Partiële afgeleiden intuïtief begrijpen (helling in één richting)

Een gewone afgeleide is de helling van een kromme. Je hebt één invoer, één uitvoer, en op elk punt één getal dat zegt hoe snel de uitvoer verandert. Dat plaatje faalt zodra de functie twee invoeren heeft. Een grafiek in drie dimensies is een oppervlak, geen kromme, en een oppervlak heeft geen enkele helling. Vanaf hetzelfde punt kun je naar het oosten lopen en een zachte klim vinden, of naar het noorden en een daling.

De partiële afgeleide is de eerlijke vervanging. Ze beantwoordt een smallere vraag: als ik elke andere invoer stilhoud en alleen in deze richting loop, wat is dan de helling? De rest van het hoofdstuk, gemengde partiële, de gradiënt, de kettingregel in meerdere variabelen, is diezelfde vraag langs meer dan één pad.

Een oppervlak heeft geen enkele helling

Een functie van één variabele tekent een kromme in het vlak. Een functie van twee variabelen, f(x, y), tekent een oppervlak in de ruimte. Elk paar (x, y) is een punt op de vloer, en f(x, y) is de hoogte van het dak boven dat punt.

Neem de kom

$$f(x, y) = x^{2} + y^{2}$$

In de oorsprong is de hoogte 0. Bij (1, 0) is ze 1. Bij (0, 2) is ze 4. Bij (1, 2) is ze 5. Als je bij (1, 2) staat, verdient geen enkel getal de naam «de helling». Loop in de x-richting en het dak blijft stijgen. Loop in de y-richting en het stijgt sneller. Loop diagonaal en je krijgt een mengsel van beide.

Daarom voelen studenten die eendimensionale calculus beheersen de grond wegzakken. De afgeleide waarop ze vertrouwden was een volledige beschrijving van lokale verandering. Op een oppervlak is het alleen de beschrijving van één gekozen wandeling.

Weerkaarten en topografische kaarten gebruiken het idee al. Een hoogtelijn is een verzameling punten op dezelfde hoogte. Waar de lijnen dicht opeen liggen, is het oppervlak steil. Waar ze uiteenwijken, is het zacht. Een partiële afgeleide is de helling die je zou meten als je één rasterlijn op die kaart volgde en de andere negeerde.

Houd één invoer stil

De zet die het oppervlak leesbaar maakt is een snede.

Fixeer y op een constante, zeg y = 2, en kijk alleen hoe de hoogte van x afhangt. De functie krimpt tot

$$g(x) = f(x, 2) = x^{2} + 4$$

een gewone parabool die vier eenheden boven de x-as zit. Haar afgeleide is 2x. Dat getal is de partiële afgeleide van f naar x, geëvalueerd langs de lijn y = 2. Bij x = 1 is ze 2: als je bij (1, 2) staat en een minuscuul stapje in de x-richting zet, stijgt het dak ongeveer 2 hoogte-eenheden per staplengte.

Fixeer in plaats daarvan x, zeg x = 1, en de snede is

$$h(y) = 1 + y^{2}$$

met afgeleide 2y. Bij y = 2 is die helling 4. Zelfde punt, andere wandeling, andere helling. Geen tegenspraak. Je stelde twee verschillende vragen.

Rekenkundig is de regel die van de eendimensionale calculus. Om $\frac{\partial f}{\partial x}$ te vinden, behandel y als constante en differentieer in x. Om $\frac{\partial f}{\partial y}$ te vinden, behandel x als constante en differentieer in y. Voor de kom geldt $\frac{\partial f}{\partial x}$ = 2x en $\frac{\partial f}{\partial y}$ = 2y. De andere variabele verschijnt niet eens, omdat elke term in $x^{2} + y^{2}$ van maar één invoer afhangt. In een product als $3x^{2}$y staan beide: $\frac{\partial}{\partial x}$ geeft 6xy, omdat 3y een vaste coëfficiënt van $x^{2}$ is, en $\frac{\partial}{\partial y}$ geeft $3x^{2}$, omdat $3x^{2}$ een vaste coëfficiënt van y is.

De zin «houd de andere variabele constant» is geen examentruc. Het is de snede. Je staat op een rasterlijn en vraagt naar de helling van het dak langs die lijn.

De gekronkelde d is een waarschuwingsetiket

Het symbool ∂, de gekronkelde d, bestaat zodat deze snede niet verward wordt met twee andere afgeleiden.

De gewone d in $\frac{df}{dx}$ hoort bij een functie van één variabele. Als iemand $\frac{df}{dx}$ schrijft voor f(x, y), is niet gezegd wat er met y gebeurt. Misschien is y onafhankelijk en bevroren, dan is het de partiële. Misschien is y stiekem een functie van x, en dan kan x de uitvoer via beide kanalen tegelijk veranderen, en heb je de totale afgeleide nodig. De gekronkelde d kondigt de eerste lezing aan: deze invoer beweegt, de andere niet.

De notatie splitst zich daarna in twee gewoontes met dezelfde betekenis:

• Leibniz-vorm: $\frac{\partial f}{\partial x}$ en $\frac{\partial f}{\partial y}$
• indexvorm: $f_x$ en $f_y$

Beide zijn de helling van één snede. Hogere partiële stapelen de indices of de noemers. $f_xx$ is «snijd in x, snijd die helling dan opnieuw in x», de gewone tweede afgeleide langs die rasterlijn. $f_xy$ is «snijd in x, vraag dan hoe die x-helling verandert als je in y loopt».

De gekronkelde d is geen nieuw algoritme. Machtsregel, productregel, kettingregel gelden nog. De nieuwe informatie is welke variabelen bevroren zijn. Dat vergeten is het hele onderwerp lezen alsof het nieuw is.

Gemengde partiële meten de wringing

Als je $f_x$ hebt, kun je opnieuw differentiëren. Differentiëren naar x levert $f_xx$, de holheid van de oost-westsnede. Differentiëren naar y levert de gemengde partiële $f_xy$: hoe de oost-westhelling zelf verandert als je naar het noorden loopt.

Op de kom $x^{2} + y^{2}$ is $f_x$ = 2x, dus $f_xy$ = 0. De oost-westhelling hangt alleen van x af. Naar het noorden lopen verandert haar niet. Het oppervlak is een ronde kom, rotatiesymmetrisch, zonder wringing.

Op het zadel

$$f(x, y) = x^{2} - y^{2}$$

zijn de eerste partiële $f_x$ = 2x en $f_y$ = -2y. De gemengde zijn weer beide nul. Het interessante gemengde voorbeeld is een product,

$$f(x, y) = x^{2} y$$

Hier is $f_x$ = 2xy, dan $f_xy$ = 2x. Van de andere kant is $f_y$ = $x^{2}$, dan $f_yx$ = 2x. De twee gemengde komen overeen.

Die overeenkomst is het gewone geval, geen toeval. Voor de gladde functies van een eerste cursus meerdimensionale calculus zijn de gemengde partiële gelijk: de wringing die je voelt als je eerst oost en dan noord loopt, is die die je voelt als je eerst noord en dan oost loopt. De stelling heeft technische voorwaarden (de gemengde moeten continu zijn); het plaatje niet. Op een oppervlak zonder vouw speelt de volgorde van de twee kleine stappen geen rol.

Als een leerboek vraagt om «na te gaan dat $f_xy$ = $f_yx$», vraagt het je te controleren dat het oppervlak niet in de ene volgorde gewrongen is en in de andere niet. Voor elke functie in een inleidende cursus klopt het, en de berekening is oefening van de snederegel, geen nieuw idee.

De gradiënt verzamelt de hellingen

Twee eerste partiële op een punt zijn twee getallen. Als paar geschreven worden ze een vector in het invoervlak:

$$\nabla f = (f_x, f_y)$$

Die vector is de gradiënt. Elke component is de helling van één snede, dus het hele object is een reis: «zoveel naar het oosten, zoveel naar het noorden» in de vloercoördinaten, niet in de hoogte. De reis wijst in de richting van de steilste stijging. De lengte is hoe steil die klim is. De omgekeerde reis, -$\nabla f$, wijst naar beneden, daarom loopt gradiëntdaling tegen de gradiënt in.

Bij (1, 2) op de kom $x^{2} + y^{2}$ is de gradiënt (2, 4). Vanaf dat vloerpunt is de snelste weg het dak op de richting van de vector (2, 4), dezelfde richting als (1, 2) zelf. Het steilste pad op een ronde kom gaat radiaal naar buiten, wat het plaatje al suggereerde en de gradiënt bevestigt.

Een punt waar beide partiële verdwijnen is een kritiek punt. De gradiëntreis heeft lengte nul: in de eerste orde gaat geen richting omhoog of omlaag. Dat kan een minimum zijn (de bodem van de kom, in de oorsprong), een maximum (de top van een heuvel) of een zadel (een bergpas: een minimum langs één snede en een maximum langs een andere). Het zadel $x^{2} - y^{2}$ heeft een kritiek punt in de oorsprong. De x-snede is een dal, de y-snede een kam, en de gradiënt is nul omdat die twee hellingen van de eerste orde samenvallen in een plat ogenblik, niet in een platte omgeving.

Optimalisatie in meerdere variabelen is deze zoektocht. Vind waar de gradiënt de nulreis is, lees dan de tweede partiële, of de naburige sneden, om te zien of je een kom, een heuvel of een pas hebt. De tweede-afgeleidentoets met D = $f_xx$ $f_yy$ - ($f_xy$)² is een verpakte versie van dat lezen. D zelf is niet het idee. Het idee is dat de twee sneden, en de wringing ertussen, het punt classificeren.

De kettingregel in meerdere variabelen is dezelfde koppeling in beweging. Als een pad (x(t), y(t)) over de vloer loopt, verandert de hoogte langs het pad met de snelheid

$$\frac{df}{dt} = f_x x'(t) + f_y y'(t)$$

dat is het inwendig product van de gradiënt met de snelheid van het pad. Het oppervlak biedt een reis van hellingen. Het pad biedt een reis van beweging. Hun overeenstemming is de snelheid waarmee de hoogte verandert voor iemand die echt loopt. Als het pad evenwijdig aan de gradiënt loopt, verandert de hoogte zo snel mogelijk. Als het er loodrecht op staat, is de hoogte ogenblikkelijk constant, en dat is de meetkundige betekenis van een hoogtelijn.

Waar de fouten vandaan komen

Fouten bij partiële afgeleiden zijn bijna allemaal het niet bevriezen van de juiste variabele.

De eerste: alles differentiëren wat in zicht is. Gevraagd om $\frac{\partial}{\partial x}$ van $3x^{2}$y schrijft een student 6xy + $3x^{2}$, de som van beide partiële, of 6x, alsof y x is. De snederegel is strenger: y is tijdens deze afgeleide een getal. In het antwoord blijft het alleen als coëfficiënt.

De tweede: geloven dat een oppervlak één helling heeft. Software die op hoogte kleurt kan dat verbergen, omdat het oog één steilheid leest. Vraag de helling op een punt en je moet antwoorden «in welke richting?» Een partiële afgeleide is zo'n antwoord. De gradiënt is de verzameling van de as-gerichte antwoorden. Geen van beide is «de» helling van het dak.

De derde: ∂ met d verwarren. Als y echt van x afhangt, is y bevriezen het verkeerde model van de situatie. Gerelateerde snelheden en sommige differentiaalvergelijkingen hebben de totale afgeleide nodig, die elk afhankelijkheids kanaal laat bijdragen. Een partiële afgeleide is juist als de andere invoeren echt onafhankelijk zijn, of als je opzettelijk één kanaal bestudeert.

De vierde: een nulgradiënt voor een gegarandeerd minimum houden. De oorsprong van $x^{2} - y^{2}$ is kritiek en is geen min en geen max. Vlakheid van de eerste orde is geen vlakheid van de tweede. Je moet de sneden toch bekijken.

De vijfde: $\nabla f$ lezen als een waarde van f. De gradiënt is niet de hoogte. Het is een reis in het invoervlak, gebouwd uit hellingen. Die twee verwarren is dezelfde mix-up waar het vectorartikel voor waarschuwde: een richting behandelen alsof het een plek is.

Waar Math Zen past

Partiële afgeleiden staan op gewone afgeleiden zoals matrices op vectoren. Als de eendimensionale regels nog verbaal zijn, wordt elke snede een ritueel. Als ze vloeiend zijn, is een partiële afgeleide één extra beslissing: welke invoer beweegt.

De oefening met partiële afgeleiden in Math Zen volgt die volgorde. Vroege emmers boren de snede zelf: gegeven f(x, y), schrijf $f_x$ en $f_y$ door de andere variabele als constante te behandelen. Latere emmers stapelen afgeleiden ($f_xx$, $f_xy$, $f_yx$), bouwen de gradiënt, passen de kettingregel langs een pad toe en classificeren kritieke punten. De plaatjes in dit artikel zijn precies die lijst.

Een nuttige lus: kies een functie van twee variabelen, teken de twee sneden op een punt, bereken beide eerste partiële, vorm de gradiënt en zeg hardop welke kant omhoog is. Kom daarna na een pauze terug, met hetzelfde spaced-repetition-schema als de rest van de calculusreeks. Het doel is niet te onthouden dat «y constant is». Het is een oppervlak te zien en te weten welke wandeling je maakt.

De kern

Een partiële afgeleide is de helling van een oppervlak in één richting, terwijl elke andere invoer stilstaat. De gekronkelde d markeert die bevriezing. Gemengde partiële vragen hoe de helling van één snede verandert als je langs de andere as loopt, en op een glad oppervlak komen de twee volgordes overeen. De gradiënt verzamelt de eerste partiële tot een reis die omhoog wijst. Kritieke punten zijn waar die reis verdwijnt, en ze kunnen kommen, heuvels of zadels zijn.

Zo bijeengehouden is meerdimensionaal differentiëren geen nieuwe soort calculus. Het is gewone calculus, telkens langs één rasterlijn gericht, daarna weer in elkaar gezet. Het oppervlak heeft veel hellingen. Een partiële afgeleide is wat je krijgt wanneer je eindelijk zegt welke je bedoelt.