Matrices intuïtief begrijpen (machines die reizen omvormen)

Matrices zijn het onderwerp dat capabele leerlingen zich ineens dom laat voelen. Tot hier had elke bewerking een plaatje. Optellen is combineren. Vermenigvuldigen is schalen. Zelfs de vectorbewerkingen uit het artikel van vorige week waren reizen die je kon lopen. Dan schrijft iemand twee roosters getallen, kondigt aan dat je ze vermenigvuldigt door "rijen keer kolommen" te nemen, en het plaatje verdwijnt. De regel werkt. Niemand kan zeggen wat hij doet.

Het resultaat is een tweede dubbelzicht, de broer van dat in het vectorbericht. In de algebrales is een matrix een doos getallen. In latere cursussen is het een "lineaire transformatie," een zin die klinkt als een antwoord en niets uitlegt. Dit artikel is de brug: een matrix is een machine die een reis neemt en een reis teruggeeft, elke kolom van het rooster is een verslag van waar één as landde, en de vermenigvuldigregel is gewoon de boekhouding voor twee machines achter elkaar laten lopen.

Een machine die reizen omvormt

Deze reeks keert steeds terug naar één idee: getallen wijzen. Een negatief getal is een gewoon getal dat achteruit wijst. Een imaginair getal is een getal dat zijwaarts wijst, van de lijn af het vlak in. Een vector is het idee losgelaten, een grootheid die elke richting kan dragen. Zodra je reizen hebt, is de volgende vraag bijna gedwongen. Wat werkt in op een reis? Wat neemt "3 oost, 4 noord" en maakt er een andere reis van?

Die actor is een matrix.

Denk aan een machine met een instelling die kan rekken, pletten, roteren of omdraaien wat je erin stopt. Je geeft hem een reis, hij geeft je een reis terug. Een 2-bij-2-matrix is de complete instructie voor zo'n machine die op het vlak werkt. Een 3-bij-3-matrix is hetzelfde idee in de ruimte. Het rooster getallen is niet het object. Het rooster is het specificatieblad.

Dit is waarom een matrix geen grotere vector is. Een vector is een reis. Een matrix is een regel om reizen te veranderen. De twee verwarren is als een tocht verwarren met het weer dat je van koers blaast.

De kolommen zijn waar de assen landen

Hier is het feit dat het hele vak leesbaar maakt. Je hoeft niet te weten wat een matrix met elke mogelijke reis doet. Je hoeft alleen te weten wat hij met twee ervan doet: één stap oost, en één stap noord. Elke andere reis is een combinatie van die twee, dus het effect van de machine op elke reis is dezelfde combinatie van zijn effecten op de assen.

Schrijf die twee resultaten als kolommen, en je hebt de matrix.

Stel dat de machine één stap oost naar (2, 1) stuurt en één stap noord naar (0, 3). De matrix is het 2-bij-2-rooster waarvan de eerste kolom 2, 1 is en de tweede kolom 0, 3. Voer hem de reis (3, 4), wat "3 oost daarna 4 noord" betekent, en de uitvoer is 3 kopieën van de eerste kolom plus 4 kopieën van de tweede: $3 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 4 \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 15 \end{pmatrix}$ is. Dat is matrix-vectorvermenigvuldiging. Het rij-maal-kolom-ritueel in het leerboek is dezelfde som, zo geschreven dat een computer hem kan draaien zonder pijlen te tekenen.

Lezers uit het vectorartikel herkennen de som: je telt geschaalde reizen op. De matrix verzint geen nieuwe soort rekenkunde. Hij hergebruikt de rekenkunde van reizen, één keer per kolom.

De identiteitsmatrix is de machine die niets doet. Eén stap oost blijft één stap oost, één stap noord blijft één stap noord, dus zijn kolommen zijn precies de twee asreizen. Voer hem wat dan ook en je krijgt hetzelfde terug. Het is de kopieermachine op 100 procent, geen rotatie, en het is de reden dat het getal 1 een tegenhanger in dit vak heeft.

Vermenigvuldigen betekent pas dit toe, daarna dat

De regel die verzonnen voelt, twee matrices vermenigvuldigen, is functiesamenstelling in een rooster. A met B vermenigvuldigen is de ene machine bouwen die eerst B doet en daarna A. Je voert een reis aan B, neemt wat eruit komt, en voert dat aan A. Het product AB is het specificatieblad van die gecombineerde machine.

Dit is waarom de volgorde ertoe doet, en waarom het achterstevoren voelt. $AB \neq BA$, om dezelfde reden dat eerst sokken dan schoenen aantrekken niet eerst schoenen dan sokken aantrekken is. De rechtermachine werkt eerst omdat we functies al zo schrijven: f(g(x)) past eerst g toe. Matrixvermenigvuldiging erfde dezelfde conventie.

Het is ook waarom het rij-maal-kolom-recept bestaat. De kolommen van AB zijn wat de gecombineerde machine met de assen doet, wat betekent dat ze A toegepast op de kolommen van B zijn. Elk daarvan is een matrix-vectorproduct, en elk matrix-vectorproduct is een stapel inwendige producten. Het leerboekritueel is drie lagen van hetzelfde idee, samengeperst tot één ezelsbruggetje.

Een nuttig gevolg: je kunt stoppen met stampen wanneer twee matrices mogen vermenigvuldigen. Ze vermenigvuldigen wanneer de reizen die uit de eerste machine komen de juiste maat hebben om in de tweede te gaan. Een 2-bij-3-matrix eet 3-dimensionale reizen en geeft 2-dimensionale terug. Hij kan rechts van een 2-bij-2-matrix zitten, die 2-dimensionale reizen eet, en links van een 3-bij-4, die 3-dimensionale teruggeeft. De binnenmaten moeten matchen omdat ze dezelfde gang zijn.

De determinant is hoeveel oppervlakte overleeft

Voer de machine het eenheidsvierkant waarvan de zijden de twee asreizen zijn. Het beeld is een parallellogram waarvan de zijden de twee kolommen zijn. De determinant is de georiënteerde oppervlakte van dat parallellogram.

Als de determinant 2 is, verdubbelt de machine oppervlakten. Als hij 1/2 is, halveert hij ze. Als hij 0 is, is het parallellogram ingestort tot een lijnstuk of een punt: de machine heeft het vlak platgedrukt, twee verschillende reizen kunnen op dezelfde plek landen, en informatie is weggegooid. Als hij negatief is, heeft de machine de oriëntatie omgeklapt, een vierkant tegen de klok in tot een met de klok mee, dezelfde omkering die negatieve getallen op de lijn uitvoeren.

De rekenrecepten, ad min bc voor een 2-bij-2, later de cofactorontwikkeling, zijn manieren om die oppervlakte uit te rekenen. Ze zijn niet de betekenis. Zodra je het parallellogram ziet, stopt "de determinant is nul" een mysterieuze storing te zijn en wordt het een plaatje: de twee kolommen wijzen langs dezelfde lijn, dus ze overspannen geen oppervlakte, dus de machine is niet te onderscheiden van een projectie op die lijn.

Dit is ook waarom een determinant nul een inverse verbiedt, wat het hele punt van de volgende sectie is.

Inverse betekent ongedaan maken

Een inverse matrix is de ongedaan-maakknop. Als A een reis v naar een reis w stuurt, stuurt de inverse van A w terug naar v. De machine en daarna zijn inverse laten lopen is de identiteit: je eindigt waar je begon, alsof er niets is gebeurd.

Een machine kan precies ongedaan worden gemaakt wanneer hij geen informatie heeft weggegooid. Dat is opnieuw de determinanttest. Als twee verschillende invoerreizen dezelfde uitvoer kunnen produceren, is er geen eerlijke manier om te zeggen van welke invoer een uitvoer kwam, en bestaat er geen inverse. Als elke uitvoer van precies één invoer kwam, bestaat de ongedaan-maakmachine en is hij uniek.

Op school komt dit aan als een formule met 1 over de determinant en een herschikt rooster van elementen. De formule is echt, en het is de moeite waard hem te oefenen, maar hij is een gevolg. Het idee is "draai de film achteruit," en het werkt alleen wanneer de film de scène niet platdrukte.

Stelsels lineaire vergelijkingen zijn hetzelfde idee in kostuum. Algebra leerde je twee vergelijkingen in twee onbekenden op te lossen met eliminatie. Die twee vergelijkingen zijn een matrix die op een onbekende reis werkt, gelijk gezet aan een bekende reis. Het stelsel oplossen is de inverse toepassen. Wanneer het stelsel geen oplossing heeft, of oneindig veel, is de determinant nul: de machine drukte het vlak plat, en het rechterlid miste de overgebleven lijn of landde er oneindig veel manieren op. De gevallen die je stampte als "inconsistent" en "afhankelijk" zijn de twee manieren waarop een instortende machine kan falen één ongedaan-maken te hebben.

Eigenvectoren weigeren te draaien

De meeste reizen gaan de machine in en komen eruit wijzend een nieuwe kant op. Een paar bijzondere reizen komen eruit wijzend dezelfde kant op als ze in gingen, alleen langer of korter. Die reizen zijn de eigenvectoren, en de rekfactor is de eigenwaarde.

Het plaatje is een windtunnel. De meeste pijlen worden zijwaarts geklapt. De eigenvectoren zijn de pijlen die de wind alleen verlengt of verkort. Als de factor 2 is, verdubbelt de machine die reis. Als de factor 1 is, laat hij die reis met rust. Als de factor 0 is, plet hij die reis tot niets, de platdrukking uit de vorige twee secties gezien langs één richting. Als de factor negatief is, keert hij de reis om én rekt hij hem.

Dit is het ene idee in de latere hoofdstukken dat gevorderd lijkt en het niet is. Naar eigenvectoren vragen is vragen: langs welke richtingen werkt deze machine als gewoon vermenigvuldigen met een getal? Zodra je die richtingen hebt, wordt de machine simpel in dat coördinatenstelsel, en daarom begint elk vak dat matrices gebruikt, van differentiaalvergelijkingen tot het rangschikken van webpagina's, ernaar te jagen.

Waar de fouten vandaan komen

Matrixfouten clusteren op drie plekken, en elk is een plaatje dat nooit is getekend.

De eerste is cel voor cel vermenigvuldigen. Leerlingen zien twee roosters van dezelfde maat en paren de getallen, zoals je matrices optelt, wat écht cel voor cel is. Vermenigvuldigen is geen optellen. Het is de ene machine laten lopen en daarna de andere. Twee 2-bij-2-matrices leveren weer een 2-bij-2, maar elke uitvoerkolom is A toegepast op een kolom van B, niet de vier paren bij elkaar passende cellen, vermenigvuldigd.

De tweede is de volgorde negeren. AB en BA zijn verschillende machines wanneer A en B verschillende dingen doen, wat bijna altijd is. De factoren schrijven in de volgorde waarin je ze ontmoette, in plaats van de volgorde waarin ze werken, is de sokken-en-schoenenfout, en het is de meest voorkomende algebraïsche slip in het hele hoofdstuk.

De derde is een determinant nul behandelen als een stukke rekenmachine in plaats van als een platgedrukt parallellogram. De machine doet nog steeds iets: hij stuurt elke reis naar een lijn, of naar de oorsprong. Hij kan alleen niet ongedaan worden gemaakt. "Geen inverse" is geen weigering van het universum. Het is een beschrijving van een machine die een dimensie is kwijtgeraakt.

Waar Math Zen past

Matrices zitten boven op de vectorverdieping, en wiebelingen daar komen meteen naar boven. Kolommen optellen is vectoroptelling. De stap "rij keer kolom" is een inwendig product. De determinant van een 2-bij-2 is de georiënteerde oppervlakte van een parallellogram, dezelfde meetkunde die het vectorartikel voor de parallellogramwet gebruikte. Als die bewerkingen nog verbaal zijn in plaats van visueel, wordt elke matrixberekening een ritueel.

De niveau-opbouw van Math Zen houdt de verdiepingen in volgorde. Vroege niveaus trainen rekenen met tekens en de eenheidscirkel. De vectorniveaus maken daarna optellen, schalen en het inwendig product reflexmatig. De matrixniveaus nemen die als gegeven en trainen de nieuwe bewerkingen: vermenigvuldigen, determinanten uitrekenen, inverteren, stelsels oplossen, en eigenwaarden vinden, precies de lijst plaatjes in dit artikel, omgezet in korte problemen die je dagelijks kunt doen. Gespreide herhaling is wat "de kolommen zijn waar de assen landen" van een zin die je ooit overtuigend vond tot een reflex maakt die je op de tweede regel van een examenvraag gebruikt.

De kern

Een matrix is een machine die een reis neemt en een reis teruggeeft. Het rooster getallen is het specificatieblad: elke kolom is waar één as landde, en het effect op elke andere reis is de bijpassende combinatie van die kolommen. Twee matrices vermenigvuldigen bouwt de machine die de rechter eerst laat lopen. De determinant is hoeveel oppervlakte overleeft, nul wanneer de machine het vlak platdrukt. De inverse is de ongedaan-maakknop, en hij bestaat precies wanneer niets is platgedrukt. Eigenvectoren zijn de zeldzame reizen die de machine rekt zonder te draaien.

Zo bij elkaar gehouden heeft het vak één idee in zich, toegepast op grotere en grotere machines. Het dubbelzicht van de twee lokalen lost op het moment dat je ophoudt te vragen of een matrix écht een rooster is of écht een transformatie. Hij is écht een machine, en het rooster is gewoon de lijst van waar de assen naartoe gingen.