음함수 미분법 예제: 단계별 풀이와 접선 검산

방정식 $x^2+y^2=25$는 원을 나타냅니다. 이 식은 $y$를 $x$에 대한 하나의 공식으로 나타내지 않습니다. 대부분의 $x$ 값에서 원의 윗부분과 아랫부분에 서로 다른 두 $y$ 값이 있기 때문입니다. 그래도 각 부분의 지정된 점에서 접선의 기울기를 구할 수 있습니다. 음함수 미분법에서는 그 점 근처에서 $y$를 $x$의 함수로 보고 관계식 자체를 미분합니다. 아래에서는 계산을 단계별로 진행하고 각 점이 원래 곡선 위에 있는지 확인하며, 일반적인 기울기 공식이 어디에서 적용되지 않는지도 살펴봅니다.

기울기의 뜻부터 복습하려면 도함수에 관한 안내를 읽어 보세요. 연쇄법칙 예제는 $y$가 들어 있는 식을 미분할 때 왜 인수가 하나 더 붙는지 설명합니다. 여기서는 그 규칙을 두 변수가 함께 있는 방정식에 적용합니다.

y가 정리되어 있지 않으면 무엇이 달라질까요?

$y=x^2+1$ 같은 양함수는 미분하면 $dy/dx=2x$입니다. 하지만 $x^2+y^2=25$ 같은 관계식에서는 점이 곡선을 따라 움직일 때 두 좌표가 모두 변합니다. 곡선을 국소적으로 $y(x)$라고 쓸 수 있는 곳에서 $y^2$는 $(y(x))^2$입니다. 따라서 연쇄법칙에 따라

$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}.$$

$dy/dx$ 인수는 빠뜨리기 쉽습니다. 하지만 임의로 덧붙이는 기호가 아닙니다. 제곱은 입력 $y$가 변해서 변하고, $y$는 $x$에 따라 변합니다. 같은 이유로 $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$이며 $d(\sin y)/dx=\cos y(dy/dx)$입니다. $xy$처럼 두 변수를 곱한 항에는 곱의 미분법도 필요합니다: $d(xy)/dx=y+x(dy/dx)$. Math Insight의 Paul Garrett 설명에는 이 두 규칙을 함께 쓰는 예제가 있습니다.

예제가 바뀌어도 순서는 같습니다.

1. 지정된 점을 원래 방정식에 넣어 확인합니다. 곡선 밖의 점에서 그 곡선의 접선 기울기를 구할 수는 없습니다.
2. 모든 항을 $x$에 대해 미분합니다. 미분한 항이 $y$에 의존하면 $dy/dx$를 붙입니다.
3. $dy/dx$가 있는 항을 모아 인수로 묶습니다. 남은 인수가 0이 아닐 때만 나눕니다.
4. 점을 대입한 뒤 곡선의 국소적인 모양, 명시적인 가지 또는 접선의 방정식과 기울기를 비교합니다.

미분하기 전에 점의 좌표를 대입하지 마세요. 변하는 좌표를 상수로 바꾸면 구하려는 변화 자체가 사라집니다. 또 나누기 전의 미분 방정식을 남겨 두세요. 최종 분수의 분모가 0이 되는 곳에서 수직 접선을 파악하는 데 도움이 됩니다.

예제 1: 원의 일반 접선

$x^2+y^2=25$의 $(3,4)$에서 기울기를 구해 보겠습니다. 먼저 점을 확인하면 $3^2+4^2=9+16=25$이므로 원 위에 있습니다. $y$를 $y(x)$로 보면서 양변을 미분합니다.

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

$2x$를 오른쪽으로 옮기고, $y\ne0$일 때에만 $2y$로 나눕니다.

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y},\qquad y\ne0.$$

$(3,4)$에서 기울기는 $-3/4$입니다. 이 점을 지나는 접선은 $y-4=-(3/4)(x-3)$입니다. 원의 윗부분에서 조금 오른쪽으로 가면 높이가 낮아지므로 음수 부호도 자연스럽습니다. 음함수 미분 계산과 별도로 검산할 수도 있습니다. 윗부분은 $-5<x<5$에서 $y=\sqrt{25-x^2}$로 쓸 수 있고 도함수는 $-x/\sqrt{25-x^2}$입니다. $x=3$을 넣으면 역시 $-3/4$가 됩니다. 아랫부분은 같은 $x$에서도 $y$ 값이 다르므로 기울기도 다릅니다.

가지를 확인해야 하는 이유는 원 전체가 하나의 전역 함수 $y(x)$가 아니기 때문입니다. 음함수 미분은 지정된 점을 지나는 국소적인 가지의 기울기를 구합니다. 같은 $x$에 여러 점이 대응한다면 $y$ 좌표를 버려서는 안 됩니다.

하나의 곡선에 두 가지 접선

같은 원에서 $(5,0)$으로 옮겨 보겠습니다. $5^2+0^2=25$이므로 이 점도 원 위에 있습니다. $-x/y$에 대입하면 0으로 나누게 됩니다. 그렇다고 수치 기울기를 제시하거나 접선이 없다고 말하면 틀립니다. 나누기 전 방정식으로 돌아갑니다.

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

$(5,0)$에서 유한한 $dy/dx$가 있다면 $10+0(dy/dx)=0$이어야 합니다. 어떤 유한한 수도 이를 만족하지 않습니다. 기하학적으로 원은 가장 오른쪽 점에 도달한 뒤 되돌아갑니다. 그곳의 접선은 수직선 $x=5$이고 $dy/dx$는 정의되지 않습니다. 원은 곡선으로서 여전히 매끄럽습니다. 다만 그 점 근처에서 $x$의 미분 가능한 함수로 나타낼 수 없습니다.

역할을 바꿔 $x$를 국소적으로 $y$의 함수로 생각하는 방법도 있습니다. 그러면 $2x(dx/dy)+2y=0$이고 $x\ne0$일 때 $dx/dy=-y/x$입니다. $(5,0)$에서는 $dx/dy=0$입니다. $y$를 조금 바꿔도 $x$는 더 높은 차수에서만 변하므로 수직 접선의 모습과 맞습니다. $(0,5)$에서는 반대로 $dy/dx=0$이어서 접선이 수평입니다. 이 설명은 곡선의 기하학적 성질을 확인할 뿐, 어느 공식에서든 0으로 나누어도 된다는 뜻은 아닙니다.

예제 2: 곱셈 항이 있는 세 항의 식

$x^2+xy+y^2=7$의 $(1,2)$에서 $dy/dx$를 구합니다. 먼저 $1+2+4=7$로 점을 확인합니다. 항별로 미분하면 $x^2$는 $2x$, 곱 $xy$는 $y+x(dy/dx)$, $y^2$는 $2y(dy/dx)$가 됩니다.

$$2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

도함수가 있는 항을 모아 인수분해합니다.

$$(x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+y),\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}\quad\text{단 }x+2y\ne0.$$

$(1,2)$에서 분자는 $4$, 분모는 $5$이므로 기울기는 $-4/5$입니다. 접선은 $y-2=-(4/5)(x-1)$입니다. 답을 나누기 전의 미분 방정식에 직접 대입하면 $2(1)+2+1(-4/5)+2(2)(-4/5)=4-4=0$입니다. 이 대입은 곱의 미분법에서 나온 항과 마지막 분수를 동시에 확인합니다. 만약 $xy$를 $x(dy/dx)$로만 미분하면 독립적인 $y$ 항이 사라져 잘못된 기울기가 나옵니다.

$x+2y\ne0$ 조건은 지정된 점에서 충족되더라도 답의 일부입니다. 곡선의 다른 점에서 분모가 0이 된다면 원의 예제처럼 나누기 전 식을 따로 살펴야 합니다. 기호로 된 분수 하나가 곡선의 모든 접선 문제를 해결해 주지는 않습니다.

예제 3: 삼차 관계식

$y^3+xy=2$를 $(1,1)$에서 살펴봅시다. 점의 확인은 $1^3+1\cdot1=2$입니다. $y^3$에는 연쇄법칙, $xy$에는 곱의 미분법을 적용합니다.

$$3y^2\frac{dy}{dx}+y+x\frac{dy}{dx}=0.$$

인수로 묶으면

$$(3y^2+x)\frac{dy}{dx}=-y,\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{3y^2+x}\quad\text{단 }3y^2+x\ne0.$$

$(1,1)$에서 결과는 $-1/4$이므로 접선은 $y-1=-(1/4)(x-1)$입니다. 미분 방정식에 답을 다시 대입하면 $3(-1/4)+1+(-1/4)=0$입니다. 이 짧은 검산으로 계수 3을 빠뜨리거나 부호를 잘못 쓴 경우를 찾을 수 있습니다. 이것만으로 전체 유도 과정을 증명하지는 못하지만 마지막 점검으로 쓸 만합니다.

연쇄법칙 인수를 빠뜨린 오류

누군가 $x^2+y^2=25$를 $2x+2y=0$으로 미분했다고 해 봅시다. 이것은 접선 기울기를 구하는 방정식이 아닙니다. 원의 관계식이 $x$에 따른 $y$의 변화를 정하는데도, $dy/dx=1$이라고 가정한 셈입니다. $(3,4)$를 넣으면 $6+8=0$이라는 즉각적인 모순이 나옵니다. 올바른 식 $2x+2y(dy/dx)=0$은 $6+8(-3/4)=0$을 줍니다.

또 다른 함정은 먼저 나누고 조건을 잊는 것입니다. $-x/y$는 $y\ne0$인 곳에서만 유효하며 $(\pm5,0)$을 원에서 없애 버리지 않습니다. 원래 관계식, 점의 확인, 나누기 전 미분 방정식을 함께 남겨 두세요. 분수가 정의되지 않는 곳에서 실제로 무슨 일이 일어나는지 판단할 수 있습니다.

변수가 $x$가 아닌 시간에 따라 변한다면 같은 연쇄법칙은 관련 변화율 문제에 쓰입니다. 그때는 적절한 시간 미분을 쓰고 단위도 확인해야 합니다. 필요한 미분 규칙은 Math Zen의 도함수 연습 주제에서 연습할 수 있습니다. 스스로 확인하려면 예제 2를 다른 유효한 점에서 다시 풀되, 그 점이 실제로 곡선 위에 있는지 먼저 확인하세요.

자주 묻는 질문

왜 $y$를 미분할 때마다 $dy/dx$가 필요한가요? 국소적인 가지에서 $y$가 $x$와 함께 변하기 때문입니다. 연쇄법칙에 따라 $y$에 대한 도함수에 $dy/dx$를 곱합니다. 예를 들어 $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$입니다.

먼저 $y$를 정리해도 되나요? 가능합니다. 다만 올바른 가지와 정의역을 선택해야 합니다. 원의 위쪽 가지는 $(3,4)$에서 같은 기울기를 줍니다. 명시적으로 풀기 어렵거나 여러 가지가 나올 수 있으므로 관계식을 직접 미분하는 방법이 유용합니다.

$dy/dx$가 정의되지 않으면 언제나 수직 접선인가요? 아닙니다. 분수가 정의되지 않으면 원래 곡선과 나누기 전 미분 방정식을 확인하세요. 이 원의 $(5,0)$에서는 기하학적 모양과 $dx/dy=0$이 수직 접선을 확인해 줍니다. 다른 곡선의 특이점은 다르게 행동할 수 있습니다.

풀이 뒤에 가장 빠르게 검산하는 방법은 무엇인가요? 점이 원래 곡선에 있는지 확인하고, 기울기를 나누기 전 미분 방정식에 대입한 다음, $dy/dx$를 정리할 때 나눈 모든 분모를 확인하세요. 각각 다른 종류의 오류를 찾아냅니다.