편미분을 직관적으로 이해하기 (한 방향의 기울기)

보통 도함수는 곡선의 기울기입니다. 입력 하나, 출력 하나, 각 점에 출력이 얼마나 빨리 변하는지를 말하는 숫자가 하나 있습니다. 함수가 입력을 둘 갖는 순간 이 그림은 무너집니다. 3차원 그래프는 곡면이지 곡선이 아니고, 곡면에는 하나의 기울기가 없습니다. 같은 점에서 동쪽으로 걸으면 완만한 오르막, 북쪽으로 걸으면 내리막일 수 있습니다.

편미분은 정직한 대체입니다. 더 좁은 질문에 답합니다. 나머지 입력을 모두 가만히 두고 이 방향으로만 걸으면 기울기는 얼마인가. 장의 나머지, 혼합편도함수, 그래디언트, 다변수 연쇄법칙은 같은 질문을 여러 길을 따라 묻는 것입니다.

곡면에는 하나의 기울기가 없다

한 변수의 함수는 평면에 곡선을 그립니다. 두 변수의 함수 f(x, y)는 공간에 곡면을 그립니다. 각 쌍 (x, y)는 바닥의 점이고, f(x, y)는 그 점 위 지붕의 높이입니다.

그릇

$$f(x, y) = x^{2} + y^{2}$$

을 보세요. 원점에서 높이는 0입니다. (1, 0)에서는 1, (0, 2)에서는 4, (1, 2)에서는 5입니다. (1, 2)에 서면 「그 기울기」라는 이름에 값하는 숫자 하나는 없습니다. x 방향으로 걸으면 지붕은 계속 올라갑니다. y 방향으로 걸으면 더 빨리 올라갑니다. 대각선으로 걸으면 둘의 섞임이 됩니다.

일변수 미적분을 익힌 사람이 땅이 움직이는 느낌을 받는 이유입니다. 믿던 도함수는 국소 변화의 완전한 설명이었습니다. 곡면에서는 고른 한 번의 걷기에 대한 설명일 뿐입니다.

날씨 지도와 등고선 지도는 이미 이 생각을 씁니다. 등고선은 같은 높이의 점들의 집합입니다. 선이 몰리면 곡면은 가파르고, 벌어지면 완만합니다. 편미분은 그 지도의 격자선 하나를 따르고 다른 하나를 무시할 때 재는 기울기입니다.

입력 하나를 가만히 두기

곡면을 읽을 수 있게 하는 동작은 조각입니다.

y를 상수, 예를 들어 y = 2로 고정하고 높이가 x에 어떻게 의존하는지만 봅니다. 함수는

$$g(x) = f(x, 2) = x^{2} + 4$$

로 줄어, x축 위 네 단위에 앉은 보통 포물선이 됩니다. 도함수는 2x입니다. 이 수가 직선 y = 2를 따라 평가한 f의 x에 대한 편도함수입니다. x = 1에서 값은 2입니다. (1, 2)에 서서 x 방향으로 아주 작은 한 걸음을 내디디면 지붕은 걸음당 대략 높이 2단위 올라갑니다.

대신 x를, 예를 들어 x = 1로 고정하면 조각은

$$h(y) = 1 + y^{2}$$

이고 도함수는 2y입니다. y = 2에서 이 기울기는 4입니다. 같은 점, 다른 걷기, 다른 기울기. 모순이 없습니다. 서로 다른 두 질문을 한 것입니다.

계산 규칙은 일변수 미적분과 같습니다. $\frac{\partial f}{\partial x}$를 구하려면 y를 상수로 보고 x로 미분합니다. $\frac{\partial f}{\partial y}$를 구하려면 x를 상수로 보고 y로 미분합니다. 그릇에서는 $\frac{\partial f}{\partial x}$ = 2x, $\frac{\partial f}{\partial y}$ = 2y입니다. 다른 변수는 나타나지도 않습니다. $x^{2} + y^{2}$의 각 항이 입력 하나에만 의존하기 때문입니다. 곱 $3x^{2}$y에서는 둘 다 나타납니다. $\frac{\partial}{\partial x}$는 6xy를 줍니다. 3y가 $x^{2}$의 고정 계수이기 때문입니다. $\frac{\partial}{\partial y}$는 $3x^{2}$를 줍니다. $3x^{2}$가 y의 고정 계수이기 때문입니다.

「다른 변수를 상수로 두라」는 시험 요령이 아닙니다. 그것이 조각입니다. 격자선 위에 서서 그 선을 따른 지붕의 기울기를 묻는 것입니다.

구부러진 d는 경고 딱지

기호 ∂, 구부러진 d는 이 조각을 다른 두 도함수와 혼동하지 않으려고 있습니다.

df/dx의 보통 d는 한 변수 함수의 것입니다. 누군가 f(x, y)에 df/dx를 쓰면 y가 무엇을 하는지는 말하지 않은 것입니다. y가 독립이고 얼려 있으면 편미분입니다. y가 몰래 x의 함수이면 x는 두 통로를 동시에 통해 출력을 바꿀 수 있고, 전미분이 필요합니다. 구부러진 d는 첫 번째 읽기를 알립니다. 이 입력은 움직이고, 나머지는 아닙니다.

표기는 그다음 같은 뜻의 두 습관으로 갈라집니다.

• 라이프니츠 형식: $\frac{\partial f}{\partial x}$와 $\frac{\partial f}{\partial y}$
• 아래 첨자 형식: f_x와 $f_y$

둘 다 한 조각의 기울기입니다. 고차 편도함수는 첨자나 분모를 쌓습니다. f_xx는 「x로 자르고, 그 기울기를 다시 x로 자른다」, 그 격자선을 따른 보통 이계도함수입니다. f_xy는 「x로 자른 뒤, y로 걸을 때 그 x 기울기가 어떻게 변하는지를 묻는다」입니다.

구부러진 d는 새 알고리즘이 아닙니다. 거듭제곱 규칙, 곱의 규칙, 연쇄법칙은 그대로입니다. 새 정보는 어떤 변수가 얼려 있는가입니다. 그것을 잊는 것은 주제 전체를 새 주제로 잘못 읽는 것입니다.

혼합편도함수는 비틀림을 잰다

f_x가 있으면 다시 미분할 수 있습니다. x로 미분하면 $f_xx$, 동서 조각의 오목함입니다. y로 미분하면 혼합편도함수 $f_xy$: 동서 기울기 자체가 북쪽으로 걸을 때 어떻게 변하는가입니다.

그릇 $x^{2} + y^{2}$에서는 $f_x$ = 2x이므로 $f_xy$ = 0입니다. 동서 기울기는 x에만 의존합니다. 북쪽으로 걸어도 바뀌지 않습니다. 곡면은 원형 그릇이고 회전 대칭이며 비틀림이 없습니다.

안장면

$$f(x, y) = x^{2} - y^{2}$$

에서 일차 편도함수는 $f_x$ = 2x와 $f_y$ = -2y입니다. 혼합도 다시 둘 다 0입니다. 흥미로운 혼합 예는 곱

$$f(x, y) = x^{2} y$$

입니다. 여기서 $f_x$ = 2xy, 이어서 $f_xy$ = 2x입니다. 다른 쪽에서 $f_y$ = $x^{2}$, 이어서 $f_yx$ = 2x입니다. 두 혼합이 일치합니다.

이 일치는 보통의 경우이지 우연이 아닙니다. 다변수 미적분 입문에서 다루는 매끄러운 함수에서는 혼합편도함수가 같습니다. 동쪽으로 간 뒤 북쪽으로 갈 때 느끼는 비틀림이, 북쪽으로 간 뒤 동쪽으로 갈 때 느끼는 비틀림입니다. 정리에는 기술적 가정이 있습니다(혼합이 연속이어야 함). 그림에는 없습니다. 접힘이 없는 곡면에서 두 작은 걸음의 순서는 문제가 되지 않습니다.

교과서가 「$f_xy$ = f_yx를 확인하라」고 할 때, 곡면이 한 순서에서는 비틀리고 다른 순서에서는 비틀리지 않은 것이 아닌지를 보라고 합니다. 입문에서 만나는 함수에서는 모두 맞고, 계산은 조각 규칙의 연습이지 새 생각이 아닙니다.

그래디언트는 기울기를 모은다

한 점에서의 두 일차 편도함수는 두 수입니다. 쌍으로 쓰면 입력 평면의 벡터가 됩니다.

$$\nabla f = (f_x, f_y)$$

이 벡터가 그래디언트입니다. 각 성분은 한 조각의 기울기이므로 전체 대상은 여행입니다. 「동쪽으로 이만큼, 북쪽으로 이만큼」, 높이가 아니라 바닥 좌표입니다. 여행은 가장 가파른 오르막을 가리킵니다. 길이는 그 오르막이 얼마나 가파른지입니다. 반대 여행 -$\nabla f$는 내리막을 가리키므로 경사 하강은 그래디언트를 거슬러 걷습니다.

그릇 $x^{2} + y^{2}$의 (1, 2)에서 그래디언트는 (2, 4)입니다. 그 바닥 점에서 지붕 위로 가장 빠른 길은 벡터 (2, 4)의 방향, 곧 (1, 2) 자신의 방향입니다. 원형 그릇에서 가장 가파른 길은 방사형으로 바깥을 향합니다. 그림이 이미 암시했고 그래디언트가 확인합니다.

두 편도함수가 모두 사라지는 점은 임계점입니다. 그래디언트 여행의 길이는 0입니다. 일차에서는 어떤 방향도 오르막도 내리막도 아닙니다. 극소(그릇 바닥, 원점), 극대(언덕 꼭대기), 안장점(고개: 한 조각에서는 극소, 다른 조각에서는 극대)이 될 수 있습니다. 안장면 $x^{2} - y^{2}$는 원점에 임계점을 갖습니다. x 조각은 골짜기, y 조각은 능선이고, 그래디언트는 0입니다. 두 일차 기울기가 평평한 근방이 아니라 평평한 한순간에 상쇄되기 때문입니다.

다변수 최적화는 이 탐색입니다. 그래디언트가 영 여행이 되는 곳을 찾고, 이계 편도함수나 근처 조각을 읽어 그릇인지 언덕인지 고개인지를 봅니다. 이계 판정 D = $f_xx$ $f_yy$ - ($f_xy$)²는 그 읽기의 포장판입니다. D 자체가 생각이 아닙니다. 두 조각과 그 사이 비틀림이 점을 분류한다는 생각이 생각입니다.

다변수 연쇄법칙은 움직임 속의 같은 짝짓기입니다. 경로 (x(t), y(t))가 바닥을 걸으면 경로를 따른 높이의 변화율은

$$\frac{df}{dt} = f_x x'(t) + f_y y'(t)$$

곧 그래디언트와 경로 속도의 내적입니다. 곡면은 기울기의 여행을 내놓습니다. 경로는 운동의 여행을 내놓습니다. 그 일치가 실제로 걷는 사람의 높이가 변하는 속도입니다. 경로가 그래디언트와 평행하면 높이는 가능한 한 빨리 변합니다. 수직이면 높이는 순간적으로 일정하고, 그것이 등고선의 기하학적 의미입니다.

실수는 어디서 오는가

편미분 실수는 거의 모두 올바른 변수를 얼리지 못한 것입니다.

첫째, 눈에 보이는 것을 모두 미분하는 것입니다. $3x^{2}$y의 $\frac{\partial}{\partial x}$를 물으면 학생은 6xy + $3x^{2}$, 두 편도함수의 합, 또는 y를 x로 본 6x를 씁니다. 조각 규칙은 더 엄합니다. 이 도함수 동안 y는 숫자입니다. 답에는 계수로만 남습니다.

둘째, 곡면에 기울기가 하나라고 믿는 것입니다. 높이로 색을 입히는 그래프 소프트웨어는 이를 숨길 수 있습니다. 눈이 하나의 가파름을 읽기 때문입니다. 한 점의 기울기를 물으면 「어느 방향으로?」라고 답해야 합니다. 편미분은 그런 답 하나입니다. 그래디언트는 축에 맞춘 답들의 모음입니다. 어느 쪽도 지붕의 「그」 기울기가 아닙니다.

셋째, ∂와 d를 섞는 것입니다. y가 정말로 x에 의존하면 y를 얼리는 것은 상황의 잘못된 모형입니다. 관련 변화율과 일부 미분방정식은 전미분이 필요하고, 의존의 각 통로가 기여하게 둡니다. 나머지 입력이 정말로 독립이거나, 한 통로를 일부러 살필 때 편미분은 맞습니다.

넷째, 영 그래디언트를 보장된 극소로 여기는 것입니다. $x^{2} - y^{2}$의 원점은 임계점이고 극소도 극대도 아닙니다. 일차의 평평함은 이차의 평평함이 아닙니다. 조각은 그래도 봐야 합니다.

다섯째, $\nabla f$를 f의 값으로 읽는 것입니다. 그래디언트는 높이가 아닙니다. 기울기로 만든, 입력 평면 위의 여행입니다. 둘을 혼동하는 것은 벡터 글이 경고한 같은 착각, 방향을 장소처럼 다루는 것입니다.

Math Zen이 들어가는 곳

편미분은 보통 도함수 위에 앉고, 행렬이 벡터 위에 앉는 것과 같습니다. 일변수 규칙이 아직 말이면 조각마다 의식이 됩니다. 흐르면 편미분은 추가 결정 하나, 어느 입력이 움직이는가입니다.

Math Zen의 편미분 연습은 그 순서를 따릅니다. 이른 바구니는 조각 자체를 뚫습니다. f(x, y)가 주어지면 다른 변수를 상수로 보고 f_x와 f_y를 씁니다. 나중 바구니는 도함수를 쌓고($f_xx$, $f_xy$, $f_yx$), 그래디언트를 모으고, 경로를 따라 연쇄법칙을 쓰고, 임계점을 분류합니다. 이 글의 그림이 바로 그 목록입니다.

유용한 고리는 이렇습니다. 이변수 함수를 고르고, 한 점에서 두 조각을 그리고, 두 일차 편도함수를 계산하고, 그래디언트를 만들고, 어느 쪽이 오르막인지 소리 내어 말합니다. 간격을 두고 돌아와 나머지 미적분 열과 같은 간격 반복 일정을 따릅니다. 목표는 「y는 상수」를 외우는 것이 아닙니다. 곡면을 보고 자신이 어떤 걷기를 하는지를 아는 것입니다.

한 줄로

편미분은 나머지 입력을 모두 가만히 둔 채 곡면을 한 방향으로 걸을 때의 기울기입니다. 구부러진 d는 그 얼림을 표시합니다. 혼합편도함수는 한 조각의 기울기가 다른 축을 따라 걸을 때 어떻게 변하는지를 묻고, 매끄러운 곡면에서 두 순서는 일치합니다. 그래디언트는 일차 편도함수를 오르막을 가리키는 여행으로 모읍니다. 임계점은 그 여행이 사라지는 곳이고, 그릇·언덕·안장점이 될 수 있습니다.

이렇게 붙이면 다변수 미분은 새 종류의 미적분이 아닙니다. 보통 미적분을 격자선 하나에 맞춘 뒤 다시 조립한 것입니다. 곡면에는 기울기가 많습니다. 편미분은 그중 어느 것을 말하는지 마침내 말했을 때 얻는 것입니다.