Como escolho u na integração por substituição?

Procure uma função interna cuja derivada também apareça no integrando, pelo menos a menos de um fator constante. Em 2x(x² + 1)^5 a função interna é x² + 1 e sua derivada 2x está do lado de fora, então u = x² + 1 é a escolha natural.

E se a derivada só aparece a menos de uma constante?

Um fator constante não é problema. Se u = x², então du = 2x dx, logo x dx = du/2 e o 1/2 vai para a frente da integral. Só constantes podem ser movidas assim; um fator x que falta não se resolve dividindo.

Preciso trocar os limites numa integral definida?

Ou você converte os limites para valores de u e nunca volta para x, ou encontra primeiro a primitiva em x e usa os limites originais. Misturar as duas coisas, integrando novo com limites antigos, é o erro mais comum.

Como confiro um resultado obtido por substituição?

Derive o resultado com a regra da cadeia. Você precisa obter exatamente o integrando original. Numa integral definida, uma estimativa numérica rápida também pega um sinal errado ou um fator esquecido.

Integração por substituição: exemplos para escolher u e conferir

Considere $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ . Nenhuma regra básica integra diretamente um produto assim e, mesmo assim, a resposta é curta: $\sin(x^2)+C$ . Derive $\sin(x^2)$ com a regra da cadeia e você obtém $\cos(x^2)\cdot2x$ , ou seja, o integrando. A integração por substituição é o método que encontra esse tipo de resposta de propósito. Ela aplica a regra da cadeia ao contrário: identifique uma função interna, chame-a de $u$ e deixe sua derivada absorver o fator que sobra.

Este guia resolve seis exemplos de substituição, do caso simples a fatores constantes, logaritmos, integrais definidas com novos limites e uma substituição que exige isolar $x$ . Se a regra da cadeia ainda parece insegura, aqueça primeiro com nossos exemplos da regra da cadeia; todas as verificações abaixo dependem dela.

A regra em uma linha

O OpenStax Calculus, volume 1, §5.5 enuncia a substituição para integrais indefinidas: se $u=g(x)$ e $F$ é uma primitiva de $f$ , então

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C.

Na prática você escreve $u=g(x)$ e $du=g'(x)\,dx$ , reescreve a integral inteira em $u$ , integra e volta à variável original. O teste de uma boa escolha é simples: depois de reescrever, não pode sobrar nenhum $x$ . Se sobrar, isole-o em função de $u$ ou escolha outro $u$ .

Como escolher u

Procure uma função dentro de outra: dentro de uma potência, sob uma raiz, num expoente ou dentro de uma função trigonométrica ou logarítmica. Depois pergunte se a derivada dela, talvez multiplicada por uma constante, multiplica o resto.

Integrando	Função interna	Sua derivada	Aparece?
$2x(x^2+1)^5$	$x^2+1$	$2x$	Sim
$xe^{x^2}$	$x^2$	$2x$	A menos do fator 2
$\frac{\ln x}{x}$	$\ln x$	$\frac{1}{x}$	Sim
$e^{x^2}$	$x^2$	$2x$	Não, a substituição falha

A última linha importa. $\int e^{x^2}\,dx$ parece com a segunda linha, mas sem o fator $x$ não há nada para $du$ absorver, e essa integral nem tem primitiva elementar. A substituição não é um truque que sempre funciona; ela funciona quando a derivada está lá.

Exemplo 1: a derivada já está presente

Calcule $\int 2x(x^2+1)^5\,dx$ . Seja $u=x^2+1$ , então $du=2x\,dx$ . O fator $2x\,dx$ é exatamente $du$ :

\int 2x(x^2+1)^5\,dx=\int u^5\,du=\frac{u^6}{6}+C=\frac{(x^2+1)^6}{6}+C.

Verificação: a derivada de $\frac{(x^2+1)^6}{6}$ é $(x^2+1)^5\cdot2x$ . Expandir $(x^2+1)^5$ e integrar termo a termo também funcionaria, mas leva muito mais tempo e convida a erros de conta.

Exemplo 2: falta um fator constante

Calcule $\int xe^{x^2}\,dx$ . Com $u=x^2$ obtemos $du=2x\,dx$ , mas o integrando só tem $x\,dx$ . Divida por dois: $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$ .

\int xe^{x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{x^2}+C.

Colocar $\frac{1}{2}$ para fora da integral é permitido porque é uma constante. Você não pode fazer o mesmo com um fator variável que falta: $\int e^{x^2}\,dx$ não se salva escrevendo $dx=\frac{du}{2x}$ , porque aí sobra $x$ dentro da integral em $u$ .

Exemplo 3: um logaritmo como função interna

Calcule $\int\frac{\ln x}{x}\,dx$ para $x>0$ . Seja $u=\ln x$ , então $du=\frac{1}{x}\,dx$ :

\int\frac{\ln x}{x}\,dx=\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C=\frac{(\ln x)^2}{2}+C.

Um resultado padrão relacionado vem de $\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$ . Seja $u=\cos x$ , então $du=-\sin x\,dx$ e a integral fica $-\int\frac{du}{u}=-\ln\lvert\cos x\rvert+C$ . Cuidado com o sinal de menos: ele vem da derivada do cosseno, e perdê-lo é o erro comum neste exemplo.

Exemplo 4: uma integral definida com novos limites

Calcule $\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx$ . Seja $u=1+x^2$ , então $du=2x\,dx$ e $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$ . Agora converta os limites: quando $x=0$ , $u=1$ ; quando $x=1$ , $u=2$ .

\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx=\frac{1}{2}\int_1^2 u^3\,du=\frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{16-1}{4}=\frac{15}{8}.

Depois que os limites estão em $u$ , não é preciso voltar à variável original. O OpenStax apresenta exatamente essa forma da regra para integrais definidas: os limites passam a ser $g(a)$ e $g(b)$ . O erro clássico é usar o integrando novo com os limites antigos 0 e 1, o que aqui daria $\frac{1}{8}$ , uma resposta errada por um fator de 15.

Teste de bom senso: o integrando sobe de 0 em $x=0$ para 8 em $x=1$ , então a área deve ficar entre 0 e 8, e provavelmente mais perto do valor baixo, porque a curva só fica íngreme perto da borda direita. $\frac{15}{8}=1.875$ faz sentido.

Exemplo 5: isolar o x que sobra

Calcule $\int x\sqrt{x+1}\,dx$ . Tome $u=x+1$ , então $du=dx$ . Sobra um $x$ fora da raiz. Isole-o a partir da substituição: $x=u-1$ .

\int x\sqrt{x+1}\,dx=\int(u-1)u^{1/2}\,du=\int\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du=\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C.

Esse retorno é legítimo porque $u=x+1$ é fácil de inverter. Quando um $x$ que sobra não pode ser escrito em $u$ de forma limpa, a substituição provavelmente é a errada.

Exemplo 6: quando a substituição não é a ferramenta certa

Tente $\int xe^{x}\,dx$ . O candidato óbvio $u=x$ não muda nada, e $u=e^x$ deixa $x=\ln u$ lá dentro, transformando o problema em $\int\ln u\,du$ , que de qualquer jeito precisa de outro método. Esse produto não tem uma função interna acompanhada da sua derivada. É um caso para a integração por partes, em que um fator fica mais simples ao ser derivado.

Um hábito útil: gaste no máximo um minuto testando uma ou duas escolhas de $u$ . Se nenhuma fizer o $x$ sumir, troque de ferramenta em vez de forçar.

Erros a evitar

Esquecer o du. Escrever $u=x^2$ e trocar só a função interna deixa $dx$ numa integral em $u$ . Cada $dx$ precisa virar um múltiplo de $du$ .
Dividir por uma variável. Só fatores constantes podem sair da integral.
Limites antigos numa integral nova. Converta os dois limites ou volte para $x$ antes de calcular.
Deixar a resposta em u. Numa integral indefinida, volte à variável original para que a resposta seja função de $x$ , e mantenha o $+C$ .
Pular a verificação. Derivar a resposta leva segundos e pega quase todo deslize com sinais e constantes.

Exercícios com resposta

$\int 3x^2(x^3-4)^4\,dx$ . Seja $u=x^3-4$ . Resposta: $\frac{(x^3-4)^5}{5}+C$ .
$\int\sin^2x\cos x\,dx$ . Seja $u=\sin x$ . Resposta: $\frac{\sin^3x}{3}+C$ .
$\int e^{3x}\,dx$ . Seja $u=3x$ , então $dx=\frac{1}{3}\,du$ . Resposta: $\frac{e^{3x}}{3}+C$ .
$\int_1^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx$ . Seja $u=\ln x$ , com limites 0 e 1. Resposta: $\frac{1}{2}$ .

A substituição é a primeira técnica a tentar em quase qualquer integral; é por isso que nosso guia de integrais a chama de burro de carga do capítulo. Dê nome à função interna, confira se a derivada dela está lá, converta tudo, inclusive os limites, e derive o resultado antes de seguir em frente.