Algebra intuïtief begrijpen (waarom x niet eng is)
Volwassenen die een rekening kunnen splitsen, een recept verdubbelen of het benzineverbruik in hun hoofd schatten, bevriezen op het moment dat iemand op een bord schrijft. Het rekenen is hetzelfde rekenen dat ze elke dag al doen. Het enige dat veranderde is dat over één van de getallen een letter is geplakt. Die ene verandering is waar de meeste mensen voor het eerst besluiten dat ze slecht in wiskunde zijn.
De oplossing is klein, en het is geen lijst regels. Algebra rust op één idee, en zodra dat idee klikt, wordt elke regel in het leerboek een gevolg in plaats van iets nieuws om te stampen. Dit artikel is het plaatje van wat algebra écht is, waarom elke bewerking eruitziet zoals hij eruitziet, en hoe het onderwerp verbindt met de rest van de wiskunde die je ooit tegenkomt.
Het ene idee: een letter is een getal dat je nog niet gevonden hebt
De centrale truc van algebra is een naam geven aan een getal dat je nog niet kent, en die naam daarna achternalopen door hetzelfde rekenen dat je zou doen als het getal pal voor je lag.
Als een recept zegt "gebruik de helft van de suiker in de doos," behandel je "de suiker in de doos" als een hoeveelheid die je kunt manipuleren, ook al heb je hem niet gemeten. Dat is algebra. Het enige verschil tussen de keuken en is dat de keuken je nooit vraagt je redenering op te schrijven.
Een variabele zoals x is geen mysterieus symbool. Het is een plaatshouder. Welk getal hij ook vertegenwoordigt, dat getal gedraagt zich als een getal: je kunt erbij optellen, hem vermenigvuldigen, delen, het kwadraat nemen. De letter is steno zodat je niet de rest van de pagina "het onbekende getal" hoeft te zeggen.
Deze verschuiving in hoe je ernaar kijkt is klein, maar hij haalt het grootste deel van de angst weg. Algebra is geen nieuwe soort wiskunde. Het is het rekenen dat je al doet, met plaatshouders in sommige van de slots.
Vergelijkingen zijn uitspraken over evenwicht
Het volgende idee is het is-gelijkteken. School onderwijst "=" vaak als het symbool dat vóór het antwoord komt, als een knop op een rekenmachine. In algebra betekent "=" iets anders. Het betekent dat de twee kanten hetzelfde ding zijn, op twee verschillende manieren geschreven.
zegt: wat 3x + 5 ook is, dat getal heet ook 14. De twee kanten zijn één hoeveelheid in twee kostuums.
Daarom werkt "doe hetzelfde aan beide kanten." Beeld je een weegschaal in evenwicht in, met 3x + 5 gram links en 14 gram rechts. Haal je 5 gram van één kant af, dan moet je 5 van de andere afhalen om de schaal in evenwicht te houden. Algebra is precies die weegschaal, en "los op naar x" is de vraag "welk getal links houdt de schaal in evenwicht met 14 rechts."
Trek 5 van beide kanten af: . Deel beide kanten door 3: . De redenering is mechanisch, maar ook concreet. Elke stap is een zet die je op een echte weegschaal zou maken.
Waarom letters? Waarom niet gewoon woorden?
Leerlingen vragen soms waarom wiskundigen letters gebruiken in plaats van "het onbekende getal" te zeggen. Het is een eerlijke vraag, en het antwoord is puur praktisch.
Letters zijn kort. Zodra een opgave meer dan één onbekende heeft ("het aantal appels plus twee keer het aantal sinaasappels is gelijk aan twaalf"), wordt uitschrijven snel vermoeiend. De notatie van algebra laat je schrijven in plaats van een zin, en de compacte vorm is makkelijker te lezen en te manipuleren.
Letters zijn ook herbruikbaar. Dezelfde vergelijking , met verschillende getallen ingevuld voor a, b en c, beschrijft duizenden echte situaties. Algebra is de taal om over al die situaties tegelijk te praten. Zoals we opmerkten in het artikel over breuken, is algebra grotendeels "breuken met letters erin," en de letters zijn wat de regels op elke opgave van toepassing maken in plaats van alleen op degene voor je.
Oplossen is ongedaan maken
Zodra je accepteert dat algebra evenwicht is, reduceert het oplossen van een vergelijking tot één zet: maak ongedaan wat er met x is gedaan.
Als , is vermenigvuldigen met x gedaan, dus deel. Als , is optellen met x gedaan, dus trek af. Als , is delen met x gedaan, dus vermenigvuldig. Elke bewerking heeft een inverse, en oplossen is de praktijk van de inverse aan beide kanten toepassen tot x alleen staat.
De volgorde telt ook. In een vergelijking zoals is x vermenigvuldigd met 3 en daarna is 5 opgeteld. Om ongedaan te maken, keer de volgorde om: eerst aftrekken, dan delen. Dat is dezelfde logica als schoenen en sokken uittrekken: de sokken gingen eerst aan, dus die gaan als laatste uit.
Als de betekenis op z'n plek zit, volgt de procedure. Als alleen de procedure is gestampt, vergeten leerlingen de volgorde, raken in paniek, en grijpen naar een stroomschema dat ze zich maar half herinneren.
De distributieve eigenschap is gewoon verdelen
De regel is een beroemde bron van frustratie bij leerlingen. Waarom vermenigvuldig je 3 met beide termen binnen de haakjes? Waarom "verdeelt" de 3 zich?
Omdat 3(x + 4) letterlijk drie groepen van (x + 4) betekent. Drie groepen van "x en 4" is drie x-en en drie 4-en, wat 3x + 12 is. Het is geen regel om te stampen. Het is wat "drie van iets" betekent wanneer dat iets een som is.
Hetzelfde plaatje legt uit waarom 3(x + 4) niet 3x + 4 is. Als je "drie groepen van x en 4" zei en alleen de x vermenigvuldigde, zou je drie x-en en één enkele 4 hebben, wat helemaal niet is wat "drie groepen" betekent.
Wanneer leerlingen de distributieve eigenschap verkeerd toepassen, is de snelste oplossing geen heruitleg van de regel. Het is een snelle vertaling terug naar "groepen van." De fout corrigeert zichzelf meestal binnen een zin.
Variabelen aan beide kanten
De eerste keer dat een leerling een vergelijking ziet met x aan beide kanten, zoals 3x + 5 = x + 13, is de neiging in paniek te raken. Daar is niets om in paniek over te raken. Je kunt x-en over het is-gelijkteken schuiven op dezelfde manier als je getallen schuift, omdat x-en gewoon getallen in vermomming zijn.
Trek x van beide kanten af: 2x + 5 = 13. Nu is er nog maar één x. Trek 5 af: 2x = 8. Deel door 2: x = 4. De procedure is dezelfde evenwichtsredenering. De enige aanpassing is het inzicht dat je een variabele net zo makkelijk kunt aftrekken als een getal, omdat beide hoeveelheden zijn.
Dit is het moment waarop veel leerlingen algebra niet meer vertrouwen, omdat de symboolmanipulatie niet meer op een vanzelfsprekend plaatje mapt. De truc is te onthouden dat x nog steeds gewoon een getal is, zelfs wanneer hij op twee plekken verschijnt. Welk getal hij ook vertegenwoordigt, één x van elke kant afhalen houdt de schaal in evenwicht.
Tekstvraagstukken: vertaling, geen wiskunde
Het grootste deel van de algebra waar mensen met tegenzin aan terugdenken zat begraven in tekstvraagstukken. "Als een trein Chicago verlaat met zestig mijl per uur..." Het rekenen in deze opgaven is zelden lastig. De vertaling van Nederlands (of Engels) naar algebra is wat mensen laat struikelen.
Er is een kleine set zinsneden die bijna altijd hetzelfde betekent. "Is" of "gelijk aan" mapt naar "=". "Van" betekent meestal vermenigvuldigen. "Minder dan" of "minder" betekent aftrekken, met de volgorde omgedraaid: "vijf minder dan x" is x min 5, niet 5 min x. "Som" betekent optellen. "Product" betekent vermenigvuldigen. "Per" betekent delen. Dit woordenboek bouwen is de helft van de strijd.
Een tekstvraagstuk los je in drie stappen op:
- Benoem de onbekende. ("Laat x het aantal appels zijn.")
- Vertaal de zin naar een vergelijking, één zinsnede tegelijk.
- Los de vergelijking op. (Het rekenen, wat het makkelijke deel is zodra de vergelijking er staat.)
De lastigste stap is bijna altijd de vertaling, en de manier om daar beter in te worden is oefening gemengd met geduld. Lees de zin hardop. Identificeer wat onbekend is. Schrijf op wat elke zinsnede vertegenwoordigt vóór je de volledige vergelijking schrijft. Zodra de vergelijking op de pagina staat, is de rest mechanisch.
Waar algebra opduikt na de onderbouw
Veel leerlingen nemen aan dat algebra een onderwerp van één jaar is dat stopt wanneer het leerboek dichtgaat. Het tegenovergestelde is waar. Algebra wordt belangrijker, niet minder, naarmate de wiskunde lastiger wordt.
Meetkunde zit vol algebra. De ontbrekende zijde van een driehoek berekenen, de oppervlakte van een onregelmatige vorm vinden, of een resultaat over evenwijdige lijnen bewijzen, reduceert bijna altijd tot een vergelijking oplossen.
Calculus is in de kern geavanceerde algebra. De helling van een kromme, de oppervlakte eronder, de veranderingsnelheid van een hoeveelheid, zijn allemaal gedefinieerd via algebraïsche manipulatie. Zoals we behandelden in ons artikel over afgeleiden vanaf nul, is de formule voor de afgeleide een herschikking van breuken met limieten eraan vast. Een leerling die nooit vrede heeft gesloten met vergelijkingen herschikken, zal worstelen met het symbolen schuiven dat calculus vraagt.
Gestandaardiseerde toetsen. SAT, ACT, GRE en de meeste toelatingsexamens voor de universiteit zijn grotendeels algebra-examens in vermomming. Zoals we schreven in de SAT-voorbereidingsgids, is sterke algebraïsche vlotheid, niet geavanceerde onderwerpen, wat scores het snelst optilt.
Statistiek, financiën, natuurkunde, informatica. Allemaal zijn ze geschreven in algebraïsche notatie. Een formule in de natuurkunde is gewoon een vergelijking. Een model in financiën is gewoon een stelsel. Een functie in code is de algebra van invoer en uitvoer. De notatie is dezelfde notatie, keer op keer gebruikt.
Leerlingen die in een van deze latere vakken vastlopen, worstelen meestal met algebra uit de onderbouw die ze nooit hebben vastgezet. Dat gat dichten rendeert voor de rest van hun opleiding.
Waarom algebra vaak slecht onderwezen wordt
Als algebra zo fundamenteel is, waarom verlaten zoveel leerlingen de middelbare school er nog steeds bang voor? Een paar eerlijke redenen.
Ten eerste slaat de introductie vaak betekenis over. Leerlingen krijgen een procedure ("isoleer de variabele") vóór ze begrijpen waarom isoleren werkt, of wat een is-gelijkteken écht beweert. Een procedure zonder betekenis is broos: vergeet één stap en het hele ding stort in.
Ten tweede wordt de verbinding met rekenen niet expliciet gemaakt. Leerlingen geloven dat ze een nieuw onderwerp leren, terwijl ze in feite hetzelfde rekenen doen dat ze altijd deden, met plaatshouders in sommige van de slots. Had dezelfde leraar gezegd "vandaag doen we rekenen, behalve dat sommige getallen nog niet onthuld worden," dan was de helft van de angst verdampt.
Ten derde worden tekstvraagstukken in volume geïntroduceerd vóór de vertaalvaardigheid is gebouwd. Een leerling die nog niet zelfverzekerd een enkele zin als algebra leest, wordt bedolven onder twintig meerzinnige opgaven en concludeert dat hij "echte" wiskunde niet kan. Dat kan hij wel. Hij kreeg simpelweg niet genoeg oefening op de vertaalstap alleen.
Het goede nieuws is dat deze gaten als tiener of als volwassene écht snel te fiksen zijn. Algebra rust op een klein aantal ideeën, en zodra die ideeën verbinden, voelen de regels vanzelfsprekend in plaats van willekeurig.
Oefenen tot het automatisch is
Dit één keer lezen geeft je het plaatje. Algebra vlot maken is een aparte taak, en die heeft baat bij korte, bewuste oefening in plaats van lange stampsessies.
Drill de basis. Los een paar weken vijftig één-stapsvergelijkingen per week op. x + 7 = 12. 4x = 24. x/3 = 9. De variatie is klein, en het doel is dat de zetten automatisch worden, zoals ééncijferige vermenigvuldiging dat uiteindelijk ook wordt. Zoals we behandelden in het artikel over koprekenen, is automatisme op de basis wat het brein vrijmaakt om later aan lastigere stappen te werken.
Meng de bewerkingen. Zodra één-stapsvergelijkingen saai voelen, meng ze met twee-staps-, daarna drie-stapsopgaven. Gemengde oefening dwingt je te identificeren welke zet je moet maken, en dat is de vaardigheid die in echte opgaven écht telt. Zoals we behandelden in het artikel over gespreide herhaling, is gemengde oefening wat langetermijnonthouden bouwt.
Check door substitutie. Na op te lossen en te krijgen, steek 3 terug in: 3(3) + 5 = 14, waar. Deze gewoonte vangt bijna elke algebraïsche fout binnen seconden, en hij versterkt dubbel dat het is-gelijkteken "hetzelfde getal, twee manieren" betekent. Substitutie is de goedkoopste realiteitscheck in wiskunde, en de meeste leerlingen gebruiken hem nooit.
Vertaal dagelijks zinnen. Neem een willekeurige zin met een getal erin ("de vergadering is over vijftien minuten" of "het recept verdubbelt voor zes personen") en herschrijf hem als een kleine vergelijking. Vertalen is een spier. Vijf zinnen per dag, een paar weken, maakt van tekstvraagstukken een routine in plaats van een muur.
Waar Math Zen past
De bucketprogressie van Math Zen sluit schoon aan op hoe algebra écht geleerd wil worden. De vroegste buckets dekken de betekenis van variabelen en één-stapsvergelijkingen, waar de zetset klein is en het doel is de bewerkingen automatisch te maken. De middelste buckets drillen meerstapsvergelijkingen en de distributieve eigenschap, met gemengde oefening zodat het brein leert de juiste zet te identificeren in plaats van blind een stroomschema toe te passen. De latere buckets werken aan vergelijkingen met variabelen aan beide kanten, vertaling van tekstvraagstukken, en kleine stelsels.
Omdat de oefening kort en gespreid is, bouw je de patroonherkenning die algebra van een onderwerp dat je overleeft tot een gereedschap maakt waar je naar grijpt. De meeste leerlingen hebben geen bijles of een dikker leerboek nodig. Ze hebben vijftien minuten per dag nodig, drie of vier keer per week, op het juiste soort opgave.
De kern
Een variabele is een getal dat je nog niet gevonden hebt. Het is-gelijkteken betekent "hetzelfde getal, op twee manieren geschreven." Oplossen is ongedaan maken wat er met de variabele is gedaan, gelijk toegepast op beide kanten zodat de schaal in evenwicht blijft. De distributieve eigenschap is wat "groepen van" betekent wanneer het iets een som is. Tekstvraagstukken zijn vertalingen, en de vertaling is het lastige deel, niet het rekenen.
Dat is het hele fundament. De regels in je leerboek zijn geen losse feiten; ze zijn hoe de betekenis er in steno uitziet. Als een algebra-opgave je ooit vastzet, grijp dan niet eerst naar de regel. Lees wat de vergelijking in gewone taal zegt, besluit wat er met x is gedaan, en maak het ongedaan. Het antwoord verschijnt meestal vóór de procedure dat doet.
