Hoe kies ik u bij substitutie?

Zoek een binnenste functie waarvan de afgeleide ook in de integrand staat, in elk geval op een constante factor na. In 2x(x² + 1)^5 is x² + 1 de binnenste functie en staat de afgeleide 2x erbuiten, dus u = x² + 1 ligt voor de hand.

En als de afgeleide alleen op een constante na klopt?

Een constante factor is geen probleem. Als u = x², dan is du = 2x dx, dus x dx = du/2 en de 1/2 gaat voor de integraal. Alleen constanten kun je zo verplaatsen; een ontbrekende factor x los je niet op door te delen.

Moet ik bij een bepaalde integraal de grenzen aanpassen?

Reken de grenzen om naar u-waarden en ga nooit meer terug naar x, of zoek eerst de primitieve in x en gebruik dan de oorspronkelijke grenzen. Beide mengen, nieuwe integrand met oude grenzen, is de meest gemaakte fout.

Hoe controleer ik een antwoord dat ik met substitutie vond?

Differentieer je resultaat met de kettingregel. Je moet precies de oorspronkelijke integrand terugkrijgen. Bij een bepaalde integraal vangt een snelle numerieke schatting ook een fout teken of een vergeten factor op.

Integreren met substitutie: voorbeelden, u kiezen en controleren

Bekijk $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ . Geen enkele basisregel integreert zo'n product rechtstreeks, en toch is het antwoord kort: $\sin(x^2)+C$ . Differentieer $\sin(x^2)$ met de kettingregel en je krijgt $\cos(x^2)\cdot2x$ , precies de integrand. Substitutie is de methode die zulke antwoorden doelbewust vindt. Ze past de kettingregel achterstevoren toe: herken een binnenste functie, noem die $u$ en laat haar afgeleide de overgebleven factor opnemen.

Deze gids werkt zes voorbeelden van substitutie uit, van het eenvoudige geval via constante factoren, logaritmen en bepaalde integralen met nieuwe grenzen tot een substitutie waarbij je $x$ moet terugrekenen. Voelt de kettingregel zelf nog wankel, warm dan eerst op met onze voorbeelden van de kettingregel; elke controle hieronder steunt erop.

De regel in één regel

OpenStax Calculus, deel 1, §5.5 geeft substitutie voor onbepaalde integralen zo: als $u=g(x)$ en $F$ een primitieve is van $f$ , dan geldt

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C.

In de praktijk schrijf je $u=g(x)$ en $du=g'(x)\,dx$ , herschrijf je de hele integraal in $u$ , integreer je en substitueer je terug. De toets voor een goede keuze is eenvoudig: na het herschrijven mag er geen $x$ meer over zijn. Blijft er een staan, druk die dan uit in $u$ of kies een andere $u$ .

Zo kies je u

Zoek een functie die binnen een andere functie zit: in een macht, onder een wortel, in een exponent of binnen een goniometrische of logaritmische functie. Vraag je dan af of haar afgeleide, eventueel maal een constante, de rest vermenigvuldigt.

Integrand	Binnenste functie	Haar afgeleide	Aanwezig?
$2x(x^2+1)^5$	$x^2+1$	$2x$	Ja
$xe^{x^2}$	$x^2$	$2x$	Op de factor 2 na
$\frac{\ln x}{x}$	$\ln x$	$\frac{1}{x}$	Ja
$e^{x^2}$	$x^2$	$2x$	Nee, substitutie lukt niet

De laatste rij doet ertoe. $\int e^{x^2}\,dx$ lijkt op de tweede rij, maar zonder de factor $x$ heeft $du$ niets om op te nemen, en die integraal heeft zelfs helemaal geen elementaire primitieve. Substitutie is geen truc die altijd werkt; ze werkt als de afgeleide er staat.

Voorbeeld 1: de afgeleide staat er al

Bereken $\int 2x(x^2+1)^5\,dx$ . Neem $u=x^2+1$ , dan is $du=2x\,dx$ . De factor $2x\,dx$ is precies $du$ :

\int 2x(x^2+1)^5\,dx=\int u^5\,du=\frac{u^6}{6}+C=\frac{(x^2+1)^6}{6}+C.

Controle: de afgeleide van $\frac{(x^2+1)^6}{6}$ is $(x^2+1)^5\cdot2x$ . Je kunt ook $(x^2+1)^5$ uitwerken en term voor term integreren, maar dat duurt veel langer en lokt rekenfouten uit.

Voorbeeld 2: er ontbreekt een constante factor

Bereken $\int xe^{x^2}\,dx$ . Met $u=x^2$ krijgen we $du=2x\,dx$ , maar in de integrand staat alleen $x\,dx$ . Deel door twee: $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$ .

\int xe^{x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{x^2}+C.

$\frac{1}{2}$ buiten de integraal brengen mag, omdat het een constante is. Met een ontbrekende variabele factor mag dat niet: $\int e^{x^2}\,dx$ red je niet door $dx=\frac{du}{2x}$ te schrijven, want dan blijft $x$ in de $u$ -integraal staan.

Voorbeeld 3: een logaritme als binnenste functie

Bereken $\int\frac{\ln x}{x}\,dx$ voor $x>0$ . Neem $u=\ln x$ , dan is $du=\frac{1}{x}\,dx$ :

\int\frac{\ln x}{x}\,dx=\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C=\frac{(\ln x)^2}{2}+C.

Een verwant standaardresultaat volgt uit $\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$ . Neem $u=\cos x$ , dan is $du=-\sin x\,dx$ en wordt de integraal $-\int\frac{du}{u}=-\ln\lvert\cos x\rvert+C$ . Let op het minteken: het komt uit de afgeleide van de cosinus, en het vergeten is hier de gebruikelijke fout.

Voorbeeld 4: een bepaalde integraal met nieuwe grenzen

Bereken $\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx$ . Neem $u=1+x^2$ , dan is $du=2x\,dx$ en $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$ . Reken nu de grenzen om: als $x=0$ , dan $u=1$ ; als $x=1$ , dan $u=2$ .

\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx=\frac{1}{2}\int_1^2 u^3\,du=\frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{16-1}{4}=\frac{15}{8}.

Zodra de grenzen in $u$ staan, hoef je niet terug te substitueren. OpenStax geeft precies deze vorm van de regel voor bepaalde integralen: de grenzen worden $g(a)$ en $g(b)$ . De klassieke fout is de nieuwe integrand met de oude grenzen 0 en 1 gebruiken; dat gaf hier $\frac{1}{8}$ , een antwoord dat een factor 15 te klein is.

Controle op gezond verstand: de integrand stijgt van 0 bij $x=0$ tot 8 bij $x=1$ , dus de oppervlakte moet tussen 0 en 8 liggen, en eerder aan de lage kant, omdat de kromme pas bij de rechterrand steil wordt. $\frac{15}{8}=1.875$ past.

Voorbeeld 5: de overgebleven x uitdrukken

Bereken $\int x\sqrt{x+1}\,dx$ . Neem $u=x+1$ , dus $du=dx$ . Er blijft één $x$ buiten de wortel staan. Los de substitutie daarnaar op: $x=u-1$ .

\int x\sqrt{x+1}\,dx=\int(u-1)u^{1/2}\,du=\int\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du=\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C.

Dit terugrekenen is toegestaan omdat $u=x+1$ makkelijk om te keren is. Als een overgebleven $x$ zich niet netjes in $u$ laat uitdrukken, is de substitutie waarschijnlijk de verkeerde.

Voorbeeld 6: als substitutie het verkeerde gereedschap is

Probeer $\int xe^{x}\,dx$ . De voor de hand liggende kandidaat $u=x$ verandert niets, en $u=e^x$ laat $x=\ln u$ binnen staan, waardoor het probleem $\int\ln u\,du$ wordt, waarvoor je toch een andere methode nodig hebt. Dit product heeft geen binnenste functie met haar afgeleide ernaast. Het is een geval voor partiële integratie, waarbij een factor eenvoudiger wordt door te differentiëren.

Een handige gewoonte: besteed hoogstens een minuut aan het testen van een of twee keuzes voor $u$ . Als geen daarvan de $x$ laat verdwijnen, wissel dan van gereedschap in plaats van te forceren.

Fouten om te vermijden

du vergeten. Wie $u=x^2$ schrijft en daarna alleen de binnenste functie vervangt, laat $dx$ staan in een integraal over $u$ . Elke $dx$ moet een veelvoud van $du$ worden.
Delen door een variabele. Alleen constante factoren mogen buiten de integraal.
Oude grenzen bij een nieuwe integraal. Reken beide grenzen om, of ga terug naar $x$ voordat je invult.
Het antwoord in u laten staan. Substitueer bij een onbepaalde integraal terug zodat het antwoord een functie van $x$ is, en houd de $+C$ .
De controle overslaan. Het antwoord differentiëren kost seconden en vangt bijna elke fout met tekens en constanten op.

Oefenopgaven met antwoorden

$\int 3x^2(x^3-4)^4\,dx$ . Neem $u=x^3-4$ . Antwoord: $\frac{(x^3-4)^5}{5}+C$ .
$\int\sin^2x\cos x\,dx$ . Neem $u=\sin x$ . Antwoord: $\frac{\sin^3x}{3}+C$ .
$\int e^{3x}\,dx$ . Neem $u=3x$ , dus $dx=\frac{1}{3}\,du$ . Antwoord: $\frac{e^{3x}}{3}+C$ .
$\int_1^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx$ . Neem $u=\ln x$ , met grenzen 0 en 1. Antwoord: $\frac{1}{2}$ .

Substitutie is de eerste techniek die je bij bijna elke integraal probeert; daarom noemt onze gids over integralen haar het werkpaard van het hoofdstuk. Benoem de binnenste functie, controleer of haar afgeleide er staat, reken alles om, de grenzen inbegrepen, en differentieer het resultaat voordat je verdergaat.