivada interna seja zero nesse ponto: ela vale um. Manter os dois fatores separados mostra por que o produto se anula.

3. Derive $v(x)=(1+\sin x)^3$. A potência externa fornece $3(1+\sin x)^2$; a derivada interna é $\cos x$:

$$v'(x)=3(1+\sin x)^2\cos x.$$

Aqui a parte interna contém seno, mas a operação principal ainda é o cubo. Trabalhe de fora para dentro. Em $x=0$, a derivada é $3(1)^2(1)=3$.

Quando esses exercícios estiverem confortáveis, a prática de derivadas do Math Zen inclui uma habilidade de regra da cadeia entre seus exercícios de cálculo. Volte a um exemplo que você errou e explique qual fator faltou antes de tentar o próximo. O hábito é simples: identifique a operação externa, mantenha sua entrada e multiplique pela derivada dessa entrada.

Perguntas frequentes

A regra da cadeia é igual à regra da potência?

Não. A regra da potência deriva $x^n$. A regra da cadeia permite usá-la em uma potência de expressão interna: a derivada de $[g(x)]^n$ é $n[g(x)]^{n-1}g'(x)$. Se $g(x)=x$, sua derivada é um, e surge a regra habitual da potência.

Posso usar a regra da cadeia para uma raiz quadrada?

Sim. Reescreva $\sqrt{1+x^4}$ como $(1+x^4)^{1/2}$. A derivada externa é $\tfrac12(1+x^4)^{-1/2}$ e a interna é $4x^3$, o que dá $2x^3/\sqrt{1+x^4}$.

Por que funções aninhadas produzem vários fatores?

Cada camada responde à mudança da camada que está dentro dela. Em $[\sin(2x^2+1)]^3$, uma mudança em $x$ altera a expressão quadrática, que altera o seno, que altera o cubo. Os três fatores da derivada descrevem essas três mudanças ligadas.