편미분 연습문제: 풀이가 있는 예제와 검산

$f(x,y)=x^2y+3y^2$ 의 두 편도함수를 구해 봐요. 답이 $2x$ 와 $6y$ 라면 계수 하나와 항 하나를 통째로 빠뜨린 거예요. 변수를 고정한다는 것은 그 변수를 숫자처럼 다룬다는 뜻이지, 그 변수가 들어간 모든 항을 지운다는 뜻이 아니에요. 올바른 답은 $f_x=2xy$ 와 $f_y=x^2+6y$ 입니다.

이 연습문제 모음은 이 실수에서 시작해 곱, 합성함수, 혼합편도함수, 수치 검산으로 나아가요. 풀이를 보기 전에 문제를 먼저 풀어 보세요. 첫 줄 옆에 어떤 변수를 고정하는지 적어 두면 많은 오답을 더 쉽게 찾을 수 있어요.

계산 뒤에 있는 그림은 편미분을 직관적으로 설명한 글을 보세요. 여기서는 곡면과 그래디언트를 다시 소개하기보다 식을 계산하고 답을 확인하는 데 집중해요.

풀이 위에 적어 둘 규칙

$f_x$ 는 $x$ 에 대해 미분하고 $y$ 를 상수로 취급해요. $f_y$ 는 둘의 역할을 바꿔요. OpenStax의 편도함수 정의는 차분몫에서 고정된 입력을 분명하게 보여 줘요. 변하는 변수에는 보통의 미분법을 적용하면 돼요.

예를 들어 $y$ 가 고정되어 있으면 $y^2$ 는 상수지만 $xy^2$ 는 상수에 $x$ 를 곱한 거예요. 따라서 $x$ 에 대한 도함수는 달라요.

$$\frac{\partial}{\partial x}(y^2)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(xy^2)=y^2.$$

미분하기 전에 두 좌표를 모두 대입하지 마세요. 점 전체를 먼저 대입하면 식이 하나의 숫자가 되어, 주변에서 일어나는 변화를 잃게 돼요. 먼저 미분하고 나중에 값을 계산하세요. 고정하는 좌표 하나만 먼저 대입하는 것은 괜찮고, 독립적인 검산도 돼요.

문제 1: 독립적인 입력이 둘인 다항식

다음 함수의 $f_x$ 와 $f_y$ 를 구한 뒤,

$$f(x,y)=2x^3y-5xy^2+7y,$$

두 값을 $(1,2)$ 에서 계산하세요.

x에 대해: $y$ 를 고정해요. $x^3$ 과 $x$ 의 계수는 $2y$ 와 $-5y^2$ 예요. 마지막 항은 변하지 않아요.

$$f_x=6x^2y-5y^2.$$

y에 대해: $x$ 를 고정해요. 첫 항은 $y$ 에 대해 일차, 둘째 항은 이차, 마지막 항은 일차예요.

$$f_y=2x^3-10xy+7.$$

요구한 점에서는

$$f_x(1,2)=12-20=-8, \qquad f_y(1,2)=2-20+7=-11.$$

두 도함수는 그 점에서 모두 음수예요. 그 부호만으로 함수값을 알 수는 없어요. 높이와 기울기는 서로 다른 양이니까요. 첫 답을 별도로 검산하려면 원래 함수에 $y=2$ 를 대입하세요. $4x^3-20x+14$ 가 되고, 보통 도함수는 $12x^2-20$ 이에요. $x=1$ 에서 다시 $-8$ 이 나와요.

문제 2: 곱과 지수함수

다음 함수의 두 편도함수를 구해요.

$$g(x,y)=x^2e^{xy}.$$

$g_x$ 에서는 두 인수가 모두 $x$ 에 의존하므로 곱의 미분법을 적용해요. 지수함수에는 연쇄법칙도 필요해요. $y$ 를 고정하면 $xy$ 의 도함수는 $y$ 예요.

$$g_x=2xe^{xy}+x^2e^{xy}y =e^{xy}(2x+x^2y).$$

$g_y$ 에서는 $x^2$ 가 상수예요. 지수함수만 변하고, 그 지수를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 예요.

$$g_y=x^2e^{xy}x=x^3e^{xy}.$$

$(1,0)$ 에서 $g_x=2$, $g_y=1$ 이 돼요. 흔한 오답 $g_x=2xe^{xy}$ 는 첫 인수만 미분하고 둘째 인수도 $x$ 에 의존한다는 사실을 잊은 거예요. 또 다른 오답은 두 계산 모두에서 안쪽 도함수를 1로 바꾸어 $x$ 와 $y$ 의 차이를 놓쳐요.

안쪽 함수를 찾는 연습이 더 필요하다면 연쇄법칙 예제에서 각 층을 나누고 인수를 다시 합치는 과정을 보세요.

문제 3: 로그, 분수, 정의역

다음을 보세요.

$$h(x,y)=\ln(x^2+2y^2).$$

로그에는 $x^2+2y^2>0$ 이 필요하므로 원점은 제외돼요. 다른 모든 곳에서는 안쪽을 미분한 값을 그 안쪽 식으로 나눠요.

$$h_x=\frac{2x}{x^2+2y^2}, \qquad h_y=\frac{4y}{x^2+2y^2}.$$

$(2,1)$ 에서는 분모가 6이므로 두 도함수가 모두 $2/3$ 이에요. 이는 그 점에서만 성립하는 같음이에요. 두 도함수 자체가 같은 함수라는 뜻은 아니에요.

분모는 중요한 경고예요. 원래 함수도 이 식들도 $(0,0)$ 에서는 정의되지 않아요. 거기서 0을 내는 계산은 정의되지 않은 분수에 값을 대입한 거예요. 특히 제곱근, 로그, 몫이 섞인 문제에서는 값을 계산하기 전에 정의역을 확인하세요.

문제 4: 두 순서로 구하는 혼합편도함수

다음을 사용해요.

$$p(x,y)=x^2y^3+\sin(xy).$$

이 글에서 $p_{xy}$ 는 먼저 $x$ 에 대해, 다음으로 $y$ 에 대해 미분한다는 뜻이에요. 순서가 분명하도록 중간 도함수를 써 두세요.

$$p_x=2xy^3+y\cos(xy).$$

이제 이 식을 $y$ 에 대해 미분해요. 둘째 항에는 곱의 미분법이 필요해요.

$$p_{xy}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

순서를 바꿔 계산해요.

$$p_y=3x^2y^2+x\cos(xy),$$ $$p_{yx}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

답이 같아요. 여기에서는 관련 도함수가 모두 연속이므로 OpenStax가 설명하는 혼합편도함수 정리에서도 같은 결과가 예상돼요. 모든 함수에 조건 없이 적용되는 규칙으로 생각하면 안 돼요. 일반적인 매끄러운 함수 문제에서는 좋은 검산이지만, 정칙성이 없는 점에서는 정리의 가정이 중요해요.

문제 5: 셋째 변수도 또 하나의 고정 입력

다음 함수의

$$q(x,y,z)=xy^2+z\cos x,$$

세 일계 편도함수를 모두 구해요. 매번 입력 두 개를 고정하면

$$q_x=y^2-z\sin x, \qquad q_y=2xy, \qquad q_z=\cos x.$$

$(0,2,3)$ 에서는 값이 4, 0, 1이에요. 가운데 0은 함수가 $y$ 에 전혀 의존하지 않는다는 뜻이 아니에요. 그 점에서 그 방향의 일차 변화율이 0이라는 뜻이에요. 원래 식에 $x=0$ 을 대입하면 단면이 $q=3$ 이고 $z=3$ 일 때 이 결과가 맞음을 확인할 수 있어요.

빠뜨린 인수를 찾는 수치 검산

문제 1의 $(1,2)$ 로 돌아가요. $y=2$ 를 고정하고 작은 양수 $s$ 를 골라 중심차분을 계산해요.

$$\frac{f(1+s,2)-f(1-s,2)}{2s}.$$

이 다항식은 분자를 전개하면 정확히 $-8+4s^2$ 가 돼요. 검산 결과는 다음과 같아요.

이것은 기호식 답을 확인하는 방법이지 도함수 공식의 증명은 아니에요. 선택한 점 하나만 검사하기도 해요. 분자에서 두 좌표를 실수로 모두 바꾸면 다른 경로를 따라 변화를 측정하게 돼요. 부동소수점 연산에서는 간격이 지나치게 작을 때 가까운 수끼리 빼며 소거 오차가 생길 수 있어요. 0을 더 붙인다고 항상 검사가 좋아지는 건 아니에요.

처음부터 다시 하기 전에 오답을 진단해요

표를 보고 잘못된 한 단계만 고치세요. 모든 계산을 처음부터 다시 쓸 필요는 없어요. 보통의 미분 규칙도 자꾸 헷갈린다면 미분 입문 글을 먼저 다시 보세요.

두 문제를 더 풀고 풀이를 비교해요

연습 A. $r_x$ 와 $r_y$ 를 $r(x,y)=3x^2y+y^4$ 에 대해 구하고 $(2,-1)$ 에서 계산하세요.

도함수는 $r_x=6xy$ 와 $r_y=3x^2+4y^3$ 예요. 그 점에서 $-12$ 와 $8$ 이 나와요. $y^4$ 항은 x에 대해 미분할 때만 없어져요. y에 대해 미분하면 $4y^3=-4$ 를 더해요.

연습 B. $s(x,y)=\cos(2x-y)$ 의 두 일계 편도함수를 구하고 $(0,0)$ 에서 계산하세요.

연쇄법칙에 따라 $s_x=-2\sin(2x-y)$ 와 $s_y=\sin(2x-y)$ 예요. 둘째 식의 양수 부호는 음수가 두 번 나오기 때문이에요. 코사인을 미분할 때 하나, $2x-y$ 를 $y$ 에 대해 미분할 때 또 하나가 나와요. 식은 달라도 원점에서 두 값은 모두 0이에요.

이 계산들이 익숙해지면 편미분 연습으로 넘어가세요. 고친 실수의 종류를 짧게 적어 두세요. 고정 입력, 곱의 미분법, 안쪽 도함수, 너무 이른 대입 중 무엇이었는지 기록하면 다음에 어떤 문제를 반복할지 알 수 있어요.