관련 변화율 예제: 사다리, 원뿔, 그림자

10피트 길이의 사다리가 벽을 따라 내려오고 밑부분은 벽에서 멀어집니다. 사다리 길이와 밑부분의 속도는 알고, 윗부분의 속도를 구해야 합니다. 그림과 피타고라스 정리로 식을 만들 수 있지만, 속도를 구하려면 그 식을 시간에 관해 미분해야 합니다. 사다리 길이는 일정해도 수평 거리와 높이는 모두 변합니다.

세 가지 기하학적 상황에 같은 다섯 가지 기록을 사용합니다. 변수, 운동 중 계속 성립하는 관계식, 알려진 속도와 특정 순간, 구하는 속도, 부호와 단위 검산입니다. 숫자를 너무 일찍 넣거나 같은 그림의 두 속도를 혼동하는 일을 줄여 줍니다. 방법은 OpenStax Calculus 제1권 §4.1을 따르고, 여기의 수치 예제는 별도로 만들었습니다. 도함수의 뜻이 낯설다면 도함수 안내를 먼저 읽어 보세요.

계산 전에 변하는 양을 정의하기

시간을 $t$로 두고 변하는 길이를 $x(t)$, $y(t)$ 같은 함수로 표시합니다. 양의 방향도 정합니다. $x$가 벽까지의 거리이고 밑부분이 $2\text{ ft/s}$로 멀어진다면 $dx/dt=+2\text{ ft/s}$입니다. 높이가 감소하면 $dy/dt<0$입니다. 아래로 내려가는 '빠르기'를 묻는다면 양의 크기 $|dy/dt|$가 답입니다.

운동 중 성립하는 기하학적 또는 물리적 관계를 적습니다. 길이를 변수로 둔 상태에서 $t$로 미분합니다. 여기서 연쇄법칙을 사용합니다: $d[x(t)^2]/dt=2x\,dx/dt$. 그다음 특정 순간의 길이와 알려진 속도를 넣습니다. 마지막으로 부호와 차원을 확인합니다. 길이의 도함수 단위는 길이/시간, 부피의 도함수 단위는 부피/시간입니다.

기록	확인할 질문
변수	무엇이 변하고 어느 방향이 양수인가?
관계식	관련된 모든 순간에 어떤 식이 성립하는가?
해당 순간의 값	지금 알려진 길이와 부호 있는 속도는 무엇인가?
구하는 속도	어떤 도함수를 풀어야 하는가?
검산	방향과 단위가 타당한가?

코넬대학교 미적분 연습 자료도 다양한 도형에 같은 일반적인 사고를 적용합니다. 표는 미분식뿐 아니라 각 양의 의미를 보이게 합니다.

예제 1: 미끄러지는 사다리

변수. $x(t)$는 밑부분의 벽까지 거리, $y(t)$는 윗부분의 높이이며 단위는 피트입니다. 거리와 높이가 증가하는 방향이 양수입니다. 단단한 사다리의 길이는 $10\text{ ft}$입니다. 주어진 순간 $x=6\text{ ft}$, $dx/dt=+2\text{ ft/s}$입니다. $dy/dt$를 구합니다.

관계식. 직각삼각형에서 $x^2+y^2=100$입니다. $x=6$일 때 양의 높이는 $y=\sqrt{100-36}=8\text{ ft}$입니다. 하지만 미분 전에 관계식의 $x$를 6으로 고정하지 마세요. 그 순간 앞뒤로 $x$는 변합니다.

미분한 뒤 대입. 오른쪽은 상수이므로

$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0, \qquad \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.$$

따라서 $dy/dt=-(6/8)(2)=-1.5\text{ ft/s}$입니다. 답과 검산. 윗부분 높이가 낮아지므로 부호 있는 수직 속도는 음수입니다. 아래로 내려가는 속력의 크기는 $1.5\text{ ft/s}$입니다. $x/y$는 무차원이므로 곱의 단위는 $dx/dt$와 같습니다. 이 좌표에서 $dy/dt$가 양수로 나오면 부호를 살펴야 합니다.

사다리가 바닥에 가까워질수록 $y$가 작아지고 이상화된 식의 속도 크기는 커집니다. 이는 수평 속도를 지정한 단단한 사다리 모델의 성질이지, 실제 사다리가 끝까지 같은 방식으로 움직인다는 예측이 아닙니다. 답은 지정된 순간에만 해당합니다.

예제 2: 원뿔에 물 채우기

꼭짓점이 아래인 원뿔형 탱크의 전체 높이는 $12\text{ cm}$, 맨 위 반지름은 $4\text{ cm}$입니다. 물이 $dV/dt=+6\pi\text{ cm}^3/\text{s}$로 들어옵니다. 물 깊이가 $h=6\text{ cm}$일 때 수면은 얼마나 빨리 올라갈까요?

변수. 물 깊이 $h(t)$와 수면 반지름 $r(t)$가 둘 다 변하고 부피 $V(t)$도 변합니다. 관계식. 닮은 삼각형에서 $r/h=4/12=1/3$, 즉 $r=h/3$입니다. 물 원뿔의 부피는 $V=(\pi/3)r^2h$입니다. 이제 변수 사이의 관계를 대입하여 $V=(\pi/27)h^3$으로 씁니다. $h$를 특정 순간의 숫자로 고정한 것은 아닙니다.

미분한 뒤 대입. 연쇄법칙으로

$$\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{9}h^2\frac{dh}{dt}.$$

$h=6\text{ cm}$에서 $6\pi=(\pi/9)(36)\,dh/dt=4\pi\,dh/dt$이므로 $dh/dt=1.5\text{ cm/s}$입니다. 검산. 양수는 수면 상승과 맞습니다. $(\pi/9)h^2$의 단위는 넓이이므로 부피/시간을 나누면 길이/시간이 남습니다. 이때 $r=2\text{ cm}$입니다. 탱크의 고정된 윗부분 반지름 4와 현재 물 표면 반지름 2를 혼동하면 잘못된 속도가 나옵니다.

다른 방법으로 $V=(\pi/3)r^2h$를 $dr/dt$와 $dh/dt$를 모두 포함하여 미분하고, $dr/dt=(1/3)dh/dt$를 써도 같은 답입니다. 미분 전에 $r=h/3$으로 줄이면 변하는 길이가 하나만 남아 더 간단합니다.

예제 3: 걷는 사람과 그림자

램프가 평평한 지면 위 $6\text{ m}$에 있습니다. 키 $2\text{ m}$인 사람이 램프에서 직선으로 $dx/dt=+1.5\text{ m/s}$의 속도로 멀어집니다. 사람까지 거리를 $x(t)$, 그림자 길이를 $s(t)$라고 합니다. 그림자 길이의 증가율과 끝점의 이동 속도를 각각 구하세요.

변수. 램프에서 멀어지는 방향이 양수입니다. 그림자 끝은 램프에서 $x+s$ 떨어져 있습니다. 따라서 $ds/dt$와 $d(x+s)/dt$는 서로 다른 속도입니다. 관계식. 닮은 삼각형으로 램프 높이와 끝점까지 거리, 사람 키와 그림자 길이를 비교하면

$$\frac{6}{x+s}=\frac{2}{s}.$$

교차 곱하면 $6s=2x+2s$이고, 따라서 $s=x/2$입니다. 이 관계는 이상화된 직선 기하에서 성립합니다. 미분: $ds/dt=(1/2)dx/dt=0.75\text{ m/s}$입니다. 이것은 그림자 길이의 증가 속도입니다.

끝점과 검산. 끝점 위치 $p=x+s=3x/2$이므로 $dp/dt=dx/dt+ds/dt=1.5+0.75=2.25\text{ m/s}$입니다. 끝점은 사람보다 빨리 움직이며, 그 속도는 그림자 길이의 증가율만이 아닙니다. 두 속도 모두 양수이고 단위는 미터/초입니다. 사람이 멈춰 $dx/dt=0$이면 두 도함수도 0이라는 간단한 극한 상황 검산이 가능합니다.

결과를 사용하고 문제 설정 검토하기

세 예제 모두 운동 중 참인 관계식을 먼저 쓰고, 그다음 한 순간의 수치를 대입했습니다. 그러나 해석은 다릅니다. 사다리 높이는 감소하고, 원뿔의 수위는 부피 유입량에 따라 증가하며, 그림자에는 서로 다른 두 양의 속도가 있습니다. 다섯 기록 항목으로 세 개의 별도 요령을 암기하지 않고도 비교할 수 있습니다.

연습할 때 기하학은 그대로 두고 주어진 속도 하나만 바꿔 보세요. 같은 $x=6\text{ ft}$에서 사다리 밑부분이 $1\text{ ft/s}$로 나가면 윗부분 속도는 절반인 $-0.75\text{ ft/s}$가 됩니다. 같은 수심에서 물 유입 속도가 두 배면 $dh/dt$도 두 배입니다. 비례성 검사는 산술 오류를 찾지만 기하학적 관계식의 도출을 대신하지는 못합니다. Math Zen에서는 필요한 미분 규칙을 한 문제씩 연습할 수 있고, AP Calculus 준비는 이를 다른 미분 응용과 연결합니다.

마지막으로 문제에서 요구한 대상을 다시 읽으세요. 사다리 밑부분, 윗부분, 수위, 그림자 길이, 그림자 끝 중 무엇인가요? 최종 도함수 옆에 그 이름을 쓰세요. 다른 양의 속도를 정확히 계산해도 답이 아닙니다. 선택한 양의 방향과 부호를 비교하고 단위를 정리하는 두 가지 짧은 검사로 그럴듯한 오류를 잡을 수 있습니다.