Impliciet differentiëren: uitgewerkte voorbeelden en raaklijnen

De vergelijking $x^2+y^2=25$ beschrijft een cirkel. Zij geeft $y$ niet als één formule in $x$: op de bovenste en onderste helft horen bij de meeste waarden van $x$ verschillende waarden van $y$. Toch kun je in een punt op beide helften de helling bepalen. Bij impliciet differentiëren differentieer je de relatie zelf en behandel je $y$ rondom het gekozen punt als een functie van $x$. We rekenen de stappen uit, controleren elk punt in de oorspronkelijke vergelijking en bekijken precies waar de gewone hellingsformule ophoudt te werken.

Wil je eerst de betekenis van een helling opfrissen, lees dan onze uitleg over afgeleiden. De voorbeelden van de kettingregel laten zien waarom er bij het differentiëren van een uitdrukking in $y$ een extra factor verschijnt. Hier passen we die regels toe op vergelijkingen met beide variabelen.

Wat verandert als y niet vrijgemaakt is?

Bij een expliciete functie als $y=x^2+1$ geeft differentiëren $dy/dx=2x$. Bij een relatie als $x^2+y^2=25$ veranderen beide coördinaten wanneer een punt over de kromme beweegt. Waar de kromme lokaal als $y(x)$ geschreven kan worden, betekent $y^2$ dus $(y(x))^2$. Volgens de kettingregel geldt

$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}.$$

De factor $dy/dx$ wordt gemakkelijk vergeten. Hij is geen willekeurig teken: het kwadraat verandert doordat de invoer $y$ verandert, en $y$ verandert met $x$. Op dezelfde manier geldt $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$ en $d(\sin y)/dx=\cos y(dy/dx)$. Voor een gemengde term $xy$ heb je ook de productregel nodig: $d(xy)/dx=y+x(dy/dx)$. Paul Garretts uitleg bij Math Insight combineert deze twee regels in een voorbeeld.

De werkwijze blijft telkens hetzelfde:

1. Controleer of het gevraagde punt aan de oorspronkelijke vergelijking voldoet. Een helling van deze kromme in een punt buiten de kromme bestaat niet.
2. Differentieer elke term naar $x$. Voeg $dy/dx$ toe wanneer de gedifferentieerde term van $y$ afhangt.
3. Verzamel de termen met $dy/dx$, haal die factor buiten haakjes en deel alleen als de overblijvende factor niet nul is.
4. Vul het punt in en controleer de helling met de lokale vorm van de kromme, een expliciete tak of de vergelijking van de raaklijn.

Vul de coördinaten niet in voordat je differentieert. Dan maak je van veranderlijke coördinaten vaste getallen en wis je precies de verandering die je zoekt. Bewaar ook de vergelijking vóór het delen: die kan een verticale raaklijn laten zien wanneer de breukformule een nul in de noemer heeft.

Voorbeeld 1: cirkel met een gewone raaklijn

Zoek de helling van $x^2+y^2=25$ in $(3,4)$. Eerst controleren we het punt: $3^2+4^2=9+16=25$. Het ligt op de cirkel. Differentieer beide kanten en beschouw $y$ als $y(x)$:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

Breng $2x$ naar de andere kant en deel door $2y$, mits $y\ne0$:

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y},\qquad y\ne0.$$

In $(3,4)$ is de helling $-3/4$. De raaklijn door dat punt is $y-4=-(3/4)(x-3)$. Ga je op de bovenste cirkelhelft iets naar rechts, dan daalt de hoogte; het negatieve teken past dus. Je kunt het antwoord onafhankelijk van de impliciete stappen controleren: de bovenste tak is $y=\sqrt{25-x^2}$ voor $-5<x<5$, met afgeleide $-x/\sqrt{25-x^2}$. Bij $x=3$ wordt dit ook $-3/4$. De onderste tak heeft bij dezelfde $x$ een andere $y$ en dus een andere helling.

Die controle van de tak is belangrijk, want de cirkelrelatie vormt geen enkele globale functie $y(x)$. Impliciet differentiëren levert de helling van de lokale tak door het opgegeven punt. Je kunt de $y$-coördinaat niet weglaten wanneer meerdere punten dezelfde $x$ delen.

Eén kromme, twee soorten raaklijnen

Neem nu dezelfde cirkel maar het punt $(5,0)$. Het ligt op de kromme, want $5^2+0^2=25$. Invullen in $-x/y$ zou delen door nul betekenen. Het is onjuist om een numerieke helling te melden of te zeggen dat er geen raaklijn is. Ga terug naar de vergelijking vóór het delen:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

In $(5,0)$ zou een eindige $dy/dx$ moeten voldoen aan $10+0(dy/dx)=0$. Dat kan voor geen enkele eindige waarde. Meetkundig bereikt de cirkel zijn meest rechtse punt en buigt terug. De raaklijn is daar de verticale lijn $x=5$, terwijl $dy/dx$ ongedefinieerd is. De cirkel blijft een gladde kromme; je kunt hem in dat punt alleen niet lokaal als differentieerbare functie van $x$ beschrijven.

Je kunt de rollen ook omdraaien en $x$ lokaal als functie van $y$ behandelen. Dan krijg je $2x(dx/dy)+2y=0$, dus $dx/dy=-y/x$ wanneer $x\ne0$. In $(5,0)$ is $dx/dy=0$. Als $y$ een beetje verandert, verandert $x$ pas in hogere orde: precies het beeld van een verticale raaklijn. In $(0,5)$ zijn de rollen omgekeerd: $dy/dx=0$, dus de raaklijn is horizontaal. Deze waarnemingen beschrijven de meetkunde; ze geven geen toestemming om door nul te delen.

Voorbeeld 2: een product en drie termen

Bepaal $dy/dx$ voor $x^2+xy+y^2=7$ in $(1,2)$. De puntcontrole geeft $1+2+4=7$. Differentieer term voor term. $x^2$ levert $2x$; het product $xy$ levert $y+x(dy/dx)$; en $y^2$ levert $2y(dy/dx)$:

$$2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

Verzamel de afgeleide-termen en haal de gemeenschappelijke factor buiten haakjes:

$$(x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+y),\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}\quad\text{als }x+2y\ne0.$$

In $(1,2)$ is de teller $4$ en de noemer $5$. De helling is dus $-4/5$ en de raaklijn is $y-2=-(4/5)(x-1)$. Vul het resultaat rechtstreeks in de gedifferentieerde, nog niet gedeelde vergelijking in: $2(1)+2+1(-4/5)+2(2)(-4/5)=4-4=0$. Daarmee controleer je zowel de bijdrage van de productregel als de uiteindelijke breuk. Als je $xy$ alleen als $x(dy/dx)$ had gedifferentieerd, zou de losse term $y$ ontbreken en kreeg je een verkeerde helling.

De voorwaarde $x+2y\ne0$ hoort bij het antwoord, ook al is zij in het gevraagde punt vervuld. Waar de noemer elders op de kromme nul wordt, moet je de ongedeelde vergelijking afzonderlijk bekijken, zoals bij de cirkel. Eén symbolische breuk beantwoordt niet elke vraag over raaklijnen.

Voorbeeld 3: een kubische relatie

Beschouw $y^3+xy=2$ in $(1,1)$. Controle: $1^3+1\cdot1=2$. Differentieer met de kettingregel op de derde macht en de productregel op $xy$:

$$3y^2\frac{dy}{dx}+y+x\frac{dy}{dx}=0.$$

Na buiten haakjes halen volgt

$$(3y^2+x)\frac{dy}{dx}=-y,\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{3y^2+x}\quad\text{mits }3y^2+x\ne0.$$

In $(1,1)$ geeft dit $-1/4$, dus de raaklijn is $y-1=-(1/4)(x-1)$. Zet de uitkomst terug in de gedifferentieerde vergelijking: $3(-1/4)+1+(-1/4)=0$. Deze korte restcontrole ontdekt een ontbrekende factor drie of een tekenfout. Zij bewijst niet op zichzelf de hele afleiding, maar is een nuttige laatste filter.

Foutanalyse: de vergeten kettingregelfactor

Stel dat iemand $x^2+y^2=25$ differentieert als $2x+2y=0$. Dat is geen vergelijking voor de raaklijnhelling. Daarbij wordt $y$ behandeld alsof $dy/dx=1$, hoewel juist de cirkelrelatie bepaalt hoe $y$ op $x$ reageert. In $(3,4)$ staat dan $6+8=0$, een directe tegenspraak. De juiste afgeleide $2x+2y(dy/dx)=0$ geeft in plaats daarvan $6+8(-3/4)=0$.

Een tweede valkuil is eerst delen en pas daarna naar de voorwaarde kijken. De formule $-x/y$ geldt waar $y\ne0$; ze laat de eindpunten $(\pm5,0)$ niet verdwijnen. Bewaar de oorspronkelijke relatie, de puntcontrole en de ongedeelde afgeleide samen. Daarmee zie je wat gebeurt op plaatsen waar de breuk ongedefinieerd is.

Veranderen de grootheden met de tijd in plaats van met $x$, dan wordt hetzelfde idee gebruikt bij gerelateerde veranderingssnelheden: gebruik de juiste tijdsafgeleiden en controleer de eenheden. De benodigde afgeleideregels kun je oefenen in het onderwerp afgeleiden van Math Zen. Als zelftest kun je voorbeeld 2 opnieuw doen met een ander geldig punt. Controleer wel eerst of dat punt echt op de kromme ligt.

Veelgestelde vragen

Waarom heeft elke afgeleide van $y$ een factor $dy/dx$ nodig? Omdat $y$ langs de lokale tak met $x$ verandert. De kettingregel vermenigvuldigt de afgeleide naar $y$ met $dy/dx$. Bijvoorbeeld: $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$.

Kan ik eerst $y$ vrijmaken? Ja, als dat handig is en je de juiste tak en het juiste domein kiest. De bovenste tak van de cirkel geeft in $(3,4)$ dezelfde helling. Vrijmaken kan lastig zijn of verschillende takken opleveren; daarom is differentiëren van de relatie nuttig.

Betekent een ongedefinieerde $dy/dx$ altijd een verticale raaklijn? Nee. Een ongedefinieerde breuk vraagt om onderzoek van de oorspronkelijke kromme en de ongedeelde afgeleide. In $(5,0)$ op deze cirkel bevestigen de meetkunde en $dx/dy=0$ de verticale raaklijn. Singuliere punten van andere krommen kunnen anders werken.

Wat is de snelste controle na het oplossen? Controleer of het punt op de oorspronkelijke kromme ligt, vul de helling in de ongedeelde afgeleide in en controleer elke noemer waardoor je de vergelijking hebt gedeeld. Deze drie controles sporen verschillende fouten op.