Derivadas parciais: exercícios resolvidos passo a passo

Encontre as duas derivadas parciais de $f(x,y)=x^2y+3y^2$. Se suas respostas forem $2x$ e $6y$, você perdeu um coeficiente e um termo inteiro. Manter uma variável constante significa tratá-la como um número, não apagar todos os termos em que ela aparece. O par correto é $f_x=2xy$ e $f_y=x^2+6y$.

Esta sequência de exercícios começa com esse erro e avança para produtos, funções compostas, derivadas mistas e verificações numéricas. Tente resolver cada problema antes de ler a solução. Escreva ao lado da primeira linha qual variável está fixa; essa pequena anotação ajuda a perceber muitas respostas erradas.

Para visualizar o cálculo, leia o guia intuitivo de derivadas parciais. Aqui o foco é fazer a álgebra e conferir o resultado, sem reapresentar superfícies e gradientes.

A regra para escrever acima da conta

Para $f_x$, derive em relação a $x$ tratando $y$ como constante. Para $f_y$, troque os papéis. A definição de derivadas parciais no OpenStax explicita a entrada fixa no quociente de diferenças. Depois, valem as regras comuns de derivação para a variável que muda.

Por exemplo, com $y$ fixo, $y^2$ é constante, mas $xy^2$ é uma constante multiplicada por $x$. Suas derivadas em relação a $x$ são, portanto, diferentes:

$$\frac{\partial}{\partial x}(y^2)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(xy^2)=y^2.$$

Não substitua as duas coordenadas antes de derivar. Substituir o ponto completo transforma a expressão em um número e elimina a variação nas proximidades que você precisa estudar. Derive primeiro e avalie depois. Substituir apenas a coordenada mantida fixa é válido e dá uma conferência independente útil.

Problema 1: polinômio com duas entradas independentes

Encontre $f_x$ e $f_y$ para

$$f(x,y)=2x^3y-5xy^2+7y,$$

e avalie ambas em $(1,2)$.

Em relação a x: mantenha $y$ fixo. Os coeficientes de $x^3$ e $x$ são $2y$ e $-5y^2$. O último termo não varia:

$$f_x=6x^2y-5y^2.$$

Em relação a y: mantenha $x$ fixo. O primeiro termo é linear em $y$, o segundo é quadrático e o terceiro volta a ser linear:

$$f_y=2x^3-10xy+7.$$

No ponto pedido,

$$f_x(1,2)=12-20=-8, \qquad f_y(1,2)=2-20+7=-11.$$

As duas derivadas são negativas ali. Seus sinais não determinam o valor da função: altura e inclinação são grandezas distintas. Para conferir a primeira resposta de modo independente, substitua $y=2$ na função original. Você obtém $4x^3-20x+14$, cuja derivada comum é $12x^2-20$. Em $x=1$, ela volta a ser $-8$.

Problema 2: produto e exponencial

Encontre as duas derivadas parciais de

$$g(x,y)=x^2e^{xy}.$$

Para $g_x$, os dois fatores dependem de $x$; use a regra do produto. A exponencial também exige a regra da cadeia: com $y$ fixo, a derivada de $xy$ é $y$.

$$g_x=2xe^{xy}+x^2e^{xy}y =e^{xy}(2x+x^2y).$$

Para $g_y$, o fator $x^2$ é constante. Só a exponencial muda, e a derivada de seu expoente em relação a $y$ é $x$:

$$g_y=x^2e^{xy}x=x^3e^{xy}.$$

Em $(1,0)$, temos $g_x=2$ e $g_y=1$. Uma resposta errada comum é $g_x=2xe^{xy}$. Ela deriva o primeiro fator e esquece que o segundo também depende de $x$. Outra troca a derivada interna por 1 nas duas contas, perdendo a diferença entre $x$ e $y$.

Se precisar praticar a identificação da função interna, os exemplos da regra da cadeia separam cada camada antes de recombinar os fatores.

Problema 3: logaritmos, frações e domínio

Considere

$$h(x,y)=\ln(x^2+2y^2).$$

O logaritmo exige $x^2+2y^2>0$, portanto a origem fica excluída. Em qualquer outro ponto, derive a expressão interna e divida por ela:

$$h_x=\frac{2x}{x^2+2y^2}, \qquad h_y=\frac{4y}{x^2+2y^2}.$$

Em $(2,1)$ o denominador vale 6; as duas derivadas são $2/3$. Essa igualdade vale apenas nesse ponto. Ela não significa que as duas funções derivadas sejam idênticas.

O denominador fornece um aviso útil. Nem a função original nem essas fórmulas têm valor em $(0,0)$. Uma conta que devolve zero ali substituiu coordenadas em uma fração indefinida. Confira o domínio antes de avaliar, especialmente quando um exercício mistura raízes, logaritmos e quocientes.

Problema 4: derivadas mistas nas duas ordens

Tome

$$p(x,y)=x^2y^3+\sin(xy).$$

Neste guia, $p_{xy}$ significa derivar primeiro em relação a $x$ e depois em relação a $y$. Escreva a derivada intermediária para deixar a ordem inequívoca:

$$p_x=2xy^3+y\cos(xy).$$

Agora derive essa expressão em relação a $y$. O segundo termo precisa da regra do produto:

$$p_{xy}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

Inverta a ordem:

$$p_y=3x^2y^2+x\cos(xy),$$ $$p_{yx}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

Os resultados coincidem. Aqui todas as derivadas relevantes são contínuas, então a igualdade também é esperada pelo teorema das derivadas mistas descrito no OpenStax. Não trate essa coincidência como regra incondicional para toda função possível. Em um exercício comum com função suave, ela é uma ótima conferência; em um ponto sem regularidade, as hipóteses do teorema importam.

Problema 5: a terceira variável é outra entrada fixa

Para

$$q(x,y,z)=xy^2+z\cos x,$$

encontre as três primeiras derivadas parciais. Mantendo duas entradas fixas por vez, obtemos

$$q_x=y^2-z\sin x, \qquad q_y=2xy, \qquad q_z=\cos x.$$

Em $(0,2,3)$, os valores são 4, 0 e 1. O zero do meio não afirma que a função nunca depende de $y$. Ele indica que a taxa de variação de primeira ordem nessa direção é zero nesse ponto específico. Substituir $x=0$ na expressão original confirma que a seção é simplesmente $q=3$ quando $z=3$.

Verificação numérica que revela um fator perdido

Volte ao problema 1 em $(1,2)$. Mantenha $y=2$, escolha um número positivo pequeno $s$ e calcule a diferença central

$$\frac{f(1+s,2)-f(1-s,2)}{2s}.$$

Para esse polinômio, expandir o numerador dá exatamente $-8+4s^2$. As verificações são:

Isso verifica uma resposta simbólica, não prova uma fórmula de derivada. Também verifica apenas o ponto escolhido. Se você mudar acidentalmente as duas coordenadas no numerador, estará medindo a mudança por outro caminho. Na aritmética de ponto flutuante, um passo minúsculo pode introduzir erro de cancelamento; mais zeros nem sempre melhoram o teste.

Diagnostique a resposta errada antes de recomeçar

Use a tabela para corrigir o passo específico, em vez de refazer toda a álgebra. Se as regras comuns de derivação ainda causam erros, reveja a introdução às derivadas.

Resolva mais dois exercícios e compare o trabalho

Exercício A. Encontre $r_x$ e $r_y$ para $r(x,y)=3x^2y+y^4$ e avalie em $(2,-1)$.

As derivadas são $r_x=6xy$ e $r_y=3x^2+4y^3$. No ponto, valem $-12$ e $8$. O termo $y^4$ desaparece apenas da derivada em x. Na derivada em y, contribui com $4y^3=-4$.

Exercício B. Encontre as duas primeiras derivadas parciais de $s(x,y)=\cos(2x-y)$ e avalie em $(0,0)$.

A regra da cadeia dá $s_x=-2\sin(2x-y)$ e $s_y=\sin(2x-y)$. O sinal positivo na segunda resposta vem de dois negativos: um ao derivar o cosseno e outro ao derivar $2x-y$ em relação a $y$. Os dois valores na origem são zero, embora as fórmulas sejam diferentes.

Quando esses cálculos estiverem confortáveis, continue com a prática de derivadas parciais. Registre brevemente o tipo de erro corrigido: entrada fixa, regra do produto, derivada interna ou substituição antecipada. Esse registro indica qual tipo de problema repetir em seguida.