Funções compostas: ordem, valores e domínio

Imagine um serviço de entregas que cobra 3 dólares por quilômetro e depois acrescenta uma taxa fixa de 5 dólares. Em um percurso de 4 quilômetros, você multiplica 4 por 3 e soma 5. A saída da primeira regra passou pela segunda. Isso é composição de funções.

A notação pode parecer mais difícil que a ação. Se $g(x)=3x$ calcula a cobrança pela distância e $f(x)=x+5$ acrescenta a taxa, o total é $f(g(4))=f(12)=17$ dólares. A regra interna vem primeiro. Você não pode somar a taxa à distância e só então multiplicar, a menos que o preço tenha sido definido dessa maneira.

Leia a ordem de dentro para fora

Uma função composta coloca uma função dentro de outra:

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

Leia como “$f$ depois de $g$”. Primeiro encontre $g(x)$. Depois use esse resultado como entrada de $f$. O círculo indica composição, não multiplicação. A seção de OpenStax sobre composição define a operação e deixa a ordem explícita.

Considere $f(x)=2x+1$ e $g(x)=x^2-3$. Para formar $f(g(x))$, substitua o espaço de entrada em $f$ pela expressão inteira $x^2-3$:

$$f(g(x))=2(x^2-3)+1=2x^2-5$$

Em $x=4$, a regra interna dá $g(4)=16-3=13$, e a externa dá $f(13)=27$. A expressão combinada confirma: $2(4)^2-5=27$. Conferir o cálculo em duas etapas contra a expressão final ajuda a perceber um parêntese fora do lugar.

A notação das funções deixa visível o espaço da entrada. Se $f(t)=2t+1$, então $f(x^2-3)=2(x^2-3)+1$. A letra usada para indicar esse espaço não muda a regra. Nosso guia de funções explica entradas, saídas e domínio antes de encadeá-las.

Inverta a ordem e compare

Para as mesmas funções, $g(f(x))$ começa por $f$:

$$g(f(x))=(2x+1)^2-3=4x^2+4x-2$$

Em $x=4$, obtemos $f(4)=9$ e depois $g(9)=78$. Não é o 27 obtido em $f(g(4))$. As duas composições são válidas, mas respondem a perguntas diferentes. Dá para ver a diferença antes da álgebra: uma sequência eleva ao quadrado antes de dobrar; a outra dobra e soma um antes de elevar ao quadrado.

Uma coincidência em uma entrada não torna duas funções compostas idênticas. Para demonstrar igualdade como funções, compare as regras no domínio comum e confira se os domínios também são iguais. Em exercícios comuns, calcule as duas expressões e simplifique. Lembre que $f(g(x))$ não é $g(f(x))$ nem o produto $f(x)g(x)$.

Uma anotação útil é $x\xrightarrow{g}g(x)\xrightarrow{f}f(g(x))$. Desenhe a primeira seta antes de substituir qualquer valor. Isso ajuda especialmente se a regra interna tiver frações, raízes ou uma tabela.

Calcule a partir de tabela ou gráfico

Não é preciso ter fórmulas para compor funções. Considere esta tabela:

$x$	1	2	3	4
$g(x)$	3	4	1	2
$f(x)$	8	6	9	7

Para $f(g(2))$, leia $g(2)=4$ na primeira linha. Agora use 4 como entrada de $f$: $f(4)=7$. A resposta é 7. No sentido inverso, $f(2)=6$, mas a tabela não fornece $g(6)$. Não dá para obter $g(f(2))$ apenas dela. O valor pode existir se a função completa for definida em outro lugar; os valores listados não confirmam isso.

Um gráfico segue a mesma lógica. Na entrada 2, encontre primeiro a altura do gráfico de $g$, digamos 4. Recomece na entrada 4 do gráfico de $f$ e leia a altura, digamos 7. A primeira altura vira a segunda coordenada horizontal. Não leia as duas alturas em $x=2$ e depois as combine. Se um dos gráficos não tiver ponto na entrada necessária, a composição não estará definida ali.

Há uma diferença entre “não consta nesta tabela parcial” e “fora do domínio”. Uma tabela curta pode omitir um valor que existe. Um círculo aberto no gráfico ou um extremo declarado pode mostrar que um valor está excluído. Diga que tipo de informação você tem, em vez de inventar a saída ausente.

Confira o domínio antes de simplificar

O domínio de $f(g(x))$ tem duas condições. Primeiro, $x$ precisa pertencer ao domínio de $g$. Segundo, o resultado $g(x)$ precisa ser aceito como entrada de $f$. OpenStax apresenta a regra exatamente como essa passagem entre saída e entrada.

Toda a imagem de $g$ não precisa caber no domínio de $f$ para a composição existir em algumas entradas. Mantenha apenas as entradas para as quais ambas as etapas funcionam. Por exemplo, elevar ao quadrado aceita todos os reais, mas a raiz quadrada posterior aceita apenas saídas não negativas. Como quadrados não são negativos, esse par funciona para todos os reais. Se a regra interna mudar para uma subtração, o conjunto permitido pode diminuir. Confira a saída realmente transmitida, não somente as duas fórmulas isoladas.

Sejam $g(x)=x-1$ e $f(t)=\sqrt{t}$, com saídas reais. A regra interna aceita qualquer real, mas a raiz quadrada externa só aceita entradas não negativas. Portanto:

$$f(g(x))=\sqrt{x-1},\qquad x\geq1$$

Inverta a ordem. Agora $f(x)=\sqrt{x}$ roda primeiro e $g$ subtrai um depois:

$$g(f(x))=\sqrt{x}-1,\qquad x\geq0$$

As expressões e os domínios são diferentes. Em $x=0$, a segunda composição vale $-1$, enquanto a primeira não é definida nos reais. Essa é uma comparação mais decisiva do que achar uma entrada em que os valores diferem.

Um denominador cria outra condição. Suponha $g(x)=1/(x-2)$ e $f(t)=t+3$. Então $f(g(x))=1/(x-2)+3$, mas $x=2$ continua proibido porque a regra interna não é definida nesse ponto.

Cancelar fatores nunca recupera uma entrada originalmente proibida. Tome $g(x)=(x^2-1)/(x-1)$, definida apenas se $x\ne1$, e $f(t)=t^2$. É possível simplificar $g(x)$ para $x+1$ nas entradas permitidas. A expressão composta parece $(x+1)^2$, mas seu domínio ainda é $x\ne1$. Em $x=1$, a função interna original exige divisão por zero. Um polinômio que coincide nos demais pontos não preenche esse buraco sem definir uma função nova.

Divida uma regra maior em etapas

A composição também pode ser lida de trás para frente como descrição de como uma fórmula foi construída. Tome $h(x)=\sqrt{3x+2}$. Uma escolha é aplicar $g(x)=3x+2$ e depois $f(t)=\sqrt{t}$. Logo, $h=f\circ g$. A decomposição revela o domínio: é preciso $3x+2\geq0$, portanto $x\geq-2/3$.

Mais de uma decomposição pode ser válida. Você pode dividir a regra linear interna em “multiplicar por 3” e “somar 2”, e depois aplicar a raiz quadrada em uma terceira etapa. O importante é que a ordem indicada reproduza a regra original em cada entrada permitida.

Para uma transformação de gráfico, compare $f(x)=x^2$ com $f(x-2)=(x-2)^2$. A mudança ocorre dentro da entrada, então a parábola se desloca 2 unidades para a direita. Em $f(x)+2=x^2+2$, a soma acontece depois de $f$, então o gráfico sobe 2 unidades. Essa é a composição em ação: “subtrair 2 antes de elevar ao quadrado” difere de “elevar ao quadrado e depois somar 2”. Nosso guia de álgebra ajuda se a substituição ainda parece pouco familiar.

Pratique três verificações diferentes

1. Duas ordens. Sejam $f(x)=x+4$ e $g(x)=2x$. Calcule as duas composições. As respostas são $f(g(x))=2x+4$ e $g(f(x))=2x+8$. Em $x=3$, elas dão 10 e 14. A ordem muda o momento em que o 4 entra no cálculo.

2. Uma condição do domínio. Sejam $f(t)=1/t$ e $g(x)=x^2-9$. Então $f(g(x))=1/(x^2-9)$. Exclua $x=3$ e $x=-3$ porque ambas zeram o denominador externo. O polinômio interno, por sua vez, aceita todos os números reais.

3. Uma consulta à tabela. Use a tabela acima para calcular $g(f(3))$. Primeiro, $f(3)=9$. A tabela não traz $g(9)$, então os dados fornecidos não bastam. É uma resposta completa, não um cálculo malsucedido.

Depois de cada exercício, diga qual regra foi aplicada primeiro, que valor produziu e se a regra seguinte aceita esse valor. Confira então uma entrada numérica contra sua expressão algébrica. Na prática de funções do Math Zen, composição aparece ao lado de domínio e imagem, para que você pratique separadamente a passagem entre regras.

Uma função inversa é um caso particular em que uma regra desfaz a outra em domínios adequados. Não é preciso conhecer inversas para calcular composições comuns. Neste guia, basta seguir a sequência confiável: saída interna, entrada externa e verificação do domínio.