Entendendo derivadas parciais de forma intuitiva (inclinação numa direção)

Uma derivada ordinária é a inclinação de uma curva. Você tem uma entrada, uma saída, e em cada ponto um único número que diz quão rápido a saída está mudando. Essa imagem falha no instante em que a função tem duas entradas. Um gráfico em três dimensões é uma superfície, não uma curva, e uma superfície não tem uma só inclinação. Do mesmo ponto você pode andar para o leste e achar uma subida suave, ou para o norte e achar uma descida.

A derivada parcial é a troca honesta. Ela responde a uma pergunta mais estreita: se eu segurar todas as outras entradas paradas e andar só nesta direção, qual é a inclinação? O resto do capítulo, as mistas, o gradiente, a regra da cadeia em várias variáveis, é a mesma pergunta feita ao longo de vários caminhos.

Uma superfície não tem uma só inclinação

Uma função de uma variável desenha uma curva no plano. Uma função de duas variáveis, f(x, y), desenha uma superfície no espaço. Cada par (x, y) é um ponto no chão, e f(x, y) é a altura do teto acima desse ponto.

Pegue a tigela

$$f(x, y) = x^{2} + y^{2}$$

Na origem a altura é 0. Em (1, 0) é 1. Em (0, 2) é 4. Em (1, 2) é 5. Em pé em (1, 2), nenhum número único merece o nome de «a inclinação». Ande na direção x e o teto continua subindo. Ande em y e sobe mais depressa. Ande na diagonal e você mistura as duas.

É por isso que quem dominou o cálculo de uma variável sente o chão mexer. A derivada em que confiava era uma descrição completa da mudança local. Numa superfície, é só a descrição de um passeio escolhido.

Mapas do tempo e mapas topográficos já usam a ideia. Uma curva de nível é um conjunto de pontos na mesma altura. Onde as curvas se apertam, a superfície é íngreme. Onde se abrem, é suave. Uma derivada parcial é a inclinação que você mediria se seguisse uma linha da grade nesse mapa e ignorasse a outra.

Segure uma entrada parada

O movimento que torna a superfície legível é um corte.

Fixe y numa constante, digamos y = 2, e olhe só como a altura depende de x. A função se reduz a

$$g(x) = f(x, 2) = x^{2} + 4$$

uma parábola ordinária sentada quatro unidades acima do eixo x. A derivada dela é 2x. Esse número é a derivada parcial de f em relação a x, avaliada ao longo da reta y = 2. Em x = 1 vale 2: se você está em (1, 2) e dá um passo minúsculo em x, o teto sobe cerca de 2 unidades de altura por unidade de passo.

Fixe x em vez disso, digamos x = 1, e o corte é

$$h(y) = 1 + y^{2}$$

com derivada 2y. Em y = 2 essa inclinação vale 4. Mesmo ponto, outro passeio, outra inclinação. Não há contradição. Você fez duas perguntas diferentes.

No cálculo, a regra é a do cálculo de uma variável. Para achar $\frac{\partial f}{\partial x}$, trate y como constante e derive em x. Para achar $\frac{\partial f}{\partial y}$, trate x como constante e derive em y. Para a tigela, $\frac{\partial f}{\partial x}$ = 2x e $\frac{\partial f}{\partial y}$ = 2y. A outra variável nem aparece, porque cada termo de $x^{2} + y^{2}$ depende de uma só entrada. Num produto como $3x^{2}$y as duas aparecem: $\frac{\partial}{\partial x}$ dá 6xy, porque 3y é um coeficiente fixo de $x^{2}$, e $\frac{\partial}{\partial y}$ dá $3x^{2}$, porque $3x^{2}$ é um coeficiente fixo de y.

A frase «segure a outra variável constante» não é truque de prova. É o corte. Você está numa linha da grade e pergunta a inclinação do teto ao longo dessa linha.

O d curvo é um aviso

O símbolo ∂, o d curvo, existe para que este corte não se confunda com duas outras derivadas.

O d ordinário de $\frac{df}{dx}$ pertence a uma função de uma variável. Se alguém escreve $\frac{df}{dx}$ para f(x, y), não disse o que acontece com y. Talvez y seja independente e congelado, e então é a parcial. Talvez y seja secretamente uma função de x, e nesse caso x pode mudar a saída pelos dois canais ao mesmo tempo, e você precisa da derivada total. O d curvo anuncia a primeira leitura: esta entrada se move, as outras não.

A notação então se divide em dois hábitos com o mesmo sentido:

• forma de Leibniz: $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$
• forma de índice: $f_x$ e $f_y$

As duas são a inclinação de um corte. Parciais de ordem mais alta empilham os índices ou os denominadores. $f_xx$ é «corte em x, depois corte de novo essa inclinação em x», a derivada segunda ordinária ao longo dessa linha da grade. $f_xy$ é «corte em x, depois pergunte como essa inclinação em x muda quando você anda em y».

O d curvo não é um algoritmo novo. Regra da potência, do produto, da cadeia, todas ainda valem. A informação nova é quais variáveis estão congeladas. Esquecer isso é ler o assunto inteiro como se fosse outro.

As mistas medem a torção

Quando você tem $f_x$, pode derivar de novo. Derivar em relação a x produz $f_xx$, a concavidade do corte leste-oeste. Derivar em relação a y produz a mista $f_xy$: como a própria inclinação leste-oeste muda quando você anda para o norte.

Na tigela $x^{2} + y^{2}$, $f_x$ = 2x, então $f_xy$ = 0. A inclinação leste-oeste depende só de x. Andar para o norte não a muda. A superfície é uma tigela circular, com simetria de rotação, sem torção.

Na sela

$$f(x, y) = x^{2} - y^{2}$$

as primeiras parciais são $f_x$ = 2x e $f_y$ = -2y. As mistas são de novo ambas zero. O exemplo misto interessante é um produto,

$$f(x, y) = x^{2} y$$

Aqui $f_x$ = 2xy, depois $f_xy$ = 2x. Do outro lado, $f_y$ = $x^{2}$, depois $f_yx$ = 2x. As duas mistas coincidem.

Esse acordo é o caso usual, não um acaso. Para as funções suaves de um primeiro curso de cálculo em várias variáveis, as mistas são iguais: a torção que você sente ao andar para o leste e depois para o norte é a que sente ao andar para o norte e depois para o leste. O teorema tem hipóteses técnicas (as mistas precisam ser contínuas); a imagem não. Numa superfície sem vinco, a ordem dos dois passinhos não importa.

Quando um livro pede para «verificar que $f_xy$ = $f_yx$», pede para checar que a superfície não está torcida numa ordem e não na outra. Para qualquer função de um curso introdutório, fecha, e o cálculo é prática da regra do corte, não uma ideia nova.

O gradiente junta as inclinações

Duas primeiras parciais num ponto são dois números. Escritas como par, viram um vetor no plano das entradas:

$$\nabla f = (f_x, f_y)$$

Esse vetor é o gradiente. Cada componente é a inclinação de um corte, então o objeto inteiro é um trajeto: «tanto para o leste, tanto para o norte» nas coordenadas do chão, não na altura. O trajeto aponta na direção da subida mais íngreme. O comprimento é o quão íngreme é essa subida. O trajeto oposto, -$\nabla f$, aponta para baixo, por isso a descida por gradiente caminha contra o gradiente.

Em (1, 2) na tigela $x^{2} + y^{2}$, o gradiente é (2, 4). Desse ponto do chão, o caminho mais rápido para o alto do teto é a direção do vetor (2, 4), a mesma direção de (1, 2) ele mesmo. O caminho mais íngreme numa tigela circular sai radialmente para fora, o que a imagem já sugeria e o gradiente confirma.

Um ponto em que as duas parciais se anulam é um ponto crítico. O trajeto do gradiente tem comprimento zero: em primeira ordem, nenhuma direção sobe nem desce. Pode ser um mínimo (o fundo da tigela, na origem), um máximo (o topo de uma colina) ou uma sela (um colo de montanha: um mínimo ao longo de um corte e um máximo ao longo do outro). A sela $x^{2} - y^{2}$ tem um ponto crítico na origem. O corte em x é um vale, o corte em y uma crista, e o gradiente é zero porque essas duas inclinações de primeira ordem se cancelam num instante plano, não numa vizinhança plana.

A otimização em várias variáveis é essa busca. Ache onde o gradiente é o trajeto nulo, depois leia as segundas parciais, ou os cortes vizinhos, para ver se você tem uma tigela, uma colina ou um colo. O teste da derivada segunda com D = $f_xx$ $f_yy$ - ($f_xy$)² é uma versão empacotada dessa leitura. D não é a ideia. A ideia é que os dois cortes, e a torção entre eles, classificam o ponto.

A regra da cadeia em várias variáveis é o mesmo emparelhamento em movimento. Se um caminho (x(t), y(t)) anda pelo chão, a altura ao longo do caminho muda à taxa

$$\frac{df}{dt} = f_x x'(t) + f_y y'(t)$$

que é o produto escalar do gradiente com a velocidade do caminho. A superfície oferece um trajeto de inclinações. O caminho oferece um trajeto de movimento. O acordo deles é a taxa com que a altura muda para alguém que realmente anda. Quando o caminho é paralelo ao gradiente, a altura muda o mais rápido possível. Quando é perpendicular, a altura é instantaneamente constante, e esse é o sentido geométrico de uma curva de nível.

De onde vêm os erros

Erros de derivadas parciais são quase todos falhas em congelar a variável certa.

O primeiro: derivar tudo o que está à vista. Pedida $\frac{\partial}{\partial x}$ de $3x^{2}$y, um aluno escreve 6xy + $3x^{2}$, a soma das duas parciais, ou 6x, como se y fosse x. A regra do corte é mais rígida: y é um número durante esta derivada. Na resposta ele fica só como coeficiente.

O segundo: acreditar que uma superfície tem uma só inclinação. Software que pinta por altura pode esconder isso, porque o olho lê uma única íngreme. Pergunte a inclinação num ponto e é preciso responder «em que direção?». Uma derivada parcial é uma dessas respostas. O gradiente é a coleção das respostas alinhadas aos eixos. Nenhum é «a» inclinação do teto.

O terceiro: misturar ∂ com d. Se y de fato depende de x, congelar y é o modelo errado da situação. Taxas relacionadas e algumas equações diferenciais precisam da derivada total, que deixa cada canal de dependência contribuir. Uma derivada parcial está certa quando as outras entradas são de fato independentes, ou quando você escolheu estudar um canal de propósito.

O quarto: tratar um gradiente nulo como mínimo garantido. A origem de $x^{2} - y^{2}$ é crítica e não é min nem max. Planura de primeira ordem não é planura de segunda. Ainda é preciso olhar os cortes.

O quinto: ler $\nabla f$ como um valor de f. O gradiente não é a altura. É um trajeto no plano das entradas, feito de inclinações. Confundi-los é a mesma mistura da qual o artigo de vetores avisava: tratar uma direção como se fosse um lugar.

Onde o Math Zen entra

Derivadas parciais se apoiam nas ordinárias como matrizes se apoiam em vetores. Se as regras de uma variável ainda são verbais, cada corte vira ritual. Se estão fluentes, uma derivada parcial é uma decisão a mais: qual entrada se move.

A prática de derivadas parciais no Math Zen segue essa ordem. Os primeiros baldes perfuram o corte em si: dada f(x, y), escreva $f_x$ e $f_y$ tratando a outra variável como constante. Os baldes seguintes empilham derivadas ($f_xx$, $f_xy$, $f_yx$), montam o gradiente, aplicam a regra da cadeia ao longo de um caminho e classificam pontos críticos. As imagens deste artigo são exatamente essa lista.

Um ciclo útil: pegue uma função de duas variáveis, desenhe os dois cortes num ponto, calcule as duas primeiras parciais, forme o gradiente e diga em voz alta para que lado sobe. Depois volte depois de uma pausa, com o mesmo calendário de repetição espaçada do resto da sequência de cálculo. O objetivo não é memorizar que «y é constante». É ver uma superfície e saber qual passeio você está fazendo.

Em resumo

Uma derivada parcial é a inclinação de uma superfície numa direção, com todas as outras entradas paradas. O d curvo marca esse congelamento. As mistas perguntam como a inclinação de um corte muda quando você anda ao longo do outro eixo, e numa superfície suave as duas ordens coincidem. O gradiente junta as primeiras parciais num trajeto que aponta para cima. Pontos críticos são onde esse trajeto some, e podem ser tigelas, colinas ou selas.

Segurado assim, a diferenciação em várias variáveis não é um cálculo novo. É o cálculo ordinário, apontado ao longo de uma linha da grade de cada vez, depois remontado. A superfície tem muitas inclinações. Uma derivada parcial é o que você obtém quando finalmente diz qual delas você quer dizer.