Integração por partes: exemplos para escolher u e conferir respostas

Considere $\int x e^{2x}\,dx$. A regra da potência não integra o produto inteiro, e integrar apenas $e^{2x}$ deixa o $x$ de fora. A integração por partes dá uma direção útil ao produto: derive a parte que fica mais simples, integre a que continua administrável e depois resolva a integral menor que sobrou.

Esta lição apresenta exemplos de integração por partes, desde um único produto até aplicações repetidas e limites definidos. Se quiser entender o significado de uma integral antes da técnica, comece pelo nosso guia de integrais. O guia de derivadas também ajuda, pois derivar sua resposta é a melhor conferência aqui.

De onde vem a fórmula

A regra do produto diz que $\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$. Integre os dois lados e passe um termo para o outro lado. Isso dá a fórmula de integração por partes descrita em OpenStax Calculus, volume 2:

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

Aqui, $u$ é a expressão que você escolhe derivar, e $dv$ é a que escolhe integrar. Depois de encontrar $du$ e $v$, a nova integral $\int v\,du$ deve ser mais fácil do que a original. Se ficar pior, repense a divisão. A fórmula decorre algebricamente da regra do produto; não garante que toda escolha ajude.

Numa integral indefinida, lembre-se da constante $C$ ao final. A escolha de uma primitiva para $v$ pode absorver uma constante, mas é mais simples escolher uma $v$ conveniente e acrescentar $C$ à resposta final.

Escolha u e dv com um propósito

A pergunta útil é: “Qual fator diminui quando é derivado?” Um polinômio como $x^2$ vira $2x$, depois $2$ e, por fim, zero. Um logaritmo vira $1/x$, que muitas vezes combina bem com o restante. Enquanto isso, exponenciais e seno ou cosseno continuam fáceis de integrar repetidamente.

O conhecido mnemônico LIATE ordena fatores logarítmicos, trigonométricos inversos, algébricos, trigonométricos e exponenciais como candidatos a $u$. O OpenStax o apresenta como uma heurística, não um teorema. Confira a integral resultante $\int v\,du$ em vez de confiar na primeira letra que aparecer. Outra divisão pode ser mais curta, e alguns produtos são mais fáceis por substituição.

Por exemplo, $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ contém uma função interna $x^2$ e sua derivada $2x$. Faça $t=x^2$. Então $dt=2x\,dx$ e a integral é $\sin(x^2)+C$. Usar partes transformaria uma composição simples em trabalho desnecessário. Já em $x e^{2x}$ não há essa correspondência direta entre função interna e derivada, enquanto derivar $x$ elimina esse fator.

Antes de calcular, escreva uma pequena tabela de duas colunas: $u$ e $du$ de um lado, $dv$ e $v$ do outro. Pergunte então se multiplicar $v$ por $du$ produz uma integral mais simples. Essa conferência evita escolher como $u$ o fator mais fácil de integrar apenas porque ele parece familiar.

Exemplo 1: fator linear vezes exponencial

Calcule $\int x e^{2x}\,dx$. Escolha $u=x$, logo $du=dx$. Escolha $dv=e^{2x}\,dx$, o que dá $v=\frac12e^{2x}$. O fator $\frac12$ importa: derivar $e^{2x}$ produz um dois extra.

$$\begin{aligned} \int x e^{2x}\,dx &=x\left(\frac12e^{2x}\right)-\int\frac12e^{2x}\,dx\\ &=\frac{x e^{2x}}2-\frac{e^{2x}}4+C\\ &=\frac{e^{2x}}4(2x-1)+C. \end{aligned}$$

Derive a resposta fatorada. A regra do produto dá $\frac14[2e^{2x}(2x-1)+2e^{2x}]$, que se simplifica para $x e^{2x}$. Recuperamos exatamente o integrando. Se a conferência tivesse dado $2x e^{2x}$, o erro provável seria esquecer $\frac12$ ao integrar $e^{2x}$.

A escolha também tem um ponto claro de parada: derivar $x$ deixa uma constante, de modo que a integral restante contém apenas a exponencial. É isso que “mais simples” significa neste exemplo.

Exemplo 2: integre um logaritmo

Calcule $\int\ln x\,dx$ para $x>0$. Não há um produto escrito, mas você pode acrescentar o fator um: $\ln x=1\cdot\ln x$. Escolha $u=\ln x$ e $dv=dx$. Então $du=\frac1x\,dx$ e $v=x$.

$$\begin{aligned} \int\ln x\,dx &=x\ln x-\int x\frac1x\,dx\\ &=x\ln x-x+C. \end{aligned}$$

A conferência é breve: $\frac{d}{dx}(x\ln x-x)=\ln x+1-1=\ln x$. O domínio $x>0$ permite escrever $\ln x$ e $1/x$ sem cruzar o zero. A primitiva mais geral $x\ln|x|-x+C$ vale em intervalos que não incluem zero, mas a questão enunciada permanece no lado positivo.

Se você escolhesse $u=1$ e $dv=\ln x\,dx$, precisaria conhecer a integral original só para encontrar $v$. Essa escolha circular explica por que o logaritmo deve ser $u$ aqui.

Exemplo 3: repita até o polinômio desaparecer

Calcule $I=\int x^2\sin x\,dx$. Derivar $x^2$ reduz seu grau, e integrar seno continua simples. Primeiro escolha $u=x^2$ e $dv=\sin x\,dx$, então $du=2x\,dx$ e $v=-\cos x$:

$$I=-x^2\cos x+2\int x\cos x\,dx.$$

A integral restante ainda contém um produto. Defina $J=\int x\cos x\,dx$ e aplique partes outra vez: $u=x$, $du=dx$, $dv=\cos x\,dx$ e $v=\sin x$. Assim,

$$J=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$$

Substitua esse resultado em $I$:

$$\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$$

Agora derive termo a termo. A derivada de $-x^2\cos x$ é $-2x\cos x+x^2\sin x$. A derivada de $2x\sin x$ é $2\sin x+2x\cos x$; a de $2\cos x$ é $-2\sin x$. Todos os termos extras se cancelam, sobrando $x^2\sin x$. Esse cancelamento confere tanto o sinal ao integrar seno quanto o fator dois ao derivar $x^2$.

Repetir a integração por partes é útil quando cada aplicação torna um fator menor. Se a nova integral se parecer com a original, ainda pode ser possível resolvê-la reunindo a integral original de um lado, mas não continue aplicando a fórmula sem enxergar um fim.

Exemplo 4: mantenha os limites numa integral definida

Calcule $\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx$. O fator $x$ é fácil de integrar, mas derivar $\ln(1+x)$ produz $1/(1+x)$. Escolha $u=\ln(1+x)$ e $dv=x\,dx$. Então $du=\frac{1}{1+x}\,dx$ e $v=x^2/2$. A forma definida da integração por partes é $\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du$.

$$\begin{aligned} \int_0^1 x\ln(1+x)\,dx &=\left[\frac{x^2}{2}\ln(1+x)\right]_0^1 -\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}\,dx\\ &=\frac12\ln2-\frac12\int_0^1\left(x-1+\frac1{x+1}\right)dx. \end{aligned}$$

A divisão de polinômios dá $x^2/(x+1)=x-1+1/(x+1)$. Sua integral de zero a um é $1/2-1+\ln2=\ln2-1/2$. Portanto,

$$\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx =\frac12\ln2-\frac12\left(\ln2-\frac12\right)=\frac14.$$

O resultado positivo é plausível, pois $x\ln(1+x)$ é não negativo em $[0,1]$. Como conferência algébrica independente, uma primitiva é $\frac{x^2-1}{2}\ln(1+x)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}$; avaliá-la em um e zero também dá $1/4$. Para integrais definidas, leve os mesmos extremos à nova integral. O número final não tem $+C$.

Três exercícios com soluções

1. Polinômio e exponencial. Calcule $\int 3x e^x\,dx$.

Tome $u=3x$ e $dv=e^x\,dx$. Então $du=3\,dx$ e $v=e^x$, logo

$$\int 3x e^x\,dx=3x e^x-3\int e^x\,dx=3e^x(x-1)+C.$$

Derive $3e^x(x-1)$: o resultado é $3e^x(x-1)+3e^x=3xe^x$. Ele coincide com o integrando original.

2. Logaritmo com coeficiente. Calcule $\int x\ln x\,dx$ para $x>0$.

Escolha $u=\ln x$ e $dv=x\,dx$. Então $du=dx/x$ e $v=x^2/2$:

$$\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C.$$

Derivando, obtemos $x\ln x+x/2-x/2=x\ln x$. Deixar os dois termos $x/2$ visíveis facilita acompanhar a conferência.

3. Integral definida. Calcule $\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx$.

Tome $u=x$ e $dv=\cos x\,dx$, obtendo $du=dx$ e $v=\sin x$. Aplique os limites após o passo da integração por partes:

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx &=[x\sin x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx\\ &=\frac\pi2-[-\cos x]_0^{\pi/2}\\ &=\frac\pi2-1. \end{aligned}$$

Tanto $x$ quanto $\cos x$ são não negativos nesse intervalo, e $\pi/2-1$ é positivo. Derivar $x\sin x+\cos x$ produz $x\cos x$, o que confere a primitiva usada para calcular os extremos.

Para praticar as escolhas de primitivas, acesse o tópico de integrais do Math Zen. Como aplicação posterior de métodos repetidos de integração, leia o guia de transformadas de Laplace.