Partiële integratie: voorbeelden om u te kiezen en antwoorden te controleren

Neem $\int x e^{2x}\,dx$. Met de machtsregel kun je niet het hele product integreren, en als je alleen $e^{2x}$ integreert, blijft $x$ staan. Partiële integratie geeft het product een bruikbare richting: differentieer het deel dat eenvoudiger wordt, integreer het deel dat hanteerbaar blijft en werk daarna de kleinere overblijvende integraal uit.

Deze les werkt voorbeelden van partiële integratie uit, van één product tot herhaald gebruik en bepaalde integralen. Als je vóór de techniek de betekenis van een integraal wilt begrijpen, begin dan bij onze gids over integralen. De gids over afgeleiden helpt ook, want je antwoord afleiden is hier de beste controle.

Waar de formule vandaan komt

De productregel zegt $\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$. Integreer beide kanten en breng één term naar de andere kant. Zo krijg je de formule voor partiële integratie uit OpenStax Calculus, deel 2:

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

Hier is $u$ de uitdrukking die je kiest om te differentiëren, en $dv$ wat je kiest om te integreren. Nadat je $du$ en $v$ hebt gevonden, hoort de nieuwe integraal $\int v\,du$ eenvoudiger te zijn dan de oorspronkelijke. Is hij lastiger, heroverweeg dan de verdeling. De formule volgt algebraïsch uit de productregel, maar garandeert niet dat elke verdeling helpt.

Vergeet bij een onbepaalde integraal de constante $C$ aan het eind niet. De gekozen primitieve voor $v$ kan een constante bevatten, maar het is eenvoudiger één geschikte $v$ te nemen en $C$ aan het uiteindelijke antwoord toe te voegen.

Kies u en dv met een doel

De nuttige vraag is: 'Welke factor wordt kleiner wanneer je hem differentieert?' Een veelterm zoals $x^2$ wordt $2x$, daarna $2$ en dan nul. Een logaritme wordt $1/x$, wat vaak goed met de rest combineert. Exponentiële functies en sinus of cosinus blijven ondertussen gemakkelijk herhaaldelijk te integreren.

Het bekende ezelsbruggetje LIATE rangschikt logaritmische, inverse goniometrische, algebraïsche, goniometrische en exponentiële factoren als mogelijke keuzes voor $u$. OpenStax geeft het als vuistregel, niet als stelling. Controleer de resulterende $\int v\,du$ in plaats van de eerste letter blind te volgen. Een andere verdeling kan korter zijn, en sommige producten kun je beter met substitutie oplossen.

Bijvoorbeeld: $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ bevat de binnenste functie $x^2$ en haar afgeleide $2x$. Neem $t=x^2$. Dan is $dt=2x\,dx$ en de integraal wordt $\sin(x^2)+C$. Partiële integratie zou een eenvoudige samenstelling onnodig ingewikkeld maken. Bij $x e^{2x}$ ontbreekt zo'n directe combinatie van binnenste functie en afgeleide, terwijl differentiatie van $x$ die factor verwijdert.

Maak voor het rekenen een tabelletje met twee kolommen: $u$ en $du$ aan de ene kant, $dv$ en $v$ aan de andere. Vraag dan of het product van $v$ en $du$ een eenvoudiger integraal oplevert. Zo voorkom je dat je de makkelijk te integreren factor als $u$ kiest, alleen omdat die bekend aanvoelt.

Voorbeeld 1: een lineaire factor maal een exponentiële functie

Bereken $\int x e^{2x}\,dx$. Kies $u=x$, zodat $du=dx$. Kies $dv=e^{2x}\,dx$; dan is $v=\frac12e^{2x}$. De factor $\frac12$ is belangrijk: differentiëren van $e^{2x}$ levert een extra twee op.

$$\begin{aligned} \int x e^{2x}\,dx &=x\left(\frac12e^{2x}\right)-\int\frac12e^{2x}\,dx\\ &=\frac{x e^{2x}}2-\frac{e^{2x}}4+C\\ &=\frac{e^{2x}}4(2x-1)+C. \end{aligned}$$

Differentieer het ontbonden antwoord. De productregel geeft $\frac14[2e^{2x}(2x-1)+2e^{2x}]$, wat vereenvoudigt tot $x e^{2x}$. Daarmee krijgen we precies de integrand terug. Als de controle $2x e^{2x}$ had opgeleverd, was waarschijnlijk de factor $\frac12$ vergeten bij het integreren van $e^{2x}$.

De keuze heeft ook een zichtbaar eindpunt: door $x$ te differentiëren blijft een constante over, zodat de nieuwe integraal alleen de exponentiële functie bevat. Dat is hier de betekenis van 'eenvoudiger'.

Voorbeeld 2: integreer een logaritme

Bereken $\int\ln x\,dx$ voor $x>0$. Er staat geen product, maar je kunt een factor één toevoegen: $\ln x=1\cdot\ln x$. Kies $u=\ln x$ en $dv=dx$. Dan is $du=\frac1x\,dx$ en $v=x$.

$$\begin{aligned} \int\ln x\,dx &=x\ln x-\int x\frac1x\,dx\\ &=x\ln x-x+C. \end{aligned}$$

De controle is kort: $\frac{d}{dx}(x\ln x-x)=\ln x+1-1=\ln x$. Het domein $x>0$ laat ons $\ln x$ en $1/x$ schrijven zonder nul te passeren. De algemenere primitieve $x\ln|x|-x+C$ werkt op intervallen die nul niet bevatten, maar de opgave blijft aan de positieve kant.

Als je $u=1$ en $dv=\ln x\,dx$ zou kiezen, moest je de oorspronkelijke integraal al kennen om $v$ te bepalen. Die cirkelredenering laat zien waarom de logaritme hier $u$ hoort te zijn.

Voorbeeld 3: herhaal tot de veelterm verdwijnt

Bereken $I=\int x^2\sin x\,dx$. Differentiëren van $x^2$ verlaagt de graad, terwijl sinus eenvoudig te integreren blijft. Kies eerst $u=x^2$ en $dv=\sin x\,dx$, zodat $du=2x\,dx$ en $v=-\cos x$:

$$I=-x^2\cos x+2\int x\cos x\,dx.$$

De overblijvende integraal bevat nog steeds een product. Noem $J=\int x\cos x\,dx$ en gebruik opnieuw partiële integratie: $u=x$, $du=dx$, $dv=\cos x\,dx$ en $v=\sin x$. Dan

$$J=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$$

Vul dit resultaat in bij $I$:

$$\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$$

Differentieer nu term voor term. De afgeleide van $-x^2\cos x$ is $-2x\cos x+x^2\sin x$. Die van $2x\sin x$ is $2\sin x+2x\cos x$; die van $2\cos x$ is $-2\sin x$. Alle extra termen vallen tegen elkaar weg, zodat $x^2\sin x$ overblijft. Die wegval controleert zowel het teken bij het integreren van sinus als de factor twee bij het differentiëren van $x^2$.

Herhaalde partiële integratie is nuttig wanneer elke toepassing een factor kleiner maakt. Lijkt de nieuwe integraal op de oorspronkelijke, dan kun je hem misschien nog oplossen door de oorspronkelijke integraal aan één kant te verzamelen. Blijf de formule echter niet toepassen zonder duidelijk eindpunt.

Voorbeeld 4: behoud de grenzen bij een bepaalde integraal

Bereken $\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx$. De factor $x$ is gemakkelijk te integreren, maar differentiatie van $\ln(1+x)$ geeft $1/(1+x)$. Kies $u=\ln(1+x)$ en $dv=x\,dx$. Dan is $du=\frac{1}{1+x}\,dx$ en $v=x^2/2$. De bepaalde vorm van partiële integratie is $\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du$.

$$\begin{aligned} \int_0^1 x\ln(1+x)\,dx &=\left[\frac{x^2}{2}\ln(1+x)\right]_0^1 -\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}\,dx\\ &=\frac12\ln2-\frac12\int_0^1\left(x-1+\frac1{x+1}\right)dx. \end{aligned}$$

Veeltermdeling geeft $x^2/(x+1)=x-1+1/(x+1)$. De integraal daarvan van nul tot één is $1/2-1+\ln2=\ln2-1/2$. Dus

$$\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx =\frac12\ln2-\frac12\left(\ln2-\frac12\right)=\frac14.$$

Dit positieve resultaat is aannemelijk omdat $x\ln(1+x)$ niet-negatief is op $[0,1]$. Als onafhankelijke algebraïsche controle kun je de primitieve $\frac{x^2-1}{2}\ln(1+x)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}$ gebruiken; invullen van één en nul geeft eveneens $1/4$. Neem bij bepaalde integralen dezelfde eindpunten mee naar de nieuwe integraal. Bij het uiteindelijke getal hoort geen $+C$.

Drie oefenopgaven met oplossingen

1. Een veelterm en een exponentiële functie. Bereken $\int 3x e^x\,dx$.

Neem $u=3x$ en $dv=e^x\,dx$. Dan is $du=3\,dx$ en $v=e^x$, dus

$$\int 3x e^x\,dx=3x e^x-3\int e^x\,dx=3e^x(x-1)+C.$$

Differentieer $3e^x(x-1)$: dat geeft $3e^x(x-1)+3e^x=3xe^x$. De uitkomst komt overeen met de oorspronkelijke integrand.

2. Een logaritme met een coëfficiënt. Bereken $\int x\ln x\,dx$ voor $x>0$.

Kies $u=\ln x$ en $dv=x\,dx$. Dan is $du=dx/x$ en $v=x^2/2$:

$$\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C.$$

Differentiëren geeft $x\ln x+x/2-x/2=x\ln x$. Als je beide termen $x/2$ zichtbaar laat, is de controle gemakkelijker te volgen.

3. Een bepaalde integraal. Bereken $\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx$.

Neem $u=x$ en $dv=\cos x\,dx$, zodat $du=dx$ en $v=\sin x$. Pas de grenzen toe na de stap met partiële integratie:

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx &=[x\sin x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx\\ &=\frac\pi2-[-\cos x]_0^{\pi/2}\\ &=\frac\pi2-1. \end{aligned}$$

Zowel $x$ als $\cos x$ is niet-negatief op dit interval, en $\pi/2-1$ is positief. Differentiëren van $x\sin x+\cos x$ geeft $x\cos x$; daarmee is de gebruikte primitieve gecontroleerd voordat je de grenzen invult.

Oefen de keuze van primitieve functies met het onderwerp integralen van Math Zen. Voor een latere toepassing van herhaalde integratiemethoden kun je de gids over Laplacetransformaties lezen.