Kettingregel: voorbeelden met samengestelde functies stap voor stap

Bepaal de afgeleide van $(2x+3)^5$. Als je de gewone machtsregel toepast alsof er alleen $x$ tussen de haakjes staat, krijg je $5(2x+3)^4$. De vorm lijkt goed, maar de factor twee ontbreekt. De uitdrukking binnen de haakjes verandert twee keer zo snel als $x$, en de afgeleide moet die verandering meenemen.

Die ontbrekende factor is precies waar de kettingregel voor dient. In deze les werken we originele voorbeelden volledig uit, van één binnenste functie tot drie geneste lagen. Voor de algemene betekenis van een afgeleide kun je beginnen met onze gids over afgeleiden. Hier richten we ons op het herkennen van de lagen, het afleiden ervan en het controleren van de uitkomst.

Herken de binnenste en buitenste functie

Bij een samenstelling wordt de uitvoer van de ene functie ingevoerd in de andere. Voor $y=(2x+3)^5$ bereken je eerst $2x+3$ en verhef je het resultaat daarna tot de vijfde macht. Schrijf $g(x)=2x+3$ voor de binnenste functie en $f(u)=u^5$ voor de buitenste functie. Dan is $y=f(g(x))$.

De volgorde van uitrekenen en afleiden is tegengesteld. Om de waarde te berekenen, werk je van binnen naar buiten. Om af te leiden, begin je bij de buitenste bewerking, laat je de invoer onveranderd en vermenigvuldig je daarna met de afgeleide van die invoer. OpenStax formuleert de regel voor differentieerbare samenstellingen zo in het hoofdstuk over de kettingregel:

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$

De afgeleide van de buitenste functie wordt berekend bij $g(x)$, niet bij $g'(x)$. De binnenste afgeleide is een afzonderlijke factor. Als een van de lagen op het betreffende punt niet differentieerbaar is, kun je de formule daar niet zomaar toepassen.

Probeer de lagen te benoemen voordat je een regel kiest. Bij $\sin(4x^2-1)$ is de buitenste bewerking de sinus en de binnenste uitdrukking $4x^2-1$. Bij $\sqrt{1+x^4}$ is de buitenste bewerking de vierkantswortel en de binnenste uitdrukking $1+x^4$. Bij $x^2+3x$ is de bewerking op het hoogste niveau optellen: leid de termen afzonderlijk af. Niet elk paar haakjes vraagt om de kettingregel.

Als het idee om de ene functie in de andere in te voeren nieuw voor je is, behandelt ons artikel over samengestelde functies het invullen en het domein voordat je gaat afleiden. Functies zelf vormen een beginpunt als de notatie voor invoer en uitvoer nog onbekend is.

Gebruik steeds dezelfde vier stappen

De methode verandert niet als de uitdrukking groter wordt:

1. Benoem de direct binnenliggende uitdrukking. Voor $h(x)=(3x^2-2)^4$ neem je $u=3x^2-2$.
2. Leid de buitenkant af terwijl $u$ blijft staan. De buitenkant is $u^4$, dus de afgeleide is $4u^3$.
3. Leid de binnenkant af. Hier is $du/dx=6x$.
4. Vermenigvuldig en zet de oorspronkelijke uitdrukking terug. De uitkomst is $h'(x)=4(3x^2-2)^3(6x)=24x(3x^2-2)^3$.

Werk de vierde macht niet uit, tenzij een latere berekening dat nodig maakt. Het ontbonden antwoord laat zien waar elk onderdeel vandaan komt: $4(3x^2-2)^3$ hoort bij de buitenste macht, terwijl $6x$ bij de binnenste kwadratische uitdrukking hoort. Als je te vroeg uitwerkt, valt een ontbrekende factor minder snel op.

Bij drie lagen herhaal je dezelfde handeling. Leid de buitenste laag af, vermenigvuldig met de afgeleide van de volgende laag en daarna met die van de diepste. OpenStax werkt dit herhaalde gebruik van de kettingregel uit in hetzelfde hoofdstuk. Je hoeft geen nieuwe regel te onthouden.

Drie volledig uitgewerkte voorbeelden

Een macht van een lineaire uitdrukking. Ga terug naar $p(x)=(2x+3)^5$. De buitenste afgeleide is $5(2x+3)^4$ en de binnenste afgeleide is $2$. Dus:

$$p'(x)=5(2x+3)^4(2)=10(2x+3)^4$$

Controleer bij $x=0$ zonder het symbolische antwoord zomaar te vertrouwen. Voor de oorspronkelijke functie geldt $p(0)=3^5=243$. Als je in $(3+2x)^5$ alleen de term van de eerste orde uitwerkt, krijg je $243+5(3^4)(2x)+\cdots=243+810x+\cdots$, dus de helling bij nul is $810$. Onze afgeleide geeft $10(3)^4=810$. De versie zonder de binnenste factor geeft $405$ en doorstaat deze controle niet.

Een goniometrische samenstelling. Neem $q(x)=\sin(4x^2-1)$, met hoeken in radialen. De buitenste afgeleide van de sinus is de cosinus bij dezelfde invoer, en de binnenste afgeleide van $4x^2-1$ is $8x$:

$$q'(x)=\cos(4x^2-1)(8x)=8x\cos(4x^2-1)$$

Bij $x=0$ is de binnenste afgeleide nul, dus $q'(0)=0$. Dat klopt met een plaatselijke symmetriecontrole: $q(x)$ hangt af van $x^2$ en heeft daardoor dezelfde waarde bij $x$ en $-x$. Bij $x=1$ is de helling $8\cos(3)$, niet $\cos(8)$. De cosinus krijgt de ongewijzigde binnenste uitdrukking als invoer, niet de afgeleide ervan.

Drie geneste lagen. Neem $r(x)=\left[\sin(2x^2+1)\right]^3$. Van buiten naar binnen zijn de lagen de derde macht, de sinus en $2x^2+1$. Leid ze in die volgorde af:

$$\begin{aligned} r'(x)&=3\left[\sin(2x^2+1)\right]^2 \cdot\cos(2x^2+1)\cdot 4x\\ &=12x\sin^2(2x^2+1)\cos(2x^2+1). \end{aligned}$$

Er zijn drie factoren omdat drie veranderingen met elkaar samenhangen. De derde macht levert $3\sin^2(\cdot)$, de sinus levert de cosinus en de kwadratische uitdrukking levert $4x$. Opnieuw is $r'(0)=0$, wat past bij de even functie $r(x)$. Dit bewijst niet de volledige afgeleide, maar helpt om sommige rekenfouten snel te vinden.

Bepaal wanneer je nog een regel nodig hebt

Zoek eerst de bewerking op het hoogste niveau. Bij $a(x)=x(2x+3)^5$ worden twee variabele uitdrukkingen vermenigvuldigd. Begin met de productregel en gebruik daarna de kettingregel voor de factor met de macht:

$$\begin{aligned} a'(x)&=1\cdot(2x+3)^5+x\cdot 5(2x+3)^4\cdot2\\ &=(2x+3)^5+10x(2x+3)^4\\ &=(2x+3)^4(12x+3). \end{aligned}$$

Daartegenover heeft $b(x)=(2x+3)^5$ op het hoogste niveau geen product, zodat alleen de kettingregel $10(2x+3)^4$ oplevert. Het verschil tussen beide uitdrukkingen is een factor $x$ buiten de macht, en die factor verandert welke regel eerst nodig is.

Een quotiënt kan dezelfde keuze verbergen. Schrijf $c(x)=1/(2x+3)^2$ om als $(2x+3)^{-2}$. De bewerking op het hoogste niveau is nu een macht, dus:

$$c'(x)=-2(2x+3)^{-3}(2)=-\frac{4}{(2x+3)^3},\qquad x\ne-\frac32.$$

De quotiëntregel zou ook werken, maar door het omschrijven zie je de samenstelling direct. Als zowel de teller als de noemer van $x$ afhangen, gebruik je op het hoogste niveau de quotiëntregel en bekijk je elke afzonderlijke term op een mogelijke kettingregel. OpenStax behandelt zulke combinaties in hetzelfde hoofdstuk.

Herstel drie veelgemaakte fouten

De binnenste factor ontbreekt. Voor $(5x-1)^4$ laat het antwoord $4(5x-1)^3$ de afgeleide $5$ weg. Schrijf de twee onderdelen op voordat je vermenigvuldigt: $4(5x-1)^3\times5=20(5x-1)^3$.

De invoer van de buitenste functie veranderen. Voor $\cos(x^2+2)$ zet het antwoord $-\sin(2x)\cdot2x$ de binnenste afgeleide in de sinus. De juiste afgeleide is $-\sin(x^2+2)\cdot2x$. Leid de buitenkant af bij de ongewijzigde binnenkant en voeg daarna de afgeleide daarvan toe als factor.

Haakjes kwijtraken. Voor $(x^2+3)^3$ is $3x^2+3^2(2x)$ geen toepassing van de kettingregel. De hele binnenste uitdrukking blijft binnen de gekwadrateerde macht: $3(x^2+3)^2(2x)=6x(x^2+3)^2$. Laat grote haakjes rond de binnenkant staan tot de laatste regel.

Een handige controle is om zowel de oorspronkelijke functie als je afgeleide bij een eenvoudig punt te bekijken. Eén getalswaarde bewijst de afgeleide niet voor alle $x$, maar een afwijking kan een verleidelijk fout antwoord snel ontkrachten.

Drie oefenopgaven met volledige oplossingen

Probeer elke opgave eerst zelf voordat je de oplossing leest. Markeer de lagen en schrijf daarna één factor per laag op.

1. Bepaal de afgeleide van $s(x)=(7-3x)^4$. De buitenste afgeleide is $4(7-3x)^3$. De binnenste afgeleide is $-3$, dus:

$$s'(x)=4(7-3x)^3(-3)=-12(7-3x)^3.$$

Het minteken geeft een snelle controle: dicht bij een punt waar $7-3x$ positief is, maakt een grotere $x$ die binnenste hoeveelheid kleiner en daarmee ook de vierde macht ervan.

2. Bepaal de afgeleide van $t(x)=\cos(3x^2+x)$. De buitenste cosinus wordt negatieve sinus; de binnenste veelterm wordt $6x+1$:

$$t'(x)=-\sin(3x^2+x)(6x+1).$$

Bij $x=0$ is de uitkomst nul omdat $\sin(0)=0$. Leid daaruit niet af dat de binnenste afgeleide op dat punt nul is: die is één. Door de twee factoren apart te houden, zie je waarom het product verdwijnt.

3. Bepaal de afgeleide van $v(x)=(1+\sin x)^3$. De buitenste macht levert $3(1+\sin x)^2$; de binnenste afgeleide is $\cos x$:

$$v'(x)=3(1+\sin x)^2\cos x.$$

De binnenkant bevat een sinus, maar de bewerking op het hoogste niveau blijft de derde macht. Werk van buiten naar binnen. Bij $x=0$ is de afgeleide $3(1)^2(1)=3$.

Als deze opgaven vertrouwd aanvoelen, vind je bij Math Zens oefeningen over afgeleiden ook een vaardigheid voor de kettingregel tussen de analyseopgaven. Ga terug naar een voorbeeld dat je verkeerd had en leg uit welke factor ontbrak voordat je de volgende opgave probeert. Houd deze gewoonte vast: benoem de buitenste bewerking, laat de invoer onveranderd en vermenigvuldig met de afgeleide daarvan.

Veelgestelde vragen

Is de kettingregel hetzelfde als de machtsregel?

Nee. Met de machtsregel leid je $x^n$ af. De kettingregel laat je die regel toepassen op een macht van een binnenste uitdrukking: de afgeleide van $[g(x)]^n$ is $n[g(x)]^{n-1}g'(x)$. Als $g(x)=x$, is de afgeleide daarvan één en verschijnt de bekende machtsregel.

Kan ik de kettingregel gebruiken voor een vierkantswortel?

Ja. Schrijf $\sqrt{1+x^4}$ als $(1+x^4)^{1/2}$. De buitenste afgeleide is $\tfrac12(1+x^4)^{-1/2}$ en de binnenste afgeleide is $4x^3$. Dat geeft $2x^3/\sqrt{1+x^4}$.

Waarom leveren geneste functies meerdere factoren op?

Elke laag reageert op de verandering in de laag erbinnen. Bij $[\sin(2x^2+1)]^3$ verandert een wijziging in $x$ de kwadratische uitdrukking, die de sinus verandert, die op zijn beurt de derde macht verandert. De drie afgeleide factoren beschrijven deze drie gekoppelde veranderingen.