Het Monty Hall-probleem: waarom wisselen van deur je kansen verdubbelt

In 1990 stelde een lezer in de rubriek van Marilyn vos Savant een korte vraag over een spelshow. Haar antwoord, dat je van deur moet wisselen, lokte grofweg tienduizend protestbrieven uit, bijna duizend daarvan ondertekend door mensen met een doctoraat, velen met de stelling dat een columniste geen recht had om elementaire kansrekening fout te hebben. Zij had het niet fout. De briefschrijvers wel.

Dat is wat het Monty Hall-probleem de moeite waard maakt. Het is geen strikvraag, en het hangt niet van kleine lettertjes af. Het is een volkomen eerlijke puzzel met een opzet van drie regels, en hij verslaat betrouwbaar de intuïtie van intelligente mensen, inclusief professionele wiskundigen, tot ze de ene asymmetrie zien die ze misten. Zodra je die ziet, stopt het antwoord paradox te voelen en begint het onvermijdelijk te voelen.

De spelregels

De puzzel is gemodelleerd naar de spelshow Let's Make a Deal, waarvan de oorspronkelijke presentator, Monty Hall, hem zijn naam gaf. De opzet:

Er zijn drie gesloten deuren. Achter één staat een auto. Achter de andere twee staan geiten. De auto is willekeurig geplaatst, dus voor er iets gebeurt heeft elke deur $\frac{1}{3}$ kans om hem te verbergen.

Je kiest een deur, zeg deur 1. Die blijft gesloten.

De presentator, die precies weet waar de auto staat, opent een van de twee deuren die je niet koos, en hij opent altijd een met een geit. Zeg dat hij deur 3 opent en een geit je aankijkt.

Nu blijven twee deuren gesloten: jouw deur 1 en de onaangeroerde deur 2. De presentator biedt je een keuze. Blijf bij deur 1, of wissel naar deur 2.

Bijna ieders onderbuik zegt hetzelfde: twee deuren, één auto, fifty-fifty, dus het maakt niet uit. De onderbuik heeft het mis. Blijven wint in $\frac{1}{3}$ van de gevallen. Wisselen wint in $\frac{2}{3}$ van de gevallen. De wissel verdubbelt letterlijk je kansen, en de hele puzzel is begrijpen waar die extra kans vandaan komt.

Het bewijs is gewoon tellen

De schoonste manier om het antwoord te zien is opmerken dat het hele spel door één gebeurtenis wordt beslist: of je eerste keuze goed was.

Dat is het hele bewijs. Blijven wedt dat je blinde eerste gok goed was, een $\frac{1}{3}$-gebeurtenis. Wisselen wedt dat hij fout was, een $\frac{2}{3}$-gebeurtenis. Dat zijn de enige twee opties, en ze liggen niet dicht bij elkaar.

Als je elk geval uitgelegd wilt zien, fixeer je keuze als deur 1 en laat de auto variëren. Auto achter deur 1: de presentator opent deur 2 of 3, blijven wint, wisselen verliest. Auto achter deur 2: de presentator moet deur 3 openen, blijven verliest, wisselen wint. Auto achter deur 3: de presentator moet deur 2 openen, blijven verliest, wisselen wint. Drie even waarschijnlijke werelden, en wisselen wint in twee ervan. De telling is het bewijs.

Waar de extra kans vandaan komt

Het fifty-fifty-instinct komt van een vuistregel die je meestal goed dient: twee onbekenden, geen reden om de ene te verkiezen, dus splits de kans gelijk. De regel is prima. De fout is denken dat de twee gesloten deuren symmetrisch zijn. Dat zijn ze niet, omdat ze heel verschillende geschiedenissen hadden.

Jouw deur werd door jou gekozen, blind, voordat er iets werd onthuld. Niets dat daarna gebeurde betrok jouw deur: de presentator mocht haar niet aanraken, of er nu de auto achter stond of niet. Dus er werd nooit informatie over jouw deur geproduceerd, en haar kans blijft waar ze begon, op $\frac{1}{3}$.

De andere gesloten deur overleefde iets. De presentator keek naar de twee deuren die je niet koos, waarvan minstens één een geit had, en elimineerde doelbewust een geit uit dat paar. De deur die hij gesloten liet is ofwel willekeurig afval (in de $\frac{1}{3}$-wereld waarin je keuze goed was) of de auto zelf (in de $\frac{2}{3}$-wereld waarin je keuze fout was). Zijn keuze was begrensd door de waarheid, en die begrenzing lekt informatie. Alle $\frac{2}{3}$ kans waarmee het paar begon stort in op zijn ene overlevende lid.

De versie met 100 deuren, voor de onovertuigden

Als het argument met drie deuren nog glibberig voelt, schaal het op. Dezelfde regels, 100 deuren, één auto, 99 geiten. Je kiest deur 1. De presentator, die weet waar de auto staat, opent 98 van de resterende deuren, allemaal geiten, en laat precies één andere deur gesloten. Blijven of wisselen?

Je eerste keuze was in 1 van de 100 gevallen goed. In de andere 99 gevallen staat de auto ergens in de deuren die je niet koos, en de 98 onthullingen van de presentator waren eromheen gedwongen: hij opende alles behalve de auto. De ene deur die hij gesloten liet is geen willekeurige overlever. Het is waar de auto moet zijn, 99 van de 100 keren.

Niemand blijft in het spel met 100 deuren. Maar het spel met drie deuren is hetzelfde spel. De onthulling van de presentator was op precies dezelfde manier om de auto heen gedwongen; er was alleen minder van te zien. Als wisselen bij 100 deuren overduidelijk juist is, ligt de bewijslast bij wie beweert dat drie deuren anders zijn, en de gevaltelling hierboven laat zien dat ze dat niet zijn.

De kleine lettertjes die het antwoord eerlijk maken

Hier is het deel dat populaire naschrijvingen meestal overslaan, en het is het verschil tussen het antwoord kennen en het begrijpen. Het $\frac{2}{3}$-resultaat hangt af van het gedrag van de presentator, niet alleen van wat je zag.

De standaardregels nemen aan dat de presentator altijd een deur opent, altijd een geit opent, en altijd de wissel aanbiedt. Verander die regels en het antwoord verandert. De klassieke variant heet soms Monty Fall: de presentator glijdt uit, opent een van de twee niet-gekozen deuren volledig willekeurig, en het toont toevallig een geit. Dezelfde deuren, dezelfde geit, hetzelfde beeld op je scherm. Maar nu wint wisselen maar in $\frac{1}{2}$ van de gevallen.

Waarom het verschil? In het standaardspel onthult de presentator in elke wereld een geit, dus de onthulling vertelt je niets over of je keuze goed was, en jouw deur blijft op $\frac{1}{3}$. Bij Monty Fall ontmaskert een willekeurige presentator soms per ongeluk de auto. Een geit zien is nu zelf bewijs, en het is bewijs ten gunste van je oorspronkelijke keuze, omdat werelden waarin je keuze goed was nooit een ontmaskerde auto konden produceren. Reken de getallen door en de twee gesloten deuren eindigen écht op $\frac{1}{2}$ elk.

Probeer het, want iedereen zou dat één keer moeten doen

Het Monty Hall-probleem heeft één grote genade: het is goedkoop te testen. Neem drie bekers en een munt, en werf een vriend als presentator, of simuleer het zelf met een paar regels code, of op papier met een dobbelsteen om de auto te plaatsen. Speel dertig rondes altijd blijven, daarna dertig rondes altijd wisselen.

Het resultaat is vreemd overtuigend op een manier die argumenten niet zijn. Blijvers convergeren naar winnen in ongeveer een derde van de gevallen, wisselaars naar ongeveer twee derde, en na genoeg rondes stopt het patroon paradox te voelen en begint het de vanzelfsprekende consequentie van stap 1 hierboven te voelen: je eerste blinde keuze is meestal fout, en wisselen verzilvert precies dat. Gemiddelden over veel pogingen zijn ook waar kansuitspraken hun betekenis in de eerste plaats vandaan halen, een punt dat statistiek intuïtief begrijpen verkent.

Dit is historisch ook hoe het argument werd beslecht. Na de vos Savant-storm voerden klaslokalen door het land het experiment uit, en simulaties bevestigden $\frac{2}{3}$ tot zoveel decimalen als iemand wilde draaien. Veel van de wiskundigen die boze brieven hadden geschreven, schreven tweede, beschamdere.

De zen ervan

Het Monty Hall-probleem blijft hangen omdat het een perfecte miniatuur is van hoe kansrekening écht werkt en hoe menselijke intuïtie écht faalt. Het instinct dat het verslaat, symmetrische onwetendheid over twee gesloten deuren, is een goed instinct. Het overleeft alleen het contact met een asymmetrische geschiedenis niet, en de puzzel verstopt de asymmetrie in het volle zicht: de ene deur werd beschermd door jouw keuze, de andere werd geselecteerd door iemand die het antwoord kende.

Merk op wat de verwarring oploste. Geen formule, en geen autoriteit. Tellen. Drie even waarschijnlijke werelden, een eerlijke telling van wat in elk gebeurt, en de bereidheid de telling boven het gevoel te vertrouwen. Die zet, som de mogelijkheden op en tel ze, is het grootste deel van wat kansrekening is, en het is leerbaar.

De volgende keer dat twee opties overduidelijk fifty-fifty voelen, loont het de Monty Hall-vraag te stellen: zijn deze twee mogelijkheden op dezelfde manier hier gekomen? Soms wel, en de muntworp is echt. En soms werd een ervan overeind gelaten door een proces dat iets wist, en de kansen zijn stilletjes, beslissend scheef.

De deuren herinneren zich niets. De procedure wel.