이항분포 예제: 정확히, 적어도, 많아야의 확률 구하기

동전을 다섯 번 던져 정확히 세 번 앞면이 나올 확률을 구한다고 해 볼게요. 앞면-앞면-뒷면-앞면-뒷면처럼 특정한 순서 하나의 확률은 쉽게 계산할 수 있어요. 하지만 이 순서만 앞면 세 번을 만드는 것은 아니에요. 이항분포 계산은 한 순서의 확률을 구하고, 조건에 맞는 모든 순서의 개수까지 세어요.

이 글의 이항분포 예제에서는 정확한 성공 횟수, 적어도 한 번의 성공, 많아야 두 번의 성공을 차례로 구해요. 공식을 쓰기 전에 그 상황이 공식의 조건에 맞는지 먼저 확인하세요. 확률이라는 말 자체가 낯설다면 확률 기초 설명부터 읽어 보세요.

이항분포의 네 가지 조건 확인하기

이항모형은 반복되는 시행에서 성공 횟수를 세어요. OpenStax의 이항분포 설명은 네 부분으로 확인할 수 있는 모형을 다뤄요.

1. 고정된 시행 횟수: 결과를 보기 전에 $n$을 정해요.
2. 시행마다 두 가지 결과: 질문에 맞춰 각 결과를 성공이나 실패로 분류해요.
3. 독립적인 시행: 한 결과를 알아도 다른 시행의 확률은 달라지지 않아요.
4. 일정한 성공 확률: 모든 시행에 같은 $p$가 적용돼요.

네 조건이 모두 맞으면 $X$를 성공 횟수라고 놓을 수 있어요. $X$는 0부터 $n$까지의 정수예요. 성공이라는 이름이 좋은 결과를 뜻하지는 않아요. 불량 부품을 세고 있다면, 세기로 정한 사건이 불량이므로 수학적으로는 불량 부품이 성공이에요.

서로 독립적인 문제 다섯 개가 있고 각 문제를 맞힐 확률이 $p=0.4$라고 해 볼게요. 문제 수는 다섯 개로 고정하고, 정답을 성공이라고 부르며, 독립성을 가정하고, 매번 확률을 0.4로 둬요. 그러면 이항모형을 쓸 수 있어요.

확률 공식 만들기

$n$번의 시행에서 정확히 $k$번 성공하려면 먼저 특정 순서 하나를 생각해요. 성공 확률이 $p$이면 실패 확률은 $1-p$예요. 시행이 독립적이므로 성공 $k$번, 실패 $n-k$번인 한 순서의 확률은 $p^k(1-p)^{n-k}$예요.

이제 가능한 순서를 세어요. $n$개의 시행 자리 중 성공할 $k$자리를 고르는 방법은 $\binom{n}{k}$가지예요. 모든 순서의 확률이 같으므로 다음과 같아요.

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\qquad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

예를 들어 다섯 번 중 세 번 성공하는 순서는 $\binom{5}{3}=10$가지예요. 열 가지를 모두 나열할 필요는 없어요. 순서를 세는 항이 낯설다면 순열과 조합 안내 글에서 성공할 자리를 고르는 일이 왜 순서 문제가 아니라 조합 문제인지 살펴보세요.

규모를 빠르게 확인할 때 이 모형의 평균 성공 횟수는 $np$, 분산은 $np(1-p)$예요. OpenStax도 이 값을 제시해요. 둘 다 분포 전체의 요약값이며 특정 성공 횟수의 확률을 대신하지는 못해요. 분산과 표준편차의 차이는 이 설명을 참고하세요.

예제 1: 정확히 세 번 성공

정답을 맞힐 확률이 각각 $p=0.4$인 독립적인 문제 다섯 개로 돌아가 볼게요. 정확히 세 문제를 맞힐 확률을 구해요. 시행 횟수는 $n=5$, 구하려는 성공 횟수는 $k=3$이에요. 계산기를 누르기 전에 값을 대입해요.

$$\begin{aligned} P(X=3)&=\binom{5}{3}(0.4)^3(0.6)^2\\ &=10(0.064)(0.36)\\ &=0.2304. \end{aligned}$$

따라서 확률은 $23.04\%$예요. $10$은 세 정답이 나타날 수 있는 자리의 경우의 수예요. 이 수를 빼면 $0.02304$가 되는데, 이는 정답, 정답, 오답, 정답, 오답처럼 특정한 순서 하나의 확률일 뿐이에요. 정확한 성공 횟수를 구할 때 가장 흔히 빠뜨리는 부분이 바로 이 경우의 수예요.

지수도 풀이를 점검해 줘요. 성공 세 번과 실패 두 번을 합치면 시행 다섯 번이에요. 두 지수의 합이 $n$이 아니라면 계산을 멈추고 식을 확인하세요. 이어지는 계산에서는 정확한 소수 $0.2304$를 유지하고 최종 답을 말할 때만 반올림하는 습관이 좋아요.

예제 2: 적어도 한 번 성공

독립적인 시도 네 번의 성공 확률이 각각 $0.3$이라고 해 볼게요. 적어도 한 번 성공할 확률을 구해요. 여기에는 한 번, 두 번, 세 번, 네 번 성공이 모두 들어가요. 네 이항항을 더할 수도 있지만, 여사건인 성공 0번을 빼는 편이 짧아요.

$$\begin{aligned} P(X\geq1)&=1-P(X=0)\\ &=1-\binom{4}{0}(0.3)^0(0.7)^4\\ &=1-0.2401=0.7599. \end{aligned}$$

답은 $75.99\%$예요. 여사건을 고르기 전에 말로 확인해 보세요. “적어도 한 번”이 성립하지 않는 경우는 한 번도 성공하지 못할 때뿐이에요. 반면 “적어도 두 번”의 여사건에는 성공 0번과 1번이 들어가요. 그 경우 $P(X=0)$만 빼면 틀려요.

$P(X=0)=(1-p)^n$이라는 점도 보세요. 성공이 없는 순서는 정확히 하나이므로 조합항은 1이에요. 이 간단한 식은 시행의 확률이 모두 같고 서로 독립적이어서 성립해요.

예제 3: 많아야 두 번 성공

이번에는 여섯 번의 독립 시행에서 성공 확률을 각각 $p=0.25$로 두어요. “많아야 두 번”은 성공 0번, 1번, 2번을 뜻해요. 서로 겹치지 않는 세 경우만 더해요.

$$\begin{aligned} P(X\leq2)&=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\ &=\binom{6}{0}(0.25)^0(0.75)^6 +\binom{6}{1}(0.25)^1(0.75)^5 +\binom{6}{2}(0.25)^2(0.75)^4\\ &=0.177978515625+0.35595703125+0.296630859375\\ &=0.83056640625\approx0.8306. \end{aligned}$$

약 $83.06\%$예요. 여기서 직접 더하면 세 항이에요. 여사건 $1-P(X\geq3)$을 쓰면 네 항이 필요해 더 번거로워요. 경계값이 커질 때는 양쪽의 항 수를 비교하고 짧은 쪽을 계산하세요. 계산기의 누적 이항확률 기능도 도움이 되지만 부등식은 정확히 설정해야 해요. $P(X\leq2)$에는 성공 두 번이 포함되고 $P(X<2)$에는 포함되지 않아요.

중간 소수를 너무 일찍 반올림하면 최종 소수점 자리의 합이 조금 달라질 수 있어요. 더할 때는 충분한 자릿수를 유지하고 마지막 확률만 요구된 정확도로 반올림하세요. 답은 0과 1 사이여야 해요.

이항분포가 아닌 상황

표준 카드 한 벌에서 카드를 세 장 다시 넣지 않고 뽑아 에이스의 수를 센다고 해 볼게요. 뽑는 횟수는 정해져 있고 각 카드는 에이스 또는 에이스 아님으로 나눌 수 있어요. 하지만 한 장을 뽑고 나면 카드 구성이 달라져요. 첫 카드가 에이스였다면 다음에 에이스를 뽑을 확률은 $3/51$이고, 아니었다면 $4/51$이에요. 성공 확률이 일정하지 않고 뽑기도 서로 종속적이에요. 따라서 $n=3$, $p=4/52$를 넣은 이항공식은 정확한 모형이 아니에요.

매번 카드를 되돌려 넣고 다음에 뽑기 전에 다시 섞으면, 이 단순화한 예제에서는 성공 확률이 일정하고 시행이 독립적이게 돼요. 공식을 외우는 것보다 이 구분이 더 중요해요. 무엇을 추출하는지, 한 번의 시행이 다음 시행을 바꾸는지 먼저 확인하세요.

연습문제 세 개와 풀이

1. 정확히 두 번. 어떤 게임에 독립적인 다섯 라운드가 있고 각 라운드의 승리 확률은 $0.2$예요. 정확히 두 번 이길 확률은 얼마일까요?

풀이: $n=5$, $k=2$, $p=0.2$예요. 두 번 승리하는 순서는 $\binom{5}{2}=10$가지예요. 따라서

$$P(X=2)=10(0.2)^2(0.8)^3=10(0.04)(0.512)=0.2048.$$

확률은 $20.48\%$예요. 한 순서만 세면 정답의 10분의 1인 $0.02048$이 나와요.

2. 적어도 두 번. 네 번의 독립 시행에서 성공 확률이 각각 $0.5$예요. 적어도 두 번 성공할 확률은 얼마일까요?

풀이: “적어도 두 번”은 성공 0번과 1번을 제외해요. $p=0.5$일 때 여사건은 간단해요.

$$\begin{aligned} P(X\geq2)&=1-P(X=0)-P(X=1)\\ &=1-\binom{4}{0}(0.5)^4-\binom{4}{1}(0.5)^4\\ &=1-\frac{1}{16}-\frac{4}{16}=\frac{11}{16}=0.6875. \end{aligned}$$

답은 $68.75\%$예요. 성공 0번만 빼면 “적어도 한 번”의 답을 구한 셈이에요.

3. 많아야 한 번. 서로 독립적인 검사 세 번에서 양성 결과가 나올 확률은 각각 $0.1$이에요. 많아야 한 번 양성이 나올 확률은 얼마일까요?

풀이: 양성 0번과 1번을 포함해 더해요.

$$\begin{aligned} P(X\leq1)&=\binom{3}{0}(0.1)^0(0.9)^3 +\binom{3}{1}(0.1)^1(0.9)^2\\ &=0.729+0.243=0.972. \end{aligned}$$

답은 $97.2\%$예요.

확률의 기초를 더 연습하려면 Math Zen의 확률 연습을 이용해 보세요. 모든 문제에서 가장 중요한 첫 단계는 여전히 네 조건을 확인하는 일이에요.