Funções inversas de forma intuitiva: desfaça as operações

Uma oficina cobra uma taxa de reserva de 8 dólares e depois 5 dólares por hora de uso de uma bancada. Três horas custam 23 dólares. Se o recibo mostra 23 dólares, quantas horas você reservou?

No sentido direto, multiplique as horas por 5 e some 8. Para voltar, subtraia 8 do valor do recibo e divida por 5. Essa regra de volta é uma função inversa. Ela responde a outra pergunta usando a mesma relação.

A álgebra geralmente é simples. O que exige atenção é saber se a regra de volta fornece uma única resposta e quais números ela pode receber.

Desfaça primeiro a última operação

Para a oficina, escreva o custo assim:

$$f(x) = 5x + 8$$

A inversa precisa retirar a taxa de reserva antes de desfazer a cobrança por hora:

$$f^{-1}(x) = \frac{x-8}{5}$$

Confira o recibo: $f^{-1}(23) = (23-8)/5 = 3$. Se você dividir por 5 primeiro, acabará distribuindo a taxa de reserva pela cobrança por hora e obterá a resposta errada.

A entrada de $f$ é o número de horas; a entrada de $f^{-1}$ é o valor em dólares. Usar a letra $x$ nas duas não quer dizer que ela represente a mesma grandeza. Ela ocupa o lugar do valor aceito por cada função.

Nesse modelo, horas negativas não fazem sentido. O domínio original é $x \geq 0$ e a imagem é $f(x) \geq 8$. Portanto, a inversa aceita custos de pelo menos 8 dólares. A álgebra permitiria substituir 3 dólares, mas o número negativo de horas resultante fica fora do modelo.

Função inversa e inverso multiplicativo são operações diferentes

O expoente em $f^{-1}$ se parece com uma potência negativa. Na notação de funções, ele indica a inversa. Não é uma instrução para dividir 1 por $f(x)$.

Para a mesma regra da oficina:

$$f^{-1}(x)=\frac{x-8}{5}, \qquad \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{5x+8}$$

A primeira expressão recupera as horas a partir do custo. A segunda é o inverso multiplicativo do custo, outra grandeza com outra finalidade. A seção da OpenStax sobre funções inversas distingue explicitamente essas notações.

Você também pode chamar a inversa de $g$. Escrever $g(f(x))=x$ diz exatamente o que precisamos sem o expoente: aplique a regra do custo e depois recupere as horas originais.

Encontre a inversa com álgebra

O procedimento conhecido é escrever $y=f(x)$, trocar $x$ e $y$ de lugar e isolar $y$. A troca registra a mudança de papéis: a saída antiga vira a entrada nova.

Veja outro exemplo:

$$y = \frac{2x-7}{3}$$

Troque as variáveis:

$$x = \frac{2y-7}{3}$$

Multiplique por 3, some 7 e divida por 2:

$$3x = 2y-7$$ $$3x+7 = 2y$$ $$y = \frac{3x+7}{2}$$

Logo, a inversa é $f^{-1}(x)=(3x+7)/2$. Cada etapa desfaz uma operação da regra original, começando pela divisão final por 3.

As notas de matemática de Paul trazem o mesmo procedimento geral e exemplos resolvidos com raízes e funções racionais. Seja qual for a expressão, acompanhe as entradas excluídas ao transformá-la. Multiplicar por um denominador não torna válido um valor proibido.

Confira nos dois sentidos

Testar um número pode revelar um erro de conta, mas não prova que duas regras se desfazem em todos os casos. Use a composição nos domínios indicados.

No exemplo acima, aplique a inversa à regra original:

$$f^{-1}(f(x)) = \frac{3\left(\frac{2x-7}{3}\right)+7}{2} = \frac{2x-7+7}{2}=x$$

Depois aplique a regra original à inversa:

$$f(f^{-1}(x)) = \frac{2\left(\frac{3x+7}{2}\right)-7}{3} = \frac{3x+7-7}{3}=x$$

Aqui os dois domínios incluem todos os números reais. Para uma raiz, um logaritmo ou uma fração, anote o domínio junto à verificação. Uma expressão simplificada pode esconder uma restrição que existia antes do cancelamento.

Se a composição ainda parecer estranha, comece pelo nosso guia de funções: a saída da regra de dentro vira a entrada da regra de fora. Leia os parênteses de dentro para fora.

Por que uma função quadrática precisa de um domínio restrito

Suponha que $f(x)=(x-2)^2$. Tanto $f(1)$ quanto $f(3)$ são iguais a 1. Se alguém informa apenas a saída 1, a regra não revela qual entrada foi usada.

Essa função não é injetora em todos os números reais. Uma relação de volta daria duas respostas para a maioria das entradas e, por isso, deixaria de ser uma função.

Escolha o ramo da direita restringindo o domínio original a $x \geq 2$. Agora o cálculo de volta não tem ambiguidade:

$$y=(x-2)^2, \qquad x \geq 2$$

Como $x-2$ não é negativo, tirar a raiz quadrada principal dá $\sqrt{y}=x-2$. Troque os nomes das variáveis para escrever:

$$f^{-1}(x)=2+\sqrt{x}, \qquad x \geq 0$$

A inversa aceita números não negativos e devolve números maiores ou iguais a 2. Confira $f^{-1}(9)=5$ e depois $f(5)=9$.

Se, em vez disso, você restringir o domínio original a $x \leq 2$, a inversa será $2-\sqrt{x}$. Essas são inversas de duas funções diferentes, cada uma com domínio restrito. Não coloque um sinal de mais ou menos e chame o resultado de uma única função inversa.

A mesma distinção importa nas equações quadráticas: uma equação pode ter duas soluções, mas uma função deve atribuir uma única saída a cada entrada permitida.

Leia a inversa em um gráfico

Se $f(4)=9$, o gráfico original contém $(4,9)$ e o da inversa contém $(9,4)$. Trocar as coordenadas reflete os pontos em relação à diagonal $y=x$.

Isso também explica o teste da reta horizontal. Se uma reta horizontal cruza o gráfico original duas vezes, uma saída corresponde a duas entradas. Depois de trocar as coordenadas, esses dois pontos ficariam na mesma reta vertical, dando duas saídas para uma entrada.

Experimente com a parábola acima. Uma reta horizontal na altura 1 a cruza em $x=1$ e $x=3$. Remova o ramo esquerdo, e ela só a cruzará uma vez. O gráfico agora contém informação suficiente para seguir de volta.

O domínio da inversa é a imagem original, então comece observando as alturas alcançadas pelo gráfico original. Um gráfico cujas saídas só aparecem acima de certa altura não pode ter uma inversa que aceite números abaixo dessa altura.

Três exercícios rápidos

Uma regra linear: encontre a inversa de $f(x)=7-2x$. Subtraia o valor de 7 e depois divida por 2: $f^{-1}(x)=(7-x)/2$. Neste caso, a expressão da inversa é diferente da original. Confira $f(2)=3$ e $f^{-1}(3)=2$.

Um cubo: encontre a inversa de $g(x)=x^3+6$. Elevar ao cubo mantém distintas as entradas negativas e positivas, então não é necessário restringir o ramo. Para qualquer entrada real, a inversa é $g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-6}$.

Um quadrado: encontre a inversa de $h(x)=x^2+6$ em $x \geq 0$. Ela é $h^{-1}(x)=\sqrt{x-6}$, com domínio $x \geq 6$. Sem essa última condição, a resposta fica incompleta.

Anote o domínio antes de conferir cada resposta. Depois verifique uma ida e volta numérica e as duas composições algébricas. Isso rende uma sessão curta e eficaz no Math Zen: use os exercícios de funções para praticar juntos a regra direta, a inversa e as restrições.

A mesma ideia liga funções exponenciais e logaritmos. Uma exponencial recebe um expoente e produz um número; seu logaritmo recupera o expoente. Quando você sabe o que a entrada representa e quais saídas são possíveis, pode raciocinar sobre a inversa.