Partiële afgeleiden: opgaven met uitgewerkte oplossingen

Bereken beide partiële afgeleiden van $f(x,y)=x^2y+3y^2$. Als je $2x$ en $6y$ vindt, ben je een coëfficiënt en een hele term kwijtgeraakt. Een variabele constant houden betekent dat je die als een getal behandelt, niet dat je alle termen met die variabele schrapt. De juiste antwoorden zijn $f_x=2xy$ en $f_y=x^2+6y$.

Deze reeks opgaven begint bij die fout en gaat verder met producten, samengestelde functies, gemengde afgeleiden en numerieke controles. Probeer elke opgave zelf voordat je de oplossing leest. Schrijf naast je eerste regel welke variabele je vastzet; dat kleine geheugensteuntje maakt veel verkeerde antwoorden zichtbaar.

Voor het beeld achter de berekening kun je de intuïtieve uitleg van partiële afgeleiden lezen. Hier ligt de nadruk op de algebra en het controleren van je antwoord, niet op een tweede introductie van oppervlakken en gradiënten.

De regel bovenaan je uitwerking

Voor $f_x$ differentieer je naar $x$ terwijl je $y$ als constante behandelt. Voor $f_y$ draai je de rollen om. De definitie van partiële afgeleiden in OpenStax laat de vastgezette invoer expliciet zien in het differentiequotiënt. Op de veranderende variabele pas je vervolgens de gewone differentieerregels toe.

Als $y$ vaststaat, is $y^2$ bijvoorbeeld een constante, maar $xy^2$ is een constante vermenigvuldigd met $x$. Hun afgeleiden naar $x$ verschillen dus:

$$\frac{\partial}{\partial x}(y^2)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(xy^2)=y^2.$$

Vul niet beide coördinaten in voordat je differentieert. Als je het hele punt invult, wordt de uitdrukking een getal en verdwijnt de verandering in de buurt die je juist zoekt. Differentieer eerst en vul daarna in. Alleen de vastgezette coördinaat invullen mag wel en levert een nuttige onafhankelijke controle op.

Opgave 1: een veelterm met twee onafhankelijke invoeren

Bereken $f_x$ en $f_y$ voor

$$f(x,y)=2x^3y-5xy^2+7y,$$

en bepaal beide waarden in $(1,2)$.

Naar x: houd $y$ vast. De coëfficiënten van $x^3$ en $x$ zijn $2y$ en $-5y^2$. De laatste term verandert niet:

$$f_x=6x^2y-5y^2.$$

Naar y: houd $x$ vast. De eerste term is lineair in $y$, de tweede kwadratisch en de derde weer lineair:

$$f_y=2x^3-10xy+7.$$

In het gevraagde punt geldt

$$f_x(1,2)=12-20=-8, \qquad f_y(1,2)=2-20+7=-11.$$

Beide afgeleiden zijn daar negatief. Hun tekens bepalen de functiewaarde niet: hoogte en helling zijn verschillende grootheden. Controleer het eerste antwoord onafhankelijk door $y=2$ in de oorspronkelijke functie in te vullen. Je krijgt $4x^3-20x+14$, met als gewone afgeleide $12x^2-20$. Bij $x=1$ is dat opnieuw $-8$.

Opgave 2: een product en een exponentiële functie

Bereken beide partiële afgeleiden van

$$g(x,y)=x^2e^{xy}.$$

Voor $g_x$ hangen beide factoren af van $x$. Gebruik daarom de productregel. De exponentiële functie vraagt ook om de kettingregel: als $y$ vaststaat, is de afgeleide van $xy$ gelijk aan $y$.

$$g_x=2xe^{xy}+x^2e^{xy}y =e^{xy}(2x+x^2y).$$

Voor $g_y$ is de factor $x^2$ constant. Alleen de exponentiële functie verandert; de afgeleide van haar exponent naar $y$ is $x$:

$$g_y=x^2e^{xy}x=x^3e^{xy}.$$

In $(1,0)$ worden de uitkomsten $g_x=2$ en $g_y=1$. Een vaak gezien fout antwoord is $g_x=2xe^{xy}$. Dan is alleen de eerste factor afgeleid en vergeten dat de tweede ook van $x$ afhangt. Een andere fout vervangt de binnenste afgeleide in beide berekeningen door 1, zodat het verschil tussen $x$ en $y$ verloren gaat.

Heb je meer oefening nodig met het herkennen van een binnenste functie, dan splitsen de voorbeelden van de kettingregel elke laag uit voordat de factoren weer worden gecombineerd.

Opgave 3: logaritmen, breuken en domein

Neem

$$h(x,y)=\ln(x^2+2y^2).$$

Voor de logaritme moet $x^2+2y^2>0$ zijn, dus de oorsprong valt buiten het domein. Op alle andere punten differentieer je de binnenkant en deel je door diezelfde binnenkant:

$$h_x=\frac{2x}{x^2+2y^2}, \qquad h_y=\frac{4y}{x^2+2y^2}.$$

In $(2,1)$ is de noemer 6, zodat beide afgeleiden $2/3$ zijn. Die gelijkheid geldt specifiek voor dit punt. Ze betekent niet dat de twee afgeleide functies identiek zijn.

De noemer geeft een belangrijke waarschuwing. Noch de oorspronkelijke functie, noch deze formules hebben een waarde in $(0,0)$. Een berekening die daar nul oplevert, heeft waarden ingevuld in een ongedefinieerde breuk. Controleer het domein voordat je een punt invult, vooral bij opgaven met wortels, logaritmen en quotiënten.

Opgave 4: gemengde afgeleiden in beide volgordes

Neem

$$p(x,y)=x^2y^3+\sin(xy).$$

In deze uitleg betekent $p_{xy}$ dat je eerst naar $x$ differentieert en daarna naar $y$. Schrijf de tussenliggende afgeleide op om de volgorde duidelijk te maken:

$$p_x=2xy^3+y\cos(xy).$$

Differentieer deze uitdrukking nu naar $y$. Voor de tweede term heb je de productregel nodig:

$$p_{xy}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

Voer de berekening in omgekeerde volgorde uit:

$$p_y=3x^2y^2+x\cos(xy),$$ $$p_{yx}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

De antwoorden komen overeen. Alle relevante afgeleiden zijn hier continu, dus de gelijkheid volgt ook uit de stelling over gemengde afgeleiden die OpenStax beschrijft. Maak er geen voorwaardeloze regel van voor elke denkbare functie. Bij gewone opgaven met gladde functies is dit een uitstekende controle; op een punt waar de benodigde regelmatigheid ontbreekt, tellen de voorwaarden van de stelling.

Opgave 5: een derde variabele is nog een vaste invoer

Voor

$$q(x,y,z)=xy^2+z\cos x,$$

bereken je alle drie de eerste partiële afgeleiden. Door telkens twee invoeren vast te houden krijg je

$$q_x=y^2-z\sin x, \qquad q_y=2xy, \qquad q_z=\cos x.$$

In $(0,2,3)$ zijn de waarden 4, 0 en 1. De middelste nul betekent niet dat de functie nooit van $y$ afhangt. Ze zegt dat de veranderingssnelheid van de eerste orde in die richting precies op dit punt nul is. Vul $x=0$ in de oorspronkelijke uitdrukking in: de doorsnede is inderdaad gewoon $q=3$ wanneer $z=3$.

Een numerieke controle voor een vergeten factor

Ga terug naar opgave 1 in $(1,2)$. Houd $y=2$ vast, kies een klein positief getal $s$ en bereken het centrale differentiequotiënt

$$\frac{f(1+s,2)-f(1-s,2)}{2s}.$$

Voor deze veelterm levert het uitwerken van de teller exact $-8+4s^2$ op. De controles zijn:

Dit is een controle van een symbolisch antwoord, geen bewijs van een afleidformule. Bovendien controleert het alleen het gekozen punt. Als je per ongeluk beide coördinaten in de teller verandert, meet je de verandering langs een ander pad. Bij computerberekeningen met zwevende komma kan een extreem kleine stap afrondingsverlies door het aftrekken van bijna gelijke getallen veroorzaken. Meer nullen verbeteren de proef dus niet altijd.

Zoek de fout voordat je opnieuw begint

Gebruik de tabel om de specifieke stap te herstellen in plaats van alle algebra opnieuw te doen. Gaan ook de gewone differentieerregels nog mis, lees dan de inleiding tot afgeleiden opnieuw.

Probeer nog twee opgaven en vergelijk je uitwerking

Oefening A. Bereken $r_x$ en $r_y$ voor $r(x,y)=3x^2y+y^4$ en bepaal hun waarden in $(2,-1)$.

De afgeleiden zijn $r_x=6xy$ en $r_y=3x^2+4y^3$. In het punt zijn ze $-12$ en $8$. De term $y^4$ verdwijnt alleen bij differentiëren naar x. Bij differentiëren naar y draagt hij $4y^3=-4$ bij.

Oefening B. Bereken beide eerste partiële afgeleiden van $s(x,y)=\cos(2x-y)$ en bepaal hun waarden in $(0,0)$.

De kettingregel geeft $s_x=-2\sin(2x-y)$ en $s_y=\sin(2x-y)$. Het plusteken in het tweede antwoord ontstaat uit twee mintekens: één bij het differentiëren van de cosinus en één bij het differentiëren van $2x-y$ naar $y$. Beide waarden in de oorsprong zijn nul, ook al zijn de formules verschillend.

Als deze berekeningen vertrouwd aanvoelen, ga dan verder met oefeningen over partiële afgeleiden. Noteer kort welk type fout je hebt hersteld: vaste invoer, productregel, binnenste afgeleide of te vroeg invullen. Zo weet je welk soort opgave je hierna moet herhalen.