Inverse functies intuïtief begrijpen: rekenstappen terugdraaien

Een werkplaats rekent 8 dollar reserveringskosten en daarna 5 dollar voor elk uur dat je een werkbank gebruikt. Drie uur kost 23 dollar. Als op de rekening 23 dollar staat, hoeveel uur heb je dan gereserveerd?

Heen vermenigvuldig je het aantal uren met 5 en tel je er 8 bij op. Terug trek je 8 van het bedrag af en deel je door 5. Die regel voor de terugweg is een inverse functie. Met dezelfde relatie beantwoordt hij een andere vraag.

De algebra is meestal eenvoudig. Je moet vooral opletten of de terugweg één antwoord oplevert en welke getallen de regel mag accepteren.

Draai eerst de laatste stap terug

Schrijf de kosten voor de werkplaats als

$$f(x) = 5x + 8$$

De inverse moet eerst de reserveringskosten weghalen en daarna het uurtarief terugdraaien:

$$f^{-1}(x) = \frac{x-8}{5}$$

Controleer de rekening: $f^{-1}(23) = (23-8)/5 = 3$. Als je eerst door 5 zou delen, verdeel je de reserveringskosten ten onrechte over het uurtarief en krijg je een verkeerd antwoord.

De invoer van $f$ is een aantal uren; de invoer van $f^{-1}$ is een bedrag in dollars. De letter $x$ opnieuw gebruiken betekent niet dat ze dezelfde grootheid voorstelt. Ze is een plaatsaanduiding voor wat de betreffende functie accepteert.

In dit model zijn negatieve uren zinloos. Het oorspronkelijke domein is $x \geq 0$ en het bereik is $f(x) \geq 8$. De inverse accepteert daarom alleen bedragen van minstens 8 dollar. Algebraïsch kun je 3 dollar invullen, maar het negatieve aantal uren dat eruit komt, valt buiten het model.

Een inverse functie en een omgekeerde waarde zijn verschillend

Het superscript in $f^{-1}$ lijkt op een negatieve macht. In functienotatie is het de aanduiding van de inverse. Het zegt niet dat je 1 door $f(x)$ moet delen.

Voor dezelfde kostenregel geldt:

$$f^{-1}(x)=\frac{x-8}{5}, \qquad \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{5x+8}$$

De eerste uitdrukking rekent van kosten terug naar uren. De tweede is de omgekeerde waarde van de kosten, een andere grootheid met een ander doel. OpenStax legt het verschil tussen deze notaties uit.

Je kunt de inverse ook $g$ noemen. Met $g(f(x))=x$ zeg je zonder superscript precies wat nodig is: pas de kostenregel toe en haal daarna het oorspronkelijke aantal uren terug.

Vind de inverse met algebra

De gebruikelijke methode is $y=f(x)$ schrijven, $x$ en $y$ verwisselen en $y$ vrijmaken. Het verwisselen legt de rolwisseling vast: de oude uitvoer wordt de nieuwe invoer.

Neem een nieuw voorbeeld:

$$y = \frac{2x-7}{3}$$

Verwissel de variabelen:

$$x = \frac{2y-7}{3}$$

Vermenigvuldig met 3, tel er 7 bij op en deel door 2:

$$3x = 2y-7$$ $$3x+7 = 2y$$ $$y = \frac{3x+7}{2}$$

De inverse is dus $f^{-1}(x)=(3x+7)/2$. Elke stap draait een bewerking uit de oorspronkelijke regel terug, te beginnen met de laatste deling door 3.

Paul's Online Math Notes geeft dezelfde algemene methode en uitgewerkte voorbeelden met wortels en rationale functies. Houd bij het omwerken van een uitdrukking steeds bij welke invoeren uitgesloten zijn. Vermenigvuldigen met een noemer maakt een verboden waarde niet alsnog geldig.

Controleer beide richtingen

Eén getal proberen kan een rekenfout aan het licht brengen, maar bewijst niet dat twee regels elkaar voor alle waarden ongedaan maken. Gebruik samenstelling op de vermelde domeinen.

Vul in het voorbeeld hierboven de oorspronkelijke regel in de inverse in:

$$f^{-1}(f(x)) = \frac{3\left(\frac{2x-7}{3}\right)+7}{2} = \frac{2x-7+7}{2}=x$$

Vul daarna de inverse in de oorspronkelijke regel in:

$$f(f^{-1}(x)) = \frac{2\left(\frac{3x+7}{2}\right)-7}{3} = \frac{3x+7-7}{3}=x$$

Hier bestaan beide domeinen uit alle reële getallen. Zet bij een wortel, logaritme of breuk het domein naast de controle. Een vereenvoudigde uitdrukking kan een beperking verbergen die vóór het wegstrepen bestond.

Als samenstelling nog onbekend voelt, begin dan bij onze uitleg over functies: de uitvoer van de binnenste regel wordt de invoer van de buitenste. Lees de haakjes van binnen naar buiten.

Waarom een kwadratische functie een beperkt domein nodig heeft

Stel dat $f(x)=(x-2)^2$. Zowel $f(1)$ als $f(3)$ is gelijk aan 1. Als iemand je alleen de uitvoer 1 geeft, vertelt de regel niet welke invoer is gebruikt.

Deze functie is op alle reële getallen niet injectief. De terugwaartse relatie zou voor de meeste invoeren twee antwoorden geven en dus geen functie zijn.

Kies de rechtertak door het oorspronkelijke domein te beperken tot $x \geq 2$. Nu is de terugrekening eenduidig:

$$y=(x-2)^2, \qquad x \geq 2$$

Omdat $x-2$ niet negatief is, geeft de hoofdwortel $\sqrt{y}=x-2$. Verwissel de variabelenamen en schrijf

$$f^{-1}(x)=2+\sqrt{x}, \qquad x \geq 0$$

De inverse accepteert niet-negatieve getallen en geeft getallen van minstens 2 terug. Controleer $f^{-1}(9)=5$ en daarna $f(5)=9$.

Beperk je het oorspronkelijke domein in plaats daarvan tot $x \leq 2$, dan is de inverse $2-\sqrt{x}$. Dit zijn inversen van twee verschillende functies met een beperkt domein. Zet er geen plusminteken bij en noem het resultaat één inverse functie.

Hetzelfde onderscheid is belangrijk bij kwadratische vergelijkingen: een vergelijking kan twee oplossingen hebben, terwijl een functie aan elke toegestane invoer één uitvoer moet toekennen.

Lees de inverse af uit een grafiek

Als $f(4)=9$, bevat de oorspronkelijke grafiek $(4,9)$ en bevat die van de inverse $(9,4)$. Door de coördinaten te verwisselen, spiegel je punten in de diagonaal $y=x$.

Dit verklaart ook de horizontale-lijntest. Als een horizontale lijn de oorspronkelijke grafiek twee keer snijdt, horen bij één uitvoer twee verschillende invoeren. Na het verwisselen van de coördinaten liggen die punten op een verticale lijn en heeft één invoer twee uitvoeren.

Probeer het met de parabool hierboven. Een horizontale lijn op hoogte 1 snijdt haar bij $x=1$ en $x=3$. Verwijder de linkertak, dan blijft er maar één snijpunt over. De grafiek bevat nu genoeg informatie om terug te rekenen.

Het domein van de inverse is het oorspronkelijke bereik. Kijk dus eerst welke hoogtes de oorspronkelijke grafiek bereikt. Als de uitvoer alleen boven een bepaalde hoogte ligt, kan de inverse geen getallen onder die hoogte accepteren.

Drie korte oefeningen

Een lineaire regel: vind de inverse van $f(x)=7-2x$. Trek de waarde van 7 af en deel door 2: $f^{-1}(x)=(7-x)/2$. Hier heeft de inverse een andere uitdrukking dan de oorspronkelijke functie. Controleer $f(2)=3$ en $f^{-1}(3)=2$.

Een derde macht: vind de inverse van $g(x)=x^3+6$. Bij tot de derde macht verheffen blijven negatieve en positieve invoeren te onderscheiden, dus een beperking tot één tak is niet nodig. Voor elke reële invoer is de inverse $g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-6}$.

Een kwadraat: vind de inverse van $h(x)=x^2+6$ op $x \geq 0$. Dat is $h^{-1}(x)=\sqrt{x-6}$, met domein $x \geq 6$. Zonder die laatste voorwaarde is het antwoord onvolledig.

Schrijf het domein op voordat je elk antwoord controleert. Controleer daarna met één getal de heen- en terugweg en doe beide algebraïsche samenstellingen. Zo maak je in Math Zen een korte, effectieve oefensessie: oefen met functies de heenregel, de terugregel en de beperkingen samen.

Hetzelfde idee verbindt exponentiële functies met logaritmen. Een exponentiële functie neemt een exponent en produceert een getal; de logaritme haalt de exponent terug. Zodra je weet wat de invoer betekent en welke uitvoeren mogelijk zijn, kun je de inverse beredeneren.