직관으로 이해하는 미분방정식: 기울기장

보통 방정식은 수를 묻습니다. 2x + 3 = 11 같은 등식을 제시하고 어떤 값이 그것을 성립시키는지 묻죠. 미분방정식은 곡선을 묻습니다. 변화에 대한 국소 규칙을 주고, 어떤 곡선 전체가 그 규칙을 따를 수 있는지 묻습니다.

이러한 전환 때문에 미분방정식은 처음에 낯설게 느껴집니다. 미지의 대상은 함수이고, 답에는 임의상수가 자주 들어가며, 곡선 위의 점 하나만으로는 충분하지 않습니다. 방정식은 곡선이 한 구간 전체에서 어떻게 움직여야 하는지를 나타냅니다.

명시적 1계 미분방정식을 쉽게 읽게 해 주는 그림은 짧은 선분으로 이루어진 기울기장입니다. y' = F(x, y) 로 쓴 방정식에서는 F 가 정의된 모든 점에 곡선이 어느 쪽으로 기울어야 하는지 알려 주는 짧은 선분을 놓습니다. 해는 그 방향을 따라가는 경로입니다. 이 기울기장을 보고 나면 해의 모임, 초기조건, 지수 성장이 서로 무관한 개념처럼 보이지 않습니다.

미분방정식은 변화에 관한 규칙이다

미분은 어떤 양이 얼마나 빠르게 변하는지 알려 줍니다. 미분방정식은 이 생각을 거꾸로 돌립니다. 도함수가 들어간 관계를 주고 원래의 양을 되찾으라고 합니다.

다음을 생각해 봅시다.

$$y' = 2y$$

프라임 기호는 y 를 x 에 대해 미분한 도함수를 뜻합니다. 이 방정식은 변화율이 언제나 현재 값의 두 배라고 말합니다. y 가 1이면 기울기는 2여야 하고, y 가 3이면 기울기는 6이어야 합니다. y 가 음수면 기울기도 음수여야 합니다. 이 규칙은 특정한 x 에서 곡선의 높이가 얼마인지 직접 알려 주지 않습니다. 높이와 기울기가 어떻게 함께 움직여야 하는지를 알려 줍니다.

핵심적인 뒤집기는 이렇습니다.

• 미적분에서는 함수를 알고 그 변화율을 계산합니다.
• 미분방정식에서는 변화율에 대한 규칙을 알고 함수를 복원합니다.

y' = 2y 는 최고계 도함수가 1계이므로 1계 방정식입니다. y'' 가 들어간 방정식은 2계입니다. 여기서 계는 방정식이 몇 계의 도함수까지 포함하는지를 뜻하지, 식이 얼마나 어려워 보이는지를 뜻하지 않습니다.

또한 y 가 하나의 독립변수에 의존하므로 상미분방정식, 즉 ODE 입니다. 온도가 위치와 시간에 모두 의존한다면 모델에는 편도함수가 들어가고 편미분방정식, 즉 PDE 가 됩니다. 큰 발상은 그대로지만 이 글에서는 ODE, 곧 하나의 입력과 하나의 변화하는 경로에 집중합니다.

해는 수가 아니라 함수다

y' = 2y 를 풀려면 도함수가 자기 자신의 두 배인 함수를 찾아야 합니다. 지수함수는 바로 그런 성질을 지닙니다. 다음을 시도해 봅시다.

$$y = Ce^{2x}$$

여기서 C 는 임의의 상수입니다. 미분하면,

$$y' = 2Ce^{2x}$$

입니다. y 자체가 $Ce^{2x}$ 이므로 y' = 2y 가 됩니다. 이 함수는 모든 x 에서 방정식을 만족하므로 해입니다.

검산하는 방식에 주목하세요. 대수방정식에서는 수를 대입합니다. 미분방정식에서는 함수를 미분하고 그 결과를 대입합니다. 올바른 해는 확인하기 편한 점 하나만 지나는 것이 아니라, 살펴보는 구간 어디에서나 규칙을 따라야 합니다.

상수 C 는 풀다 만 흔적이 아닙니다. 답의 일부입니다. 방정식은 다음과 같은 곡선들의 모임을 나타냅니다.

• C = 1이면 $y = e^{2x}$ 입니다.
• C = 3이면 $y = 3e^{2x}$ 입니다.
• C = -2이면 $y = -2e^{2x}$ 입니다.
• C = 0이면 평평한 해 y = 0 입니다.

각각은 같은 성장 규칙을 따르지만 시작 높이가 다릅니다. 변화의 법칙만으로는 이야기가 어디서 시작했는지 알 수 없습니다. 빠진 시작 정보를 저장하는 것이 바로 이 상수입니다.

이것은 적분에 적분 상수가 붙는 이유이기도 합니다. 미분하면 상수로 인한 수직 이동은 사라집니다. 상수의 도함수가 0이기 때문입니다. 따라서 그 과정을 되돌릴 때는 가능한 모든 이동을 남겨 두어야 합니다. 이후의 식 변형에 따라 매개변수의 모습이 달라질 수도 있습니다. 이 예에서는 지수를 취하면서 $e^{C}$ 가 $e^{2x}$ 앞에 곱해지는 상수로 바뀝니다.

기울기장은 규칙을 하나의 풍경으로 바꾼다

명시적 1계 방정식 y' = F(x, y) 는 기호로 풀기 전에도 이해할 수 있습니다. F 가 정의된 영역에 격자점을 잡습니다. 각 점에서 필요한 기울기를 계산한 뒤 그 기울기를 가진 짧은 선분을 그립니다. 그 결과를 기울기장 또는 방향장이라고 합니다.

y' = 2y 에서는 기울기가 높이에만 의존합니다.

• y = 0 을 따라 놓인 선분은 모두 수평입니다.
• y = 1 을 따라 놓인 선분은 모두 기울기가 2입니다.
• y = -1 을 따라 놓인 선분은 모두 기울기가 -2입니다.
• 양의 높이가 커질수록 선분은 더 가파르게 위를 향합니다.
• 음의 높이가 낮아질수록 선분은 더 가파르게 아래를 향합니다.

기울기장은 같은 기울기가 가로로 이어진 띠처럼 보입니다. 해곡선은 어느 점에서든 시작할 수 있지만, 일단 시작하면 그 뒤로는 주변 선분을 따라야 합니다. 양의 해는 위로 휘어지며 커지고, 음의 해는 0 아래로 멀어집니다. 0인 해는 평평하게 남습니다. 그 선 위의 모든 방향이 수평이기 때문입니다.

이 그림은 방정식과 개별 해를 구분해 줍니다. 미분방정식이 전체 장을 만들고, 각 해는 그 안을 지나는 실 한 가닥입니다.

공식을 구하지 않고도 기울기장에서 움직임을 예측할 수 있습니다. 어떤 영역의 선분이 위를 가리키면 해는 그곳에서 증가합니다. 관련된 모든 x 에 대해 y = c 를 따라 선분이 수평이면 y = c 는 상수해이자 평형해입니다. 주변 선분이 그 선을 향하면 근처의 해는 다시 그쪽으로 끌려옵니다. 선분이 바깥을 향하면 작은 흔들림이 커집니다. 응용 미분방정식에서는 이런 정성적 읽기가 중요합니다. 정확한 공식을 유도하기 전에 경로가 어떻게 움직일 수 있는지 이해하는 일입니다.

y' = 2y 의 우변은 y 에 대해 매끄럽게 변하므로 표준적인 존재성과 유일성 조건에 따라 각 점을 지나는 해가 하나씩 존재합니다. 기울기장은 이 결과를 보여 주지만 증명하지는 않습니다. 같은 점을 지나며 그곳에서 기울기가 같다는 사실만으로 모든 방정식의 해가 유일해지는 것은 아닙니다. 덜 정칙적인 규칙에서는 해들이 만났다가 나중에 다시 갈라질 수 있습니다.

초기조건이 한 경로를 고른다

이제 같은 방정식에 y(0) = 3 이라는 조건을 더해 봅시다. 이것은 초기조건입니다. x = 0 일 때 곡선이 높이 3을 지난다는 뜻입니다. 먼저 해의 모임에서 출발합니다.

$$y = Ce^{2x}$$

알고 있는 점을 대입하면,

$$3 = Ce^{0} = C$$

이므로 특수해는

$$y = 3e^{2x}$$

입니다. 미분방정식은 해집합의 형태를 주었고, 초기조건은 그중 하나를 골랐습니다. 기울기장 그림에서는 점 (0, 3) 에 손가락을 올려 그 점을 지나는 경로만 남긴 셈입니다.

정칙적인 초기값 문제에서는 보통 필요한 조건의 개수가 방정식의 계수와 맞물립니다. 속도가 이미 정해진 1계 속도 법칙 y' = v(x, y) 는 일반적으로 초기 위치 하나가 필요합니다. 2계 가속도 법칙은 대체로 초기 위치와 초기 속도가 모두 필요합니다.

예를 들어 정규화된 무감쇠 용수철 방정식은

$$y'' + y = 0$$

입니다. 가속도가 평형 위치 쪽으로 되돌아간다는 뜻입니다. 물리적인 형태는 m y'' + k y = 0 이며, k/m = 1 이 되는 단위를 고르면 위의 정규화된 방정식이 됩니다. 해는 사인과 코사인의 조합입니다. 시작 위치만으로는 용수철이 정지한 채 놓였는지, 이미 움직이고 있었는지 알 수 없습니다. 시작 속도를 더하면 운동이 정해집니다.

변수분리법은 연결을 풀어내는 방법이다

y' = 2y 는 추측만이 아니라 체계적인 방법으로 풀 수 있습니다. 도함수를 $\frac{dy}{dx}$ 로 씁니다.

$$\frac{dy}{dx} = 2y$$

y 에 관한 부분은 dy 옆으로, x 에 관한 부분은 dx 옆으로 옮깁니다.

$$\frac{dy}{y} = 2 dx$$

이제 양변을 적분합니다.

$$\ln|y| = 2x + C$$

지수를 취하면,

$$y = Ae^{2x}$$

를 얻습니다. 이 단계에서 A 는 0이 아닙니다. 앞서 y 로 나누면서 y = 0 을 제외했기 때문입니다. 제외된 함수를 원래 방정식에 대입해 보면 y = 0 도 해입니다. 따라서 전체 해집합은 y = $Ae^{2x}$ 로 쓸 수 있고, A 는 0을 포함한 임의의 실수입니다.

변수분리법이라는 이름은 적분하기 전에 y 와 관련된 것을 x 와 관련된 것에서 분리하기 때문에 붙었습니다. 다음 꼴로 정리할 수 있는 방정식에 적용합니다.

$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$

하지만 대수식 정리에는 함정이 있습니다. g(y) 로 나누면 g(y) = 0 이 되는 해를 잃을 수 있습니다. 이 예에서는 y 로 나누는 동안 평형해 y = 0 이 빠졌습니다.

입문 과정에서 변수분리법으로 다루는 매끄러운 방정식은 제외된 평형해를 되살리면 해의 모임이 완성됩니다. 덜 정칙적인 방정식에는 평형점에서 한동안 머문 뒤 떠나는 구간별 해가 있을 수도 있습니다. 따라서 변수분리만으로 해가 항상 완전하다고 증명되지는 않습니다. 나누거나 식을 정리한 뒤에는 구한 해의 모임과 제외한 값을 모두 원래 방정식에 대입해 확인하세요.

성장, 감쇠, 진동은 서로 다른 규칙이다

미분방정식을 조금만 바꾸어도 전혀 다른 움직임이 나타납니다.

모델

$$y' = ky$$

는 양의 양에 대해 k 가 양수일 때 지수 성장을, k 가 음수일 때 0으로 향하는 지수 감쇠를 나타냅니다. 더 일반적으로 k 가 양수면 0이 아닌 해의 크기가 커지고, k 가 음수면 작아집니다. 변화율이 현재 양에 비례할 때 이 모델이 나타납니다. 이상화한 개체군 성장, 연속 복리, 방사성 붕괴가 익숙한 예입니다. 같은 공식이 실제 개체군이나 투자가 영원히 지수적으로 변한다는 뜻은 아닙니다. 비례 변화율이 일정하다는 가정이 성립하는 동안 지수적 움직임이 따른다는 뜻입니다.

반면 용수철 방정식 y'' + y = 0 은 진동을 만듭니다. 사인과 코사인을 두 번 미분하면 부호가 바뀌므로 해는 이 함수들로 이루어집니다. 다음과 비교해 보세요.

$$y'' - y = 0$$

이 방정식의 해는 지수함수로 나타낼 수 있으며, 같은 내용을 쌍곡함수로도 표현할 수 있습니다. 부호에 따라 계가 반복 운동으로 끌려 돌아오는지, 성장과 감쇠 쪽으로 밀려나는지가 결정됩니다.

실제 모델에는 외부 힘, 마찰, 제한된 자원, 여러 양 사이의 상호작용을 나타내는 항이 더해집니다. 로지스틱 개체군 모델은 환경 수용 능력에 가까워질수록 성장이 느려집니다. 감쇠하는 용수철은 시간이 지나며 진폭을 잃습니다. 연립 미분방정식은 함께 변하는 여러 양을 추적할 수 있습니다. 항이 더해질 때마다 국소 규칙이 바뀌고, 계가 따를 수 있는 경로도 바뀝니다.

실수는 어디에서 생기는가

첫 번째 실수는 수를 찾는 것입니다. 미분방정식의 미지 대상은 보통 함수입니다. 특정 지점의 값을 요구하지 않았는데 답이 y 의 한 값뿐이라면 너무 일찍 멈춘 것일 가능성이 큽니다.

두 번째는 초기조건만 확인하는 것입니다. 곡선이 (0, 3) 을 지난다고 해서 y' = 2y 의 해가 되지는 않습니다. 그 점을 지나는 곡선은 무한히 많습니다. 곡선은 구간 전체에서 도함수 규칙도 만족해야 합니다.

세 번째는 임의상수를 빠뜨리는 것입니다. 조건이 충분하지 않은 미분방정식은 보통 해의 모임을 나타냅니다. 그중 하나를 전체 답처럼 쓰면 올바른 변화 과정들을 버리게 됩니다.

네 번째는 나눗셈을 하며 평형해를 잃는 것입니다. y, y - 1 또는 미지의 함수가 들어간 식으로 나눈다면 잠시 멈추고, 그 식이 0이 되는 값을 원래 방정식에 넣어 확인하세요.

다섯 번째는 모델을 대상 그 자체로 여기는 것입니다. y' = ky 가 지수 성장이나 감쇠를 만드는 이유는 비례 변화율이 일정하다고 가정하기 때문입니다. 실제 계는 그 가정이 유용한 근사인 동안에만 그 곡선을 따릅니다. 방정식을 올바르게 풀었다고 해서 그 방정식이 올바른 모델이었음이 증명되지는 않습니다.

Math Zen을 활용하는 방법

미분방정식은 보통 서로 다른 단원에서 배우는 여러 기술을 한데 묶습니다. 미분을 변화율로 읽고, 경우를 잃지 않으면서 대수식을 정리하고, 지수함수가 미분해도 자기 자신에 비례함을 알아보고, 양변을 적분하고, 초기조건으로 남은 상수를 정해야 합니다. 이 가운데 하나라도 약하면 전체 방법이 알 수 없는 요령처럼 느껴집니다.

Math Zen에는 변수분리형, 1계 선형, 2계, 동차형, 완전미분방정식, 베르누이형, 연립 상미분방정식 연습이 있습니다. 계산을 시작하기 전에 이 글의 세 질문을 던져 보세요. 방정식이 요구하는 변화는 무엇인가, 어떤 경로의 모임이 그 규칙을 따를 수 있는가, 어떤 조건이 필요한 경로를 고르는가?

효과적인 연습 루틴은 간단합니다. 방정식을 하나 분류하고, 해의 방향을 예측하고, 풀거나 검산한 다음, 초기조건과 제외된 평형해를 확인합니다. 시간이 지난 뒤 혼합 문제로 돌아와 Math Zen의 다른 연습과 같은 간격 반복 방식을 따르세요. 목표는 해법을 한가득 외우는 것이 아닙니다. 눈앞에 어떤 변화 규칙이 있는지 알아보는 것입니다.

핵심 정리

미분방정식은 어떤 양과 그 양이 변하는 방식 사이의 관계를 나타냅니다. 해는 함수 전체이며, 흔히 어떤 해의 모임 중 하나입니다. 임의상수는 경로가 어디에서 시작할 수 있었는지를 기록하고, 초기조건은 실제 시작점과 맞는 경로를 고릅니다.

명시적 1계 방정식에서는 기울기장이라는 그림이 주제를 하나로 묶습니다. 국소 규칙은 정의역의 각 점에 허용되는 방향을 부여하고, 해는 그 방향을 따라갑니다. 변수분리, 초기값 문제, 성장, 감쇠, 진동은 그 풍경을 읽거나 따라 그리는 여러 방법입니다. 미분방정식은 변화에 대한 국소 규칙을 전체 곡선으로 바꿉니다.