로피탈의 정리: 언제 쓸 수 있을까? 네 가지 극한 예제

분수에 목표 값을 대입했더니 $0/0$이 나왔습니다. 이제 분자와 분모를 미분해야 할까요? 그럴 때도 있습니다. 먼저 평범한 대수로 식을 간단히 할 수 있는지, 두 부분이 정말 허용되는 형태인지, 미분이 극한 계산을 쉽게 만드는지 확인하세요. 로피탈의 정리는 조건이 있는 정리이지, 분모가 곤란할 때마다 모든 분수를 미분하라는 명령이 아닙니다.

이 글은 계산보다 먼저 적용 여부 표를 제시하고, 이를 네 가지 풀이에 차례로 적용합니다. 하나는 인수분해가 더 빠르고, 하나는 정리의 대상이 아니며, 하나는 무한대에서 정리를 쓰고, 거듭제곱 하나는 로그를 취한 뒤에야 알맞은 몫이 됩니다. 극한이 낯설다면 먼저 극한 설명을 읽어 보세요. 도함수 설명은 또 다른 선행 개념을 다룹니다.

미분하기 전에 적용 조건 확인하기

다가가는 위치에서 분자와 분모를 따로 조사합니다. 직접 로피탈의 정리를 쓸 수 있는 후보는 $0/0$ 또는 $\pm\infty/\pm\infty$ 형태의 몫입니다. 다만 정리의 나머지 조건도 충족해야 합니다. $5/0$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$, $1^{\pm\infty}$ 같은 거듭제곱에는 직접 적용할 수 없습니다. 일부는 허용되는 몫으로 변형할 수 있지만, 다른 방법이 필요한 경우도 있습니다.

흔히 쓰는 형태에서는 정리의 가정이 성립할 때

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

오른쪽 극한이 유한하거나 적절한 무한 극한으로 존재하면 이 관계를 사용할 수 있습니다. 다가가는 점을 뺀 해당 구간에서 $f$와 $g$가 미분 가능해야 하고, 그곳에서 $g'(x)$가 0이 아니어야 합니다. 원래 두 함수는 모두 0으로 가거나, 살피는 방향에서 두 함수의 절댓값이 모두 끝없이 커져야 합니다. 한쪽 극한이나 무한대에서의 극한에도 각각 조건에 맞춘 형태가 있습니다. OpenStax 미적분학 1권 §4.8은 정리와 변형을 제시하고, Paul's Online Notes는 적용 전에 형태를 확인하도록 강조합니다.

$f'/g'$의 극한이 없더라도 이 시도만으로 결론을 내리지 못했을 수 있습니다. 원래 극한도 없다고 증명한 것은 아닙니다. 반대로 대입해서 $0/0$을 봤다는 것은 첫 번째 확인일 뿐입니다. 근처에서 함수와 분모의 도함수에 관한 조건도 확인해야 합니다. 아래 예제에서는 정의역과 접근 방향을 계속 명시합니다.

경우 1: 0/0이지만 대수가 먼저 해결한다

다음을 보겠습니다.

$$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}.$$

분자와 분모가 모두 0으로 가므로 $0/0$입니다. 표의 첫째 줄에 따르면 정리를 쓸 수 있지만 인수분해가 더 간단합니다. $x\ne3$이면

$$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.$$

원래 분수는 $x=3$ 그 점에서는 정의되지 않지만, 극한은 근처 값을 봅니다. 그 값들에서 분수는 $x+3$과 같으므로 극한은 $6$입니다. 검산으로 분자와 분모를 따로 미분하면 $\lim_{x\to3}2x/1=6$입니다. 두 방법은 일치하지만, 인수분해는 제거 가능한 구멍과 약분 이유를 드러냅니다.

여기에는 방법 선택이 있습니다. 사용 가능하다고 해서 최선인 것은 아닙니다. 인수분해, 유리화, 복잡한 분수의 정리로 미분 전에 장애물이 사라지는 일이 많습니다. 극한 해설에서는 다른 구멍 예제로 한 점에서의 함수값과 극한값을 구분합니다. 여기서는 올바른 방법 중 가장 짧고 분명한 방법을 고르면 됩니다.

경우 2: 5/0은 부정형이 아니다

이제

$$\lim_{x\to0}\frac{5}{x}$$

를 보겠습니다. 분자는 0이나 무한대가 아닌 $5$로 가고, 분모는 0으로 갑니다. 표의 둘째 줄인 $5/0$이므로 로피탈의 정리를 쓸 수 없습니다. 방향을 보면 $x\to0^+$에서 $5/x\to+\infty$이고 $x\to0^-$에서 $5/x\to-\infty$입니다. 양쪽에서의 거동은 분명하지만 양쪽 극한은 존재하지 않습니다.

조건을 무시한 채 위아래를 미분하면 $0/1=0$이라는 잘못된 답을 얻습니다. 정리가 틀린 게 아니라 가정 없이 계산한 것입니다. 미분 전에 적용 여부를 확인하세요. 이 경우 양쪽에서 분모가 갖는 부호가 추가 계산보다 더 많은 정보를 줍니다.

또한 “분모가 0으로 간다”는 사실만으로 극한을 판단할 수 없다는 점도 보여 줍니다. 경우 1도 분모가 0으로 가지만, 거기서는 분자도 0으로 가고 몫은 유한한 값으로 다가갑니다. 처음 형태가 사용할 수 있는 방법을 결정하고, 접근 방향이 양쪽 극한의 존재를 결정합니다.

경우 3: 무한대끼리의 몫

다음 식에서 $x\to+\infty$로 보냅니다.

$$\frac{2x^2+3x}{x^2-1}.$$

분자와 분모가 모두 $+\infty$로 커져 표의 셋째 줄에 있는 $\infty/\infty$ 형태입니다. 충분히 큰 양의 $x$에서는 분모와 그 도함수가 0이 아닙니다. 분자와 분모를 각각 미분합니다.

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+3x}{x^2-1} =\lim_{x\to+\infty}\frac{4x+3}{2x}=2.$$

마지막 단계는 $3/(2x)\to0$이기 때문입니다. 한 번 적용하면 충분합니다. 새 몫의 극한이 이미 분명한데 계속 미분하지 마세요. 대수적인 검산은 더 짧습니다. 원래 식의 분자와 분모를 $x^2$로 나누면 $(2+3/x)/(1-1/x^2)\to2$입니다. 두 방법 모두 이 예제에서 최고차 이차항의 계수가 결과를 결정함을 보여 줍니다.

두 방법을 비교하면 선택에 도움이 됩니다. 미분이 몫을 단순하게 만들면 사용하세요. $x$의 최고차항으로 나누는 것이 즉시 해결한다면 그쪽을 쓰면 됩니다. 여기서 정리가 성립한다고 해서 간단한 대수가 덜 좋은 것은 아닙니다.

경우 4: 거듭제곱은 로그 변형이 필요하다

$x>-1$이고 $x\ne0$일 때, $x\to0$에서 양수 식 $(1+x)^{1/x}$를 살펴봅니다. 밑은 $1$로 가고 지수의 절댓값은 끝없이 커집니다. 이는 부정형인 거듭제곱 형태 $1^{\pm\infty}$입니다. 몫이 아니므로 표의 넷째 줄처럼 정리를 거듭제곱에 직접 적용할 수 없습니다.

$y=(1+x)^{1/x}$로 놓고 양수인 정의역에서 자연로그를 취합니다.

$$\ln y=\frac{\ln(1+x)}{x}.$$

이제 로그 몫의 분자와 분모가 모두 0으로 갑니다. 0 근처에서 둘 다 미분 가능하고 분모의 도함수는 $1$입니다. 정리를 이 몫에 적용합니다.

$$\lim_{x\to0}\ln y =\lim_{x\to0}\frac{1/(1+x)}{1}=1.$$

지수함수는 연속이므로 원래 극한은 $e^1=e$입니다. $x>-1$ 안에서 양쪽 모두 같은 값에 접근합니다. 핵심은 정리가 거듭제곱에 바로 쓰인 것이 아니라 $\ln y$의 극한을 계산했다는 점입니다. 오일러 수 안내는 $e$가 등장하는 극한이 미적분에 자주 나타나는 이유를 설명합니다.

양수가 아닐 수 있는 식에는 정의역을 확인하지 않고 로그를 취하지 마세요. 여기서는 0 근처에서 $1+x>0$이므로 적법합니다. 로그를 취하면 문제가 몫으로 바뀌고, 마지막 지수화는 답을 원래 식으로 돌립니다. 어느 한 단계를 빠뜨리면 논증이 완성되지 않습니다.

서로 다른 두 미분 연산을 혼동하지 않기

로피탈의 정리는 $f/g$의 극한과 $f'/g'$의 극한을 비교합니다. 반면 몫의 미분법은 전체 함수 $f/g$의 도함수를 구합니다.

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$

둘은 다른 대상입니다. 경우 1의 분수는 $x\ne3$에서 $x+3$과 같으므로 근처에서의 보통 도함수는 $1$입니다. 하지만 $x\to3$에서의 극한은 $6$입니다. $f'/g'$ 대신 몫의 미분법 결과를 넣으면 다른 질문에 답하게 됩니다. 경우 2에 $f'/g'$를 쓰는 것 역시 처음 형태가 조건을 충족하지 않아 잘못된 답을 냈습니다.

간단한 판단 순서는 다음과 같습니다. 두 부분을 대입하거나 살펴 형태를 말로 정리하고, 가능하면 간단히 한 뒤 정의역과 정리의 조건을 확인합니다. 적합한 몫을 더 쉽게 만들 때에만 위아래를 따로 미분하세요. 접근 방향도 기호에 남겨 두세요. 연습으로 경우 3의 방향을 $x\to-\infty$로 바꾸어 형태와 답을 새로 확인해 보세요. Math Zen의 극한과 도함수 주제에서 필요한 기초를 한 문제씩 연습할 수 있습니다.

자주 묻는 질문

대입해서 $0/0$이 나오면 언제나 적용할 수 있나요? 후보일 뿐 자동 지시는 아닙니다. 점을 뺀 해당 근방에서 미분 가능한지, 분모의 도함수가 0이 아닌지, 도함수의 몫에 알맞은 극한이 있는지 확인하세요. 먼저 간단한 대수도 시도하세요.

정리를 여러 번 적용할 수 있나요? 새 몫이 조건을 다시 충족하고 한 번 더 적용하면 도움이 된다면 가능합니다. 그때마다 새 형태를 확인하세요. 보통의 극한 계산이 가능해지면 멈춥니다.

왜 몫의 미분법을 쓰지 않나요? 몫의 미분법은 $f/g$의 도함수를 구합니다. 로피탈의 정리는 특별한 조건 아래에서 $f/g$와 $f'/g'$의 극한을 비교합니다. 서로 바꿔 쓸 수 없습니다.

분자가 0으로 가지 않으면 어떻게 하나요? 분모는 0으로 가고 분자는 0이 아닌 유한한 값으로 간다면 $0/0$이 아닙니다. 0 근처의 $5/x$처럼 부호와 한쪽에서의 거동을 살펴야 합니다.