Samengestelde functies begrijpen: volgorde, waarden en domein

Stel dat een bezorgdienst 3 dollar per kilometer rekent en daarna 5 dollar boekingskosten toevoegt. Voor een rit van 4 kilometer vermenigvuldig je eerst 4 met 3 en tel je er 5 bij op. De uitkomst van de ene regel gaat door een volgende regel. Dat is het samenstellen van functies.

De notatie kan moeilijker lijken dan de handeling. Als $g(x)=3x$ de afstandskosten berekent en $f(x)=x+5$ de toeslag toevoegt, is het totaal $f(g(4))=f(12)=17$ dollar. De binnenste regel werkt eerst. Je kunt niet eerst de toeslag bij de afstand optellen en daarna vermenigvuldigen, tenzij het tarief echt zo is vastgesteld.

Lees de volgorde van binnen naar buiten

Bij een samengestelde functie staat de ene functie binnen de andere:

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

Lees dit als ‘$f$ na $g$’. Bereken eerst $g(x)$. Gebruik de uitkomst daarna als invoer voor $f$. De cirkel is het symbool voor samenstelling, niet voor vermenigvuldiging. OpenStax' hoofdstuk over functies samenstellen definieert de bewerking en legt de volgorde uit.

Neem $f(x)=2x+1$ en $g(x)=x^2-3$. Voor $f(g(x))$ vervang je de invoerplek in $f$ door de volledige uitdrukking $x^2-3$:

$$f(g(x))=2(x^2-3)+1=2x^2-5$$

Bij $x=4$ geeft de binnenste regel $g(4)=16-3=13$ en de buitenste regel daarna $f(13)=27$. De gecombineerde uitdrukking klopt: $2(4)^2-5=27$. Vergelijk de berekening in twee stappen met de samengestelde uitdrukking om een verkeerd geplaatst haakje te vinden.

Functienotatie laat de invoerplek zien. Als $f(t)=2t+1$, dan $f(x^2-3)=2(x^2-3)+1$. De letter waarmee je die plek aanduidt, verandert de regel niet. Onze gids over functies legt invoer, uitvoer en domein uit voordat je regels aan elkaar koppelt.

Draai de volgorde om en vergelijk

Bij dezelfde functies begint $g(f(x))$ juist met $f$:

$$g(f(x))=(2x+1)^2-3=4x^2+4x-2$$

Bij $x=4$ krijg je $f(4)=9$ en daarna $g(9)=78$. Dat is niet de 27 uit $f(g(4))$. Beide samenstellingen zijn geldig, maar beantwoorden verschillende vragen. Je ziet het verschil al vóór de algebra: de ene keten kwadrateert vóór het verdubbelen, de andere verdubbelt en telt er één bij op vóór het kwadrateren.

Een toevallige overeenkomst bij één invoer maakt twee samengestelde functies niet identiek. Om gelijkheid als functies vast te stellen, vergelijk je de regels op hun gemeenschappelijke domein en controleer je of hun domeinen overeenkomen. Bereken en vereenvoudig in gewone opgaven beide uitdrukkingen. Onthoud dat $f(g(x))$ noch $g(f(x))$ noch het product $f(x)g(x)$ is.

Een handige schets is $x\xrightarrow{g}g(x)\xrightarrow{f}f(g(x))$. Teken de eerste pijl voordat je iets invult. Dat is vooral nuttig als de binnenste regel breuken, wortels of een tabel bevat.

Bereken uit een tabel of grafiek

Je hebt niet altijd formules nodig om functies samen te stellen. Stel dat een tabel het volgende geeft:

$x$	1	2	3	4
$g(x)$	3	4	1	2
$f(x)$	8	6	9	7

Voor $f(g(2))$ lees je eerst $g(2)=4$ in de eerste rij. Gebruik nu 4 als invoer voor $f$: $f(4)=7$. Het antwoord is 7. In omgekeerde volgorde is $f(2)=6$, maar de tabel geeft geen waarde voor $g(6)$. Je kunt $g(f(2))$ hier niet uit aflezen. Die waarde kan bestaan als de volledige functie elders is gedefinieerd; de getoonde waarden bewijzen dat niet.

Een grafiek werkt op dezelfde manier. Ga bij invoer 2 eerst naar de grafiek van $g$ en lees de hoogte af, bijvoorbeeld 4. Begin daarna opnieuw bij invoer 4 op de grafiek van $f$ en lees daar de hoogte af, bijvoorbeeld 7. De eerste hoogte wordt de tweede horizontale coördinaat. Lees niet beide hoogten af bij $x=2$ om ze daarna te combineren. Als een grafiek geen punt heeft bij de benodigde invoer, is de samenstelling daar niet gedefinieerd.

Let op het verschil tussen ‘niet in deze gedeeltelijke tabel’ en ‘buiten het domein’. Een korte tabel kan een bestaande waarde weglaten. Een open punt of aangegeven grens op een grafiek kan juist laten zien dat een waarde is uitgesloten. Benoem welke informatie je hebt in plaats van de ontbrekende uitvoer te verzinnen.

Controleer het domein vóór het vereenvoudigen

Het domein van $f(g(x))$ heeft twee voorwaarden. Ten eerste moet $x$ in het domein van $g$ liggen. Ten tweede moet de uitkomst $g(x)$ als invoer voor $f$ toegestaan zijn. OpenStax formuleert de regel precies als deze overdracht van uitvoer naar invoer.

Niet het hele bereik van $g$ hoeft in het domein van $f$ te liggen om de samenstelling voor sommige invoerwaarden te laten bestaan. Bewaar alleen de waarden waarvoor beide stappen werken. Kwadrateren kan bijvoorbeeld met elk reëel getal, terwijl een daaropvolgende vierkantswortel alleen niet-negatieve uitkomsten accepteert. Omdat kwadraten niet-negatief zijn, werkt dit paar voor elke reële invoer. Vervang de binnenste regel door aftrekken en de toegestane verzameling kan kleiner worden. Controleer de waarde die werkelijk wordt doorgegeven, niet alleen de losse formules.

Neem $g(x)=x-1$ en $f(t)=\sqrt{t}$, met reële uitkomsten. De binnenste regel accepteert elk reëel getal, maar de buitenste vierkantswortel alleen niet-negatieve invoer. Daarom:

$$f(g(x))=\sqrt{x-1},\qquad x\geq1$$

Draai de volgorde om. Nu werkt $f(x)=\sqrt{x}$ eerst en trekt $g$ daarna één af:

$$g(f(x))=\sqrt{x}-1,\qquad x\geq0$$

De uitdrukkingen en hun domeinen verschillen. Bij $x=0$ geeft de tweede samenstelling $-1$, terwijl de eerste over de reële getallen niet gedefinieerd is. Dat is een sterker vergelijkingspunt dan alleen één invoer vinden waarbij hun waarden verschillen.

Een noemer voegt nog een voorwaarde toe. Stel $g(x)=1/(x-2)$ en $f(t)=t+3$. Dan geldt $f(g(x))=1/(x-2)+3$, maar $x=2$ blijft uitgesloten omdat de binnenste regel daar niet bestaat.

Wegstrepen herstelt een oorspronkelijk verboden invoer nooit. Neem $g(x)=(x^2-1)/(x-1)$, alleen gedefinieerd als $x\ne1$, en $f(t)=t^2$. Voor toegestane invoer mag je $g(x)$ vereenvoudigen tot $x+1$. De samengestelde uitdrukking lijkt dan $(x+1)^2$, maar haar domein blijft $x\ne1$. Bij $x=1$ zou de oorspronkelijke binnenste functie door nul moeten delen. Een polynoom dat verder overal overeenkomt, kan dat gat alleen vullen door een nieuwe functie te definiëren.

Splits een langere regel op in stappen

Je kunt een samenstelling ook achterwaarts lezen om te beschrijven hoe een formule is opgebouwd. Neem $h(x)=\sqrt{3x+2}$. Een mogelijkheid is eerst $g(x)=3x+2$ en daarna $f(t)=\sqrt{t}$. Dus $h=f\circ g$. Deze ontleding toont snel het domein: eis $3x+2\geq0$, zodat $x\geq-2/3$.

Er kan meer dan één geldige ontleding zijn. Je kunt de binnenste lineaire regel splitsen in ‘vermenigvuldig met 3’ en ‘tel 2 op’, en daarna als derde stap de vierkantswortel toepassen. Van belang is dat de opgegeven volgorde voor elke toegestane invoer de oorspronkelijke regel oplevert.

Vergelijk voor een grafiekverschuiving $f(x)=x^2$ met $f(x-2)=(x-2)^2$. De verandering zit binnen de invoerplek, dus de parabool verschuift 2 naar rechts. Bij $f(x)+2=x^2+2$ komt de optelling na $f$, dus de grafiek verschuift 2 omhoog. Dit is samenstelling in de praktijk: ‘trek 2 af vóór het kwadrateren’ verschilt van ‘kwadrateer en tel daarna 2 op’. Onze algebragids helpt als invullen nog lastig is.

Oefen drie verschillende controles

1. Twee volgordes. Neem $f(x)=x+4$ en $g(x)=2x$. Bereken beide samenstellingen. De antwoorden zijn $f(g(x))=2x+4$ en $g(f(x))=2x+8$. Bij $x=3$ geven ze 10 en 14. De volgorde bepaalt wanneer de 4 wordt opgeteld.

2. Een domeinvoorwaarde. Neem $f(t)=1/t$ en $g(x)=x^2-9$. Dan is $f(g(x))=1/(x^2-9)$. Sluit $x=3$ en $x=-3$ uit, omdat beide de buitenste noemer nul maken. De binnenste veelterm accepteert op zichzelf elk reëel getal.

3. Een tabelwaarde. Bereken met de tabel hierboven $g(f(3))$. Eerst is $f(3)=9$. De tabel heeft geen vermelding voor $g(9)$, dus de gegevens zijn onvoldoende. Dat is een volledig antwoord, geen mislukte berekening.

Zeg na iedere opgave welke regel eerst werkte, welke uitkomst die gaf en of de volgende regel deze waarde accepteert. Controleer daarna een getalsinvoer met je algebraïsche antwoord. Bij Math Zens oefeningen over functies staat samenstelling naast vraagstukken over domein en bereik, zodat je de overdracht apart kunt oefenen.

Een inverse functie is een speciaal geval waarin de ene regel de andere ongedaan maakt op passende domeinen. Om gewone samenstellingen uit te rekenen heb je geen inverse functies nodig. Hier volstaat de vaste volgorde: binnenste uitvoer, buitenste invoer en daarna een domeincontrole.