Kwadratische vergelijkingen intuïtief begrijpen (waar de abc-formule vandaan komt)

Voor veel leerlingen is de abc-formule het eerste stuk wiskunde dat écht intimiderend aanvoelt. Hij is lang, heeft een wortel in het midden verstopt, en komt meestal binnen als iets om uit je hoofd te leren in plaats van te begrijpen. Je dreunt "min b plus of min de wortel van b-kwadraat min vier a c, alles gedeeld door twee a" op tot het blijft hangen, gebruikt hem op een toets, en komt er nooit achter waar hij vandaan komt of waarom hij werkt.

Dat is een gemiste kans, omdat de kwadratische vergelijking een van de nuttigste en visueelste ideeën in de algebra is. Achter de enge formule zit een eenvoudige vorm, een heldere vraag, en een afleiding die je écht kunt volgen. Zodra je het beeld ziet, stopt de formule met een toverspreuk zijn en wordt hij het voor de hand liggende antwoord op een redelijke vraag.

Wat een kwadratische vergelijking écht is

Een kwadratische vergelijking is elke vergelijking waarbij de hoogste macht van de variabele 2 is. In standaardvorm ziet hij eruit als a x-kwadraat plus b x plus c is gelijk aan 0, waarbij a niet nul is. Die laatste voorwaarde telt: als a nul was, zou de kwadraatterm verdwijnen en zou je een gewone rechte-lijnvergelijking overhouden, het soort dat we in onze intuïtieve algebragids behandelen.

De kwadraatterm is de hele persoonlijkheid van een kwadratische vergelijking. Zoals we uitleggen in waarom x-kwadraat herhaald vermenigvuldigen is, groeit kwadrateren veel sneller dan gewoon vermenigvuldigen, en het behandelt positieve en negatieve invoer hetzelfde. Die symmetrie is precies wat een kwadratische vergelijking tot een kromme buigt in plaats van een lijn, en het is de reden dat een kwadratische vergelijking twee antwoorden kan hebben waar een lineaire vergelijking er maar één heeft.

De vorm achter de vergelijking: een parabool

Elke kwadratische vergelijking, als je hem tekent, trekt dezelfde familie van vorm: een parabool, een gladde symmetrische U. Hij kan naar boven of naar beneden openen en hij kan uitgerekt of ineengedrukt zijn, maar het is altijd diezelfde gebalanceerde kromme. De vergelijking als functie zien, waarbij elke x wordt ingevoerd en een hoogte produceert, maakt dit concreet: de parabool is gewoon het plaatje van elke uitvoer tegelijk.

a x-kwadraat plus b x plus c is gelijk aan 0 oplossen is een precieze meetkundige vraag stellen: waar snijdt deze kromme de horizontale lijn op hoogte nul, de x-as? Die ene herkadering verklaart het hele gedrag van kwadratische vergelijkingen. Een U-vormige kromme kan een horizontale lijn op twee plekken snijden, hem net aan de onderkant raken, of er boven zweven en hem nooit raken. Die drie gevallen zijn de reden dat een kwadratische vergelijking twee oplossingen, één oplossing, of geen reële oplossingen heeft. Niets daarvan is willekeurig zodra je de kromme kunt zien.

Het laagste of hoogste punt van de parabool is de top, en omdat de vorm symmetrisch is, zitten de twee oplossingen altijd op gelijke afstanden aan weerszijden ervan. Houd die symmetrie in gedachten; het is de sleutel die ontgrendelt waar de formule vandaan komt.

Oplossen door ontbinden (wanneer de getallen vriendelijk zijn)

De snelste manier om een kwadratische vergelijking op te lossen, wanneer hij meewerkt, is ontbinden in factoren. Het idee rust op één schoon feit: als twee dingen vermenigvuldigd nul geven, moet minstens één van hen nul zijn. Dus als je a x-kwadraat plus b x plus c kunt herschrijven als een product zoals $(x - 3)(x - 4)$, dan is de vergelijking $(x - 3)(x - 4) = 0$ opgelost zodra je elk stuk op nul zet, wat x is gelijk aan 3 en x is gelijk aan 4 geeft.

Ontbinden is snel en het laat de twee oplossingen eruit springen, daarom is het de moeite waard om het eerst te proberen. Het addertje is dat het alleen soepel werkt wanneer de getallen in gehele factoren vallen. Veel echte kwadratische vergelijkingen doen dat niet, en jagen op een ontbinding die niet bestaat verspilt tijd. Dat is precies het gat dat de volgende twee methoden vullen.

Kwadraatafsplitsen: het idee dat alles aandrijft

Kwadraatafsplitsen is de methode die de meeste leerlingen het minst mogen, en toch is het degene die de moeite waard is om te begrijpen, omdat het de bron is van de abc-formule zelf.

Het doel is de vergelijking zo te herschrijven dat de variabele in één enkel volmaakt kwadraat verschijnt, iets als (x plus p) kwadraat is gelijk aan q. Zodra hij in die vorm staat, is oplossen makkelijk: neem de wortel van beide kanten, onthoud dat een wortel positief of negatief kan zijn, en je bent klaar. Dat "plus of min" van de wortel is precies waar de twee symmetrische oplossingen vandaan komen, op gelijke afstand aan elke kant van de top.

Meetkundig is "kwadraatafsplitsen" letterlijk dat. Je hebt een x-kwadraatstuk en wat rechthoekige bx-stukken, en je schuift ze zo dat ze bijna een groter vierkant vormen, en voegt dan het ene kleine hoekje toe dat nodig is om het af te maken. De hoeveelheid die je toevoegt om dat hoekje af te maken is wat de vergelijking in volmaakte-kwadraatvorm verschuift. De methode is geen truc uit het niets; het is het invullen van een letterlijk meetkundig vierkant.

Waar de abc-formule vandaan komt

Hier is het deel dat lesboeken meestal overslaan. De abc-formule is geen apart feit om te onthouden. Het is wat je krijgt wanneer je één keer het kwadraat afsplitst op de algemene vergelijking a x-kwadraat plus b x plus c is gelijk aan 0, met letters in plaats van getallen.

Als je het kwadraat afsplitst op die algemene vorm, en a, b en c meeneemt door dezelfde stappen die je op elke specifieke kwadratische vergelijking zou gebruiken, is het resultaat dat eruit valt x is gelijk aan min b, plus of min de wortel van b-kwadraat min vier a c, alles gedeeld door twee a. Dat is de hele formule, en elk stuk ervan heeft nu een betekenis. Het deel min b gedeeld door twee a is de x-coördinaat van de top, het midden van de symmetrie. Het worteldeel is hoe ver de twee oplossingen van dat midden af zitten. Het plus of min is de symmetrie van de parabool, omgezet in algebra.

Dus de formule is gewoon één keer kwadraatafsplitsen, van tevoren, voor elke mogelijke kwadratische vergelijking, zodat je het nooit meer met de hand hoeft te doen. Zo gezien is het helemaal geen spreuk. Het is een snelkoppeling die iemand al voor je heeft uitgerekend.

De discriminant lezen

In de formule zit een kleine uitdrukking verstopt die veel werk doet: b-kwadraat min vier a c, het deel onder de wortel. Hij heet de discriminant, en hij beantwoordt "hoeveel oplossingen" voordat je klaar bent met oplossen.

Als b-kwadraat min vier a c positief is, is de wortel een reëel getal en geeft plus of min twee verschillende oplossingen: de parabool snijdt de x-as twee keer. Als hij precies nul is, voegt plus of min niets toe en krijg je één enkele oplossing: de parabool raakt de as precies bij de top. Als hij negatief is, is de wortel van een negatief getal geen reële waarde, dus zijn er geen reële oplossingen: de parabool zweeft geheel boven of onder de as. De vergelijking heeft nog steeds oplossingen in het complexe getallenstelsel, waar de imaginaire eenheid i binnenkomt. Eén snelle berekening vertelt je welk van de drie reële plaatjes je bekijkt.

Waar kwadratische vergelijkingen in het echte leven opduiken

Kwadratische vergelijkingen zijn geen klassierversiering. Ze beschrijven elke situatie waarin een grootheid afhangt van het kwadraat van iets, en die zijn overal.

Gooi een bal en de hoogte in de tijd tekent een parabool, daarom wordt "wanneer landt hij" opgelost door een kwadratische vergelijking op nul te zetten. Geef een boer een vaste lengte hek en vraag om de grootste rechthoekige oppervlakte, en het antwoord woont bij de top van een kwadratische functie. De remweg groeit met het kwadraat van de snelheid, daarom is een kleine snelheidstoename zo gevaarlijk. Omzet die stijgt, piekt en daalt als je een prijs verandert is ook kwadratisch, dus bedrijven gebruiken de top om de beste prijs te vinden. Dezelfde U-vormige kromme blijft terugkomen omdat kwadrateren zo'n natuurlijke manier is waarop de wereld zich gedraagt.

Waar mensen vastlopen

Een paar voorspelbare uitglijders veroorzaken de meeste kwadratische fouten. De grootste is het plus of min vergeten bij het nemen van een wortel, wat stilletjes één van de twee oplossingen weggooit. Wanneer een wortel verschijnt bij het oplossen, liggen beide tekens op tafel.

Een andere is de standaardvorm verkeerd aanpakken. De formule neemt aan dat de vergelijking gelijk is aan nul, dus een kwadratische zoals x-kwadraat is gelijk aan 2x plus 3 moet herschikt worden tot x-kwadraat min 2x min 3 is gelijk aan 0 voordat je a, b en c afleest. Die stap overslaan voert de verkeerde getallen in de formule. Een derde is een minteken bij b of c laten vallen tijdens het invullen, waar de formule onverbiddelijk over is. a, b en c expliciet opschrijven voordat je de formule aanraakt voorkomt de meeste hiervan.

Waar Math Zen in beeld komt

Kwadratische vergelijkingen zijn een perfect voorbeeld van een onderwerp dat de aanpak van Math Zen beloont: eerst begrijpen, dan automatiseren. Vroege buckets verankeren het beeld: de parabool, de vraag waar hij nul kruist, en waarom er twee oplossingen verschijnen. Middelste buckets oefenen ontbinden op vriendelijke kwadratische vergelijkingen tot de patronen instant zijn, en mengen daarna kwadraatafsplitsen zodat de formule wortels heeft in plaats van alleen uit het hoofd geleerd te zijn.

Latere buckets brengen de discriminant, de top, en vraagstukken waarin je de kwadratische vergelijking zelf moet opstellen voordat je hem oplost. Omdat de oefening kort en gespreid is, bewegen de stappen van inspanning naar automatisch zonder de stamp-en-vergeten-cyclus, en eindigt de formule als iets dat je begrijpt in plaats van iets dat je vreest.

De conclusie

Een kwadratische vergelijking is elke vergelijking gebouwd op een kwadraatterm, en de grafiek is altijd een parabool, een symmetrische U. Hem oplossen betekent vinden waar die kromme nul kruist, en daarom kunnen er twee oplossingen zijn, één, of geen. Ontbinden dekt de vriendelijke gevallen, kwadraatafsplitsen dekt de rest, en de abc-formule is simpelweg één keer kwadraatafsplitsen voor elke kwadratische vergelijking tegelijk. De discriminant vertelt je van tevoren het aantal oplossingen, en het plus of min is de symmetrie van de parabool in symbolen.

Houd het beeld van de U die de as kruist in je hoofd en de abc-formule stopt met een reeks symbolen om te duchten. Hij wordt het natuurlijke antwoord op een eenvoudige vraag die je écht kunt zien.