오일러 수 e란? 값이 2.718인 이유와 e의 1제곱

계산기에 "e의 1제곱"을 입력하면 2.718281828이라고 답해요. 이 수가 오일러 수이고, 기호로는 e라고 써요. 복리, 인구 증가, 방사성 붕괴, 확률, 그리고 미적분 전체까지, 수학의 거의 모든 분야가 결국 만나게 되는 몇 안 되는 상수 중 하나예요.

이 글은 먼저 짧은 답을 주고, 그 값이 어디서 나오는지, 값을 계산하는 두 가지 방법, 그리고 미적분이 e를 지수의 자연스러운 밑으로 여기는 이유를 차례로 보여 줘요. 지수 자체가 아직 흔들린다면 지수를 직관적으로 이해하기부터 읽고 돌아오세요.

짧은 답: e란 무엇이고 주요 값은 얼마인가

e의 값은 약 2.71828이에요. 자릿수를 더 쓰면 2.718281828459045...이고, e가 무리수이기 때문에 소수 부분은 끝나지도 반복되지도 않아요 (MathWorld). e는 자연로그와 자연지수함수 $e^{x}$의 밑이에요. 존 네이피어의 이름을 딴 네이피어 상수라고 불리기도 해요 (Wikipedia).

e에 대한 검색 대부분은 사실 몇 가지 값 중 하나를 묻고 있어요. 유효숫자 여섯 자리 이상으로 계산한 값은 다음과 같아요.

식	값	이유
$e^{1}$	2.718282	어떤 수든 1제곱은 자기 자신
$e^{0}$	1	0이 아닌 어떤 수든 0제곱은 1
$e^{-1}$	0.367879	$1/e$ 와 같음
$e^{2}$	7.389056	$e \times e$
$e^{1/2}$	1.648721	$\sqrt{e}$ 와 같음
$\ln e$	1	자연로그는 $e^{x}$를 되돌림

그러니 e의 1제곱은 그냥 e, 약 2.71828이에요. 1제곱에서 특별한 일이 일어나는 것은 아니고, 특별한 것은 밑 자체예요.

e는 어디서 나왔나: 복리

야코프 베르누이는 1683년 연속 복리를 연구하다가 이 수를 만났고, 그 값이 2와 3 사이에 있어야 함을 보였어요 (MacTutor). 그의 질문은 쉽게 말할 수 있어요.

연 100% 이자를 주는 계좌에 1달러를 넣는다고 해 봐요. 연말에 한 번 지급하면 2달러가 돼요. 이제 같은 100%를 n번의 더 작은 지급으로 나누고, 각 지급이 잔액의 $1/n$ 만큼 더해지며 앞선 지급에 대해서도 이자가 붙게 해요. 1년 뒤의 금액은

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$$

달러예요. 복리 계산을 자주 할수록 더 많이 받지만 끝없이 늘지는 않아요.

복리 주기	n	1년 후 잔액
연 1회	1	2.000000
연 2회	2	2.250000
분기	4	2.441406
월	12	2.613035
일	365	2.714567
시간	8,760	2.718127
연속	n이 한없이 커짐	2.718282 = e

월 복리에서 일 복리로 바꾸면 약 10센트가 늘어요. 일 복리에서 시간 복리로 바꾸면 0.5센트도 늘지 않아요. 잔액은 결코 넘지 못하는 천장을 향해 기어오르고, 그 천장이 e예요. OpenStax 미적분 교재도 정확히 이렇게 정의해요. m이 커지면 $\left(1 + 1/m\right)^{m}$ 이 어떤 수에 가까워지는데, 그 수를 e라고 부른다는 거예요 (OpenStax Calculus Volume 1, 1.5절). 이율 r로 t년이 지나면 같은 아이디어가 연속 성장 공식 $A = Pe^{rt}$ 를 줘요.

서로 일치하는 두 정의와 각각이 얼마나 빨리 도달하는가

같은 수로 가는 두 번째 길이 있어요. 각 팩토리얼의 역수를 더하는 거예요.

$$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$$

MathWorld는 두 형태를 모두 e의 정의로 들고 있고, 오일러는 1748년 『무한해석 입문』(Introductio in analysin infinitorum)에서 둘을 나란히 놓았으며, 거기서 e를 소수 18자리까지 계산해 냈어요 (MacTutor). 두 정의는 같은 수를 만들지만 속도는 크게 달라요. 직접 계산한 수렴 경주는 다음과 같고, 목표는 e의 소수 다섯 자리인 2.71828이에요.

수렴 경주: 극한 대 급수

극한 $\left(1 + 1/n\right)^{n}$	값	급수, 사용한 항 수	부분합
n = 1	2.000000	2항 (1/1!까지)	2.000000
n = 10	2.593742	4항 (1/3!까지)	2.666667
n = 100	2.704814	6항 (1/5!까지)	2.716667
n = 1,000	2.716924	8항 (1/7!까지)	2.718254
n = 100,000	2.718268	9항 (1/8!까지)	2.718279
n = 1,000,000	2.718280	10항 (1/9!까지)	2.718282

급수는 10항이면 2.71828에 고정돼요. 극한은 n이 약 743,000이 되어야 비로소 처음 2.71828을 보여 주고, 백만 단계에서도 소수 여섯째 자리는 여전히 틀려요. 이유는 오차의 크기에 있어요. 새 팩토리얼 항은 직전 항보다 훨씬 작아서 급수의 오차는 어떤 거듭제곱보다도 빨리 줄어요. 반면 극한의 오차는 대략 $e/(2n)$ 처럼 줄어서, 단계를 열 배 늘려도 맞는 자릿수는 하나 정도만 늘어요.

실용적인 교훈은 이래요. 극한은 e가 왜 존재하는지(복리 성장의 천장이라는 점)를 설명하고, 급수는 e를 실제로 계산하는 방법이에요.

미적분이 e를 선호하는 이유

$b > 0$ 인 모든 지수함수 $b^{x}$ 는 갈수록 더 빨리 오르거나 내리는 곡선이에요. 임의의 점에서의 기울기는 그 점의 높이에 비례해요. 대부분의 밑에서는 그 비례 상수가 어정쩡한 값이에요. $2^{x}$ 의 기울기는 높이의 약 0.693배이고, $3^{x}$ 는 약 1.099배예요.

그 상수가 정확히 1이 되는 밑이 딱 하나 있고, 그때는 모든 점에서 기울기가 높이와 같아요. 그 밑이 e예요. OpenStax는 도함수 장에서 e를 이렇게 정의해요. $x = 0$ 에서 기울기가 1인 지수함수의 유일한 밑이고, 거기서

$$\frac{d}{dx}\, e^{x} = e^{x}$$

이 나와요 (OpenStax Calculus Volume 1, 3.9절). 자기 자신이 도함수인 함수 덕분에 성장을 다루는 미적분은 거의 공짜가 돼요. $e^{x}$ 를 미분해도 변하지 않고, 적분해도 변하지 않아요. 기울기로서의 도함수가 낯설다면 도함수 처음부터 배우기가 차근차근 쌓아 줘요.

ln으로 쓰는 자연로그는 $e^{x}$ 의 역함수예요. $x > 0$ 에서 $\ln(e^{x}) = x$ 이고 $e^{\ln x} = x$ 이죠. 도함수도 똑같이 깔끔해서 $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ 예요. 그래서 과학자들은 밑 e를 "자연스럽다"고 해요. 공식이 가장 짧아지는 밑이기 때문이에요. 밑 10, 밑 2와 함께 ln을 다룬 로그를 직관적으로 이해하기 글도 참고하세요.

앞 절의 급수도 우연이 아니에요. $e^{x}$ 의 매클로린 급수는 $\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}/n!$ 이고 (OpenStax Calculus Volume 2, 6.3절), $x = 1$ 을 넣으면 e의 팩토리얼 합이 나와요.

오일러 수, 오일러 상수, 오일러 등식

오일러의 이름이 너무 많은 결과에 붙어 있어서, 검색에서는 서로 다른 세 가지가 뒤섞여요.

이름	기호와 값	정체
오일러 수	e ≈ 2.71828	자연로그의 밑, 위의 극한과 급수
오일러 상수 (오일러-마스케로니)	γ ≈ 0.57722	n이 커질 때 $1 + \tfrac{1}{2} + \cdots + \tfrac{1}{n} - \ln n$ 의 극한
오일러 등식	$e^{i\pi} + 1 = 0$	e, i, π, 1, 0 을 잇는 등식

알려진 내용도 서로 달라요. e는 무리수임이 증명되었고, 1873년 샤를 에르미트가 초월수임까지 증명했어요 (MathWorld). γ는 무리수인지조차 아직 모르고요 (MathWorld, 오일러-마스케로니 상수). 그리고 오일러 등식은 수가 아니라 e의 허수 거듭제곱에 대한 진술이에요. 오일러 등식 해설에서 $e^{i\pi}$ 가 왜 -1에 닿는지 볼 수 있어요.

e에서 자주 하는 실수

e를 변수로 취급하기. $e^{x}$ 에서 변하는 것은 x이고 e는 변하지 않아요. $e^{x} = 5$ 를 푼다는 것은 양변에 ln을 취한다는 뜻이에요. $x = \ln 5 \approx 1.609$.

너무 일찍 반올림하기. $e^{3}$ 에서 e 대신 2.7을 쓰면 20.0855가 아니라 19.683이 나와요. 마지막 단계까지 계산기의 e를 그대로 두세요.

$e^{-1}$ 과 $-e$ 를 혼동하기. 음의 지수는 역수를 뜻해요. $e^{-1} = 1/e \approx 0.3679$ 는 양수예요. $-e \approx -2.718$ 은 다른 수예요.

ln과 log 혼동하기. 대부분의 계산기에서 "log"는 밑 10, "ln"은 밑 e를 뜻해요. $\ln e = 1$ 이지만 $\log e \approx 0.4343$ 이에요.

e로 연습하기

확인하기 전에 먼저 풀어 보세요.

1. 계산기 없이 $e^{0}$, $e^{1}$, $\ln 1$ 은 각각 얼마일까요?
2. $e^{2} \cdot e^{3}$ 과 $\ln\left(e^{7}\right)$ 을 간단히 하세요.
3. $e^{x} = 1$ 을 푸세요.

정답: 1, e, 0 / $e^{5}$ 과 7 / $x = 0$.

Math Zen의 로그 연습에서는 ln과 밑 변환을 반복하고, 함수 연습에는 지수함수가 들어 있어요. 문제 하나씩 풀면서 이 규칙들을 습관으로 만들어 보세요.

자주 묻는 질문

e는 유리수인가요?

아니요. e는 무리수이고 소수 부분은 끝나지도 반복되지도 않아요. 에르미트는 1873년에 e가 초월수라는 것도 증명했어요. 유리수 계수를 갖는 0이 아닌 어떤 다항식의 근도 아니라는 뜻이에요.

왜 e라고 부르나요?

레온하르트 오일러는 1731년 크리스티안 골드바흐에게 보낸 편지에서, 그리고 1736년 인쇄물에서 이 문자를 썼어요. 왜 e를 골랐는지는 확실히 알려져 있지 않아요. 자기 이름의 머리글자를 골랐다는 이야기는 역사가들이 뒷받침하지 않아요.

e^2 은 얼마인가요?

약 7.389예요. e를 자기 자신과 곱한 값이고, $2.71828 \times 2.71828$ 이에요.

e의 0제곱은 얼마인가요?

정확히 1이에요. 0이 아닌 어떤 수든 0제곱은 1이에요.