Wat is i in de wiskunde? Imaginaire getallen intuïtief uitgelegd

Wat is i in de wiskunde?

In de wiskunde is i de imaginaire eenheid, het getal gedefinieerd door $i^{2} = -1$. Het geeft de wiskunde een manier om met wortels van negatieve getallen te werken. Een getal zoals 2i is imaginair omdat het een reëel getal vermenigvuldigd met i is, terwijl 3 + 4i complex is omdat het een reëel deel met een imaginair deel combineert. Het nuttige plaatje is rotatie: vermenigvuldigen met i draait een getal 90 graden op het complexe vlak.

Vraag iemand wat een imaginair getal is en je krijgt meestal een versie van "de wortel van min één" in de toon van een bekentenis. Vraag waarom de wortel van min één überhaupt zou moeten bestaan, en het antwoord is bijna altijd "wiskundigen hebben het zo gedefinieerd," wat minder naar wiskunde klinkt en meer naar een regel in een bordspel. Van alle onderwerpen in het schoolcurriculum worden imaginaire getallen het vaakst onderwezen als puur decreet: er is een symbool, het heet i, het kwadraat is -1, vraag alsjeblieft niet wat het betekent.

Dat onderwijs staat precies achterstevoren, en dit artikel is het plaatje dat meestal ontbreekt. De imaginaire eenheid is geen truc of formaliteit. Het is een richting, precies zoals een negatief getal een richting is, en zodra je ziet welke richting, herschikt het hele vak zich. De definiërende vergelijking $i^{2} = -1$ stopt een willekeurige regel te zijn en wordt iets wat je met eigen handen kunt checken door je twee keer om te draaien.

De slechtste naam in de wiskunde

Begin met de naam, omdat de naam écht schade doet. "Imaginair" is als een sneer bedacht. René Descartes gebruikte het in 1637 om deze getallen weg te zetten als verzinsels die je moest opschrijven bij het oplossen van vergelijkingen maar die onmogelijk iets konden betekenen. De belediging bleef hangen, de getallen bleken onmisbaar, en nu ontmoet elke leerling een van de nuttigste objecten in de wiskunde met een etiket dat zegt dat het nep is.

Hier is het historische feit dat de intimidatie moet ontkrachten: negatieve getallen kregen dezelfde behandeling. Eeuwenlang wezen serieuze wiskundigen negatieven af als absurd, omdat je geen min drie appels kunt vasthouden. Wat negatieven legitiem maakte was geen ontdekking dat ze fysiek bestaan. Het was een plaatje, de getallenlijn, waarin een negatief een gewoon getal is dat de andere kant op wijst, een idee dat we vanaf nul herbouwden in het bericht over negatieve getallen. Imaginaire getallen zijn hetzelfde verhaal één hoofdstuk later. Ze voelen nep zolang je het plaatje mist, en het plaatje, als je het eenmaal hebt, is even simpel: negatieven wijzen achteruit, imaginaire wijzen zijwaarts. Carl Friedrich Gauss zag het probleem helder en stelde voor ze laterale getallen te noemen. Hij had gelijk, de naam sloeg nooit aan, en "lateraal" is het woord om in je hoofd te houden voor de rest van dit artikel.

De vraag die de zaak forceerde

Imaginaire getallen zijn niet voor de lol uitgevonden. Ze drongen zich binnen via een eerlijke vraag: welk getal, gekwadrateerd, geeft -1?

Op de getallenlijn heeft de vraag geen antwoord, en het loont om precies te zijn over waarom. Kwadrateren betekent een getal met zichzelf vermenigvuldigen, dus de twee factoren hebben altijd hetzelfde teken. Positief keer positief is positief. Negatief keer negatief, zoals het omkeerargument liet zien, is ook positief, omdat twee keren omdraaien elkaar opheft. In beide gevallen landt het resultaat aan de positieve kant. De vergelijking $x^{2} = -1$ vraagt om een getal dat de hele getallenlijn niet kan leveren, en daarom meldt de abc-formule, behandeld in het bericht over kwadratische vergelijkingen, beleefd "geen reële oplossingen" wanneer de discriminant negatief wordt.

Lange tijd lieten wiskundigen het daarbij. Wat hen van gedachten deed veranderen was geen filosofie maar rekenkunde die weigerde stuk te blijven. In de 16e eeuw vonden Italiaanse wiskundigen die derdegraadsvergelijkingen oplosten dat hun formules soms recht door wortels van negatieve getallen liepen op weg naar antwoorden die duidelijk klopten, gewone gehele getallen die je met de hand kon controleren. Rafael Bombelli zette de beslissende stap: hij behandelde de onmogelijke wortels als dingen waarmee je kon rekenen, volgde de regels, en zag de imaginaire delen tegen elkaar wegvallen, zodat het juiste reële antwoord overbleef. De les was ongemakkelijk maar onmiskenbaar. Deze getallen deden écht werk, of iemand nu kon zeggen wat ze waren of niet.

Vermenigvuldigen met -1 is een halve draai

Om te zien wat i écht is, begin met iets wat je al vertrouwt. Vermenigvuldigen met -1 klapt een getal naar de andere kant van nul: 5 wordt -5, en -5 wordt 5. Op de getallenlijn is die klap een rotatie. Vermenigvuldigen met -1 draait een getal 180 graden om nul, een perfecte halve draai, en daarom brengt twee keer met -1 vermenigvuldigen je thuis. Twee halve draaien maken een volle draai, dus -1 keer -1 is 1. Dit was het omkeerplaatje uit het bericht over negatieve getallen, en het gaat nu een tweede keer renderen.

Stel nu de kernvraag in rotatietaal. Het mysteriegetal i moet voldoen aan $i^{2} = -1$, wat betekent: i twee keer toepassen doet hetzelfde als één halve draai. Dus i is een operatie die, twee keer achter elkaar gedaan, je 180 graden draait.

Zeg dat hardop en het antwoord noemt zichzelf. Wat doe je twee keer om achteruit te kijken? Je maakt een kwartdraai, twee keer. i is een rotatie van 90 graden.

i is een kwartdraai, en het heeft een vlak nodig

Een kwartdraai heeft één onmiddellijk gevolg: hij gooit je van de lijn af. Roteer het getal 1 met 90 graden om nul en je landt op een punt één eenheid recht boven nul, een plek die de getallenlijn simpelweg niet bevat. Dit is de echte ontdekking die in imaginaire getallen verstopt zit, en het is de stap die de meeste uitleg overslaat. Het probleem was nooit dat √-1 onmogelijk is. Het probleem is dat de getallenlijn te klein is. Getallen hoeven niet op een eendimensionale lijn te leven. Ze kunnen een tweedimensionaal vlak vullen.

Dat vlak heet het complexe vlak, en het is niets exotischer dan een kaart. De vertrouwde getallenlijn loopt horizontaal: positieven naar rechts, negatieven naar links. Een nieuwe as loopt verticaal, en i woont op het punt één eenheid omhoog. Veelvouden van i vullen de rest van de verticale as, met 2i boven i en -i onder nul. De horizontale as heet reëel en de verticale as imaginair, maar na alles hierboven lees je die labels als oost-west en noord-zuid. Niets aan de verticale richting is minder legitiem dan de horizontale. Hij is alleen nieuwer.

Voorbeelden van imaginaire getallen

Elk zuiver imaginair getal is een reëel veelvoud van i. De coëfficiënt vertelt hoe ver je langs de verticale as van het complexe vlak beweegt.

Getal	Wat het betekent
i	Eén eenheid boven nul
2i	Twee eenheden boven nul
-3i	Drie eenheden onder nul
3 + 4i	Een complex getal: drie eenheden naar rechts en vier omhoog

Het laatste voorbeeld is complex in plaats van zuiver imaginair omdat het zowel een reëel deel als een imaginair deel heeft. Reële getallen, imaginaire getallen en combinaties zoals 3 + 4i horen allemaal tot hetzelfde stelsel van complexe getallen.

Waarom $i^{2}$ -1 moet zijn

Met het vlak op zijn plek bewijst de definiërende vergelijking zichzelf. Neem het getal 1, één eenheid ten oosten van nul. Vermenigvuldig met i: roteer een kwartdraai tegen de klok in, en 1 beweegt naar de top van de cirkel, landend op i. Daarom is 1 × i = i, zoals het hoort. Vermenigvuldig nog eens met i: weer een kwartdraai brengt je van noord naar west, landend één eenheid links van nul, op -1.

Twee vermenigvuldigingen met i zetten 1 om in -1. In symbolen, $i^{2} = -1$. Er staat nergens een decreet in die alinea. De vergelijking die iedereen moet stampen is een uitspraak over meetkunde: een kwartdraai, twee keer genomen, is een halve draai.

Machten van i herhalen elke vier stappen

Blijf vermenigvuldigen met i en het punt blijft kwartdraaien maken rond het complexe vlak:

Macht	Waarde	Draai vanaf 1
i⁰	1	Geen draai
i¹	i	Eén kwartdraai
i²	-1	Eén halve draai
i³	-i	Drie kwartdraaien
i⁴	1	Eén volle draai

De vijfde macht start dezelfde cyclus opnieuw, dus i⁵ = i. Om een grotere macht te vereenvoudigen, deel de exponent door vier en gebruik de rest om de plek in de cyclus te vinden. Wat in een leerboek op een excentriek algebrafeit lijkt, is een wiel dat ronddraait.

Complexe getallen zijn gewoon coördinaten

Zodra getallen op een vlak leven, heeft een algemeen getal twee coördinaten nodig, en dat is alles wat een complex getal is. De uitdrukking 3 + 4i is geen onafgemaakt optelprobleem, evenmin als de coördinaten van een stad een onafgemaakte berekening zijn. Het is een adres: ga 3 oost, daarna 4 noord. Het reële deel en het imaginaire deel zijn lengte- en breedtegraad.

De rekenkunde houdt de smaken die ze door deze reeks heen heeft gehad. Complexe getallen optellen is lopen: om 3 + 4i en 1 - 2i op te tellen, combineer de oostwaartse delen, combineer de noordwaartse delen, en land op 4 + 2i. Het is de wandeling over de getallenlijn uit het bericht over negatieve getallen, opgewaardeerd tot een kaart. Vermenigvuldigen is waar het vlak zijn plek verdient: vermenigvuldigen met een complex getal roteert en schaalt tegelijk, met de hoek van het getal en met de afstand tot nul. Vermenigvuldigen met i is het zuivere kwartdraai-geval van die algemene regel, en vermenigvuldigen met -1 is het zuivere halve-draai-geval. De tekensregels die je al kende waren de hele tijd rotatieregels, beperkt tot een lijn waar de enige mogelijke draaien geen draai en keert-maar waren.

Waar imaginaire getallen écht werk doen

Een redelijke vraag blijft: toegegeven dat het plaatje elegant is, wie heeft getallen nodig die roteren? Het antwoord is iedereen wiens problemen roteren, oscilleren of golven, wat een groot deel van wetenschap en techniek blijkt te zijn.

Wisselstroom is het klassieke geval. Spanning en stroom in een stopcontact oscilleren als draaiende wielen, compleet met faseverschuivingen, en elektrotechnici beschrijven ze met complexe getallen omdat vermenigvuldigen met een complex getal precies een roteer-en-schaal is, wat precies is wat circuits met signalen doen. Signaalverwerking gaat nog dieper: de Fourier-transformatie, de wiskundige motor in muziekcompressie, medische beeldvorming en draadloze communicatie, ontleedt signalen in roterende componenten geschreven als complexe getallen. De kwantummechanica gaat het verst van allemaal, met i onverwijderbaar in de Schrödingervergelijking. En de brug tussen groei en rotatie, de formule die al dit boekhouden moeiteloos maakte, is het onderwerp van ons bericht over de identiteit van Euler, waar de exponentiële functie een imaginaire invoer krijgt en, in plaats van te groeien, in een cirkel reist. Niets van dit gereedschap werkt zonder de zijwaartse richting. "Imaginaire" getallen zijn dragend.

Waar de fouten écht vandaan komen

De fouten die mensen met i maken clusteren op drie plekken, en alle drie lossen op onder het rotatieplaatje.

De eerste is i behandelen als een variabele, een onbekende x die van alles zou kunnen zijn. i is niet onbekend. Het is een specifiek punt op het vlak en een specifieke rotatie, even concreet als -1. Bij het vereenvoudigen van een uitdrukking zoals i keer i keer i manipuleer je geen mysterie. Je telt kwartdraaien: drie ervan wijzen je naar het zuiden, op -i.

De tweede is de wortelregel verkeerd toepassen. Leerlingen leren dat de wortel van een product het product van de wortels is, en schrijven dan √-1 × √-1 = $\sqrt{1}$ = 1, wat $i^{2} = -1$ tegenspreekt en de wiskunde lijkt te breken. De oplossing is dat deze regel bewezen is voor niet-negatieve getallen en de reis naar het vlak simpelweg niet overleeft. De betrouwbare zet is eerst naar i omzetten, daarna rotaties tellen. De regel faalde niet mysterieus; hij werd buiten de garantie gebruikt.

De derde fout is de oudste: de naam geloven. Leerlingen houden imaginaire getallen op afstand, stampen in plaats van begrijpen, omdat het etiket volhoudt dat deze getallen fictie zijn. Lateraal, niet imaginair. Zijwaarts, niet nep. De woordenschat is het lastigste deel van het vak, en het is geen wiskunde.

Waar Math Zen past

Imaginaire getallen zitten boven op een toren, en elke wiebel in de toren duikt hier op. Werken met a + bi leunt op rekenen met tekens uit de laag van negatieve getallen, op gelijksoortige termen combineren uit de algebra, en op de discriminant van de abc-formule, waar de meeste leerlingen voor het eerst een wortel negatief zien worden. De niveau-opbouw van Math Zen is gemaakt om die lagere verdiepingen stevig te houden: vroege niveaus trainen getekende getallen en de omkeertelling tot ze reflexmatig zijn, middelste niveaus zetten algebraïsche manipulatie en kwadratische vergelijkingen onder tijdsdruk, en latere niveaus mengen probleemtypen zodat een teken drie stappen diep in een berekening er nog steeds goed uitkomt.

Dat soort vaardigheid maakt de sprong naar i klein in plaats van beangstigend, omdat de sprong écht klein is: één nieuw plaatje, daarna rekenkunde die je al bezit. Korte dagelijkse sessies, in de stijl van gespreide herhaling, zijn hoe de lagere verdiepingen onderhouden blijven terwijl de nieuwe erop gaat.

De kern

Een imaginair getal is een reëel getal dat een nieuwe kant op wijst, loodrecht op de getallenlijn, en i is de kwartdraai die het daarheen wijst. De vergelijking $i^{2} = -1$ is geen definitie van hogerhand. Het is de observatie dat twee kwartdraaien een halve draai maken, en een halve draai is vermenigvuldigen met -1. Complexe getallen zijn coördinaten op het vlak dat dit ontsluit, optellen is lopen, vermenigvuldigen roteert en schaalt, en het hele apparaat draait de elektrische, signaalverwerkende en kwantummechanica van de moderne wereld.

Het enige écht ongelukkige aan imaginaire getallen is de naam, een 17e-eeuwse wegwuiving die de scepsis van de auteur met vier eeuwen overleefde. Wanneer het onderwerp opkomt, vertaal stil: laterale getallen, zijwaartse getallen, de getallen die van de lijn afstapten. Dan beantwoordt de vraag "hoe kan de wortel van min één bestaan" zichzelf zoals hij dat voor Gauss deed. Hij bestaat één eenheid ten noorden van nul, een kwartdraai vanaf waar je al stond.