Verwante veranderingssnelheden: ladder, kegel en schaduw

Een ladder van tien voet glijdt langs een muur omlaag terwijl de voet van de muur weg beweegt. Je kent de lengte en de snelheid van de voet en zoekt de snelheid van de bovenkant. De tekening en Pythagoras geven de vergelijking, maar de snelheid vind je pas door die vergelijking naar de tijd te differentiëren. Beide afstanden veranderen, ook al blijft de ladder even lang.

Bij drie meetkundige situaties gebruiken we steeds vijf aanduidingen: variabelen, vaste relatie, bekende snelheid en moment, gevraagde snelheid en controle van teken en eenheden. Zo vul je niet te vroeg in en haal je twee snelheden in dezelfde tekening niet door elkaar. De methode komt overeen met OpenStax Calculus, deel 1, §4.1; de getallen hieronder zijn eigen voorbeelden. Lees onze uitleg van afgeleiden als die basis nog ontbreekt.

Beschrijf wat verandert vóór je rekent

Kies tijd $t$ en schrijf elke veranderlijke lengte als functie daarvan, bijvoorbeeld $x(t)$ en $y(t)$. Leg positieve richtingen vast. Als $x$ de afstand tot de muur is en de voet met $2\text{ ft/s}$ weg beweegt, geldt $dx/dt=+2\text{ ft/s}$. Voor een dalende hoogte geldt $dy/dt<0$. Vraagt de tekst hoe snel de top daalt, dan is de positieve snelheid de grootte $|dy/dt|$.

Schrijf een relatie die tijdens de beweging geldig blijft. Differentieer naar $t$ terwijl de lengtes nog variabelen zijn. Hierbij gebruik je de kettingregel: $d[x(t)^2]/dt=2x\,dx/dt$. Vul daarna pas de afmetingen van het gevraagde moment en de bekende snelheden in. Controleer teken en dimensies: een lengteafgeleide heeft lengte per tijd; een volumeafgeleide volume per tijd.

Aanduiding	Vraag
Variabelen	Wat verandert en welke richting is positief?
Relatie	Welke vergelijking geldt op elk relevant moment?
Gegeven moment	Welke lengtes en snelheden met teken zijn nu bekend?
Gevraagd	Welke afgeleide moet je vrijmaken?
Controle	Kloppen richting en eenheden?

Een opgavenblad van Cornell past dit algemene idee op verschillende figuren toe. De tabel maakt de interpretatie zichtbaar naast de afgeleide vergelijking.

Voorbeeld 1: glijdende ladder

Variabelen. $x(t)$ is de afstand van de voet tot de muur en $y(t)$ de hoogte van de top, beide in voet. Toenemende afstand en hoogte zijn positief. De stijve ladder is $10\text{ ft}$ lang. Op het gevraagde moment is $x=6\text{ ft}$ en $dx/dt=+2\text{ ft/s}$. Gezocht: $dy/dt$.

Relatie. De rechthoekige driehoek geeft $x^2+y^2=100$. Bij $x=6$ is de positieve hoogte $y=\sqrt{100-36}=8\text{ ft}$. Zet $x=6$ niet vóór het differentiëren in de relatie: $x$ veranderde vóór en na dit moment.

Differentiëren en invullen. Rechts staat een constante, dus

$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0, \qquad \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.$$

Invullen geeft $dy/dt=-(6/8)(2)=-1.5\text{ ft/s}$. Antwoord en controle. De verticale snelheid met teken is negatief doordat de top daalt. De neerwaartse snelheid als grootte is $1.5\text{ ft/s}$. De verhouding $x/y$ is dimensieloos, zodat de eenheid van $dx/dt$ behouden blijft. Een positieve $dy/dt$ bij deze assen zou op een tekenfout wijzen.

Wanneer de ladder de vloer nadert, wordt $y$ klein en neemt de grootte van de geïdealiseerde formule toe. Dat is een eigenschap van het model van een stijve ladder met voorgeschreven horizontale snelheid, niet een voorspelling over een echte ladder tot het einde. Het antwoord geldt alleen op het genoemde moment.

Voorbeeld 2: water vult een kegel

Een kegelvormige tank wijst met de punt omlaag. De totale hoogte is $12\text{ cm}$ en de bovenste straal $4\text{ cm}$. Water stroomt binnen met $dV/dt=+6\pi\text{ cm}^3/\text{s}$. Hoe snel stijgt de waterspiegel wanneer de diepte $h=6\text{ cm}$ is?

Variabelen. $h(t)$ is de diepte, $r(t)$ de straal van het wateroppervlak. Beide veranderen, net als $V(t)$. Relaties. Gelijkvormige driehoeken geven $r/h=4/12=1/3$, dus $r=h/3$. Het watervolume is $V=(\pi/3)r^2h$. Vul nu de relatie tussen variabelen in: $V=(\pi/27)h^3$. Dit bevriest $h$ nog niet op één moment.

Differentiëren en invullen. De kettingregel levert

$$\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{9}h^2\frac{dh}{dt}.$$

Bij $h=6\text{ cm}$ staat $6\pi=(\pi/9)(36)\,dh/dt=4\pi\,dh/dt$, zodat $dh/dt=1.5\text{ cm/s}$. Controle. Het positieve teken past bij stijgend water. $(\pi/9)h^2$ heeft oppervlakte-eenheden; kubieke centimeters per seconde gedeeld hierdoor zijn centimeters per seconde. Op dit moment is $r=2\text{ cm}$. De vaste tankstraal $4$ verwarren met de actuele waterstraal $2$ zou een verkeerde snelheid geven.

Je kunt ook $V=(\pi/3)r^2h$ differentiëren met $dr/dt$ én $dh/dt$ en vervolgens $dr/dt=(1/3)dh/dt$ gebruiken. Het resultaat is gelijk. Eerst $r=h/3$ invullen is korter omdat maar één veranderlijke lengte overblijft.

Voorbeeld 3: wandelaar en schaduw

Een lamp staat $6\text{ m}$ boven vlakke grond. Een persoon van $2\text{ m}$ loopt recht van de lamp weg met $dx/dt=+1.5\text{ m/s}$. Laat $x(t)$ de afstand van de persoon en $s(t)$ de lengte van zijn schaduw zijn. Bereken zowel de toename van de schaduwlengte als de snelheid van de schaduwpunt.

Variabelen. Positieve afstand wijst van de lamp weg. De punt ligt op afstand $x+s$; $ds/dt$ en $d(x+s)/dt$ zijn dus verschillende snelheden. Relatie. Gelijkvormige driehoeken vergelijken lamphoogte met afstand tot de punt en persoonslengte met schaduwlengte:

$$\frac{6}{x+s}=\frac{2}{s}.$$

Kruislings vermenigvuldigen geeft $6s=2x+2s$ en $s=x/2$. Dit geldt binnen de geïdealiseerde rechte geometrie. Differentiëren: $ds/dt=(1/2)dx/dt=0.75\text{ m/s}$. Zo snel groeit de lengte van de schaduw.

Punt en controle. De positie is $p=x+s=3x/2$, dus $dp/dt=dx/dt+ds/dt=1.5+0.75=2.25\text{ m/s}$. De punt beweegt sneller dan de persoon; zijn snelheid is niet alleen de groeisnelheid van de schaduw. Beide snelheden zijn positief en in meter per seconde. Staat de persoon stil, dan is $dx/dt=0$ en worden beide afgeleiden nul, een eenvoudige grensgevalcontrole.

Pas het schema toe en controleer de vraag

Alle drie de voorbeelden gebruiken een relatie die tijdens de beweging waar blijft. Momentopnamen worden pas na het differentiëren ingevuld. De betekenis verschilt: de ladderhoogte daalt, de waterdiepte stijgt vanuit een volumestroom en de schaduw heeft twee aparte positieve snelheden. De vijf aanduidingen helpen die verschillen te zien zonder drie losse trucjes te onthouden.

Verander als oefening één gegeven snelheid bij dezelfde geometrie. Als de laddervoet bij $x=6\text{ ft}$ met $1\text{ ft/s}$ wegschuift, wordt de topsnelheid $-0.75\text{ ft/s}$. Verdubbelt de instroom in de kegel bij dezelfde diepte, dan verdubbelt $dh/dt$. Zulke evenredigheidsproeven vinden rekenfouten, maar vervangen de meetkundige afleiding niet. Math Zen kan helpen de benodigde afgeleidenregels apart te oefenen; AP Calculus-voorbereiding plaatst deze toepassing tussen andere onderwerpen.

Lees vóór het eindantwoord opnieuw welk object gevraagd wordt: laddervoet, laddertop, waterniveau, schaduwlengte of schaduwpunt. Schrijf dat naast de laatste afgeleide. Een juiste snelheid van de verkeerde grootheid beantwoordt de vraag niet. Vergelijk daarna teken en positieve richting en vereenvoudig de eenheden. Deze twee kleine controles ontmaskeren vaak een aannemelijke fout.