순열과 조합: 순서가 경우의 수를 바꾸는 이유

다섯 명이 프로젝트에 자원했습니다. 주장과 부주장이 필요합니다. 주장은 다섯 가지, 이어서 부주장은 네 가지 방법으로 고르므로 배정은 스무 가지입니다.

문장 하나만 바꿔 역할 구분이 없는 두 명짜리 위원회가 필요하다고 합시다. 같은 다섯 명이 열 개 위원회를 만듭니다. 사람은 그대로이고 결과의 정의가 달라졌습니다.

순열과 조합은 모든 가능성을 나열하지 않고 결과를 세는 방법입니다. 결과가 어떤 정보를 보존하는지 정하면 공식이 이해됩니다. 먼저 그 판단을 세우고 표기법을 유도합니다.

공식보다 위치에서 시작하기

주장과 부주장이라고 적힌 빈칸 두 개를 떠올리세요. 첫 칸에는 다섯 명, 채운 뒤 둘째 칸에는 네 명이 가능합니다. 모든 첫 선택에는 네 가지 후속 선택이 있습니다.

$$5 \times 4 = 20$$

이것이 곱의 법칙입니다. 한 단계의 각 선택에 같은 수의 후속 선택이 있으면 단계별 수를 곱합니다. 다섯 갈래가 각각 네 갈래로 나뉘는 나무로 볼 수도 있습니다.

위치의 이름이 중요합니다. 알렉스 주장, 베아 부주장은 그 반대와 다릅니다. 같은 사람이 다른 위치에 있으므로 순서 있는 선택, 즉 순열입니다.

위원회에는 이름 붙은 위치가 없습니다. 알렉스, 베아와 베아, 알렉스는 같은 그룹입니다. 스무 가지 배정으로 위원회를 세면 각 그룹을 두 번 셉니다.

교환 검사는 순서가 중요한지 알려 준다

**선택한 두 항목을 바꾸면 다른 결과가 되는가?**라고 물으세요.

경주 시상대라면 그렇습니다. 금메달과 은메달은 다른 결과입니다. 피자 토핑은 보통 아닙니다. 버섯과 올리브는 순서를 바꿔도 같은 선택입니다.

질문은 명사가 아니라 모형에 관한 것입니다. 책 세 권을 사려고 고르면 순서를 무시하지만, 책장에 세 권을 배열하면 순서를 기록합니다. “책”이라는 말만으로 공식은 정해지지 않습니다.

계산 전에 결과 예시를 쓰세요. “주장 알렉스, 부주장 베아”에는 역할이 있고 “알렉스와 베아가 든 그룹”에는 없습니다. 이 작은 단계가 긴 공식표 암기보다 오류를 더 많이 막습니다.

상황	결과가 기록하는 것	모형
금, 은, 동메달 수여	각 순위의 사람	순서 있음, 중복 없음
위원 세 명 선택	구성원만	순서 없음, 중복 없음
네 자리 코드 만들기	각 위치의 숫자	순서 있음, 중복 허용 가능
아이스크림 여러 스쿱 선택	맛별 수량	순서 없음, 중복 허용 가능

마지막 두 행에서는 중복 허용 여부도 물어야 합니다. 순서만 보고 정하지 마세요.

계승은 완전한 배열을 센다

서로 다른 책 네 권을 줄 세웁니다. 첫 자리는 네 가지, 둘째는 세 가지, 셋째는 두 가지, 마지막은 한 가지입니다.

$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

느낌표는 계승이며 감소하는 곱을 줄여 씁니다. 음이 아닌 정수 $n$에서 계승은 서로 다른 $n$개 전체의 배열을 셉니다.

왜 $0! = 1$일까요? 아무것도 배열하지 않는 빈 배열 한 가지가 있습니다. 이 값은 $1! = 1 \times 0!$도 일관되게 합니다.

계승은 반복 덧셈이나 거듭제곱이 아닙니다. 4계승은 24, 4의 4제곱은 256입니다. 계승은 항목을 다시 쓸 수 없어 선택 수가 줄지만 거듭제곱은 일정합니다.

순열은 곱을 일찍 멈춘다

주자 일곱 명 중 공동 순위 없이 상위 세 명만 봅니다. 1위 일곱, 2위 여섯, 3위 다섯 가지입니다.

$$P(7,3) = 7 \times 6 \times 5 = 210$$

나머지 네 명의 순서는 중요하지 않습니다. 1까지 곱하면 다른 질문에 답합니다.

중복 없이 $r$개의 순서 있는 위치를 서로 다른 $n$개로 채우면:

$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

분모가 계승의 쓰지 않은 꼬리를 약분합니다. 일곱 계승을 네 계승으로 나누면 7 곱하기 6 곱하기 5만 남습니다.

공식은 $0 \le r \le n$이고 항목이 서로 다르다고 가정합니다. 조건이 바뀌면 억지로 대입하지 말고 빈칸 모형으로 돌아가세요.

조합은 중복 배열을 제거한다

일곱 명에서 위원 세 명을 고릅니다. 순서 있는 계산은 210이지만 같은 세 명의 다른 순서를 다른 답으로 취급합니다.

알렉스, 베아, 첸은 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA의 여섯 순서로 쓸 수 있습니다. $3! = 6$이므로 모든 세 명 그룹이 여섯 번 나옵니다.

중복 배열 수로 나눕니다.

$$\binom{7}{3} = \frac{210}{6} = 35$$

일반적으로:

$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

“n개 중 r개 선택”으로 읽습니다. 첫 나눗셈은 쓰지 않은 항목을, 둘째는 더는 구별하지 않는 순서를 없앱니다.

$\binom{7}{3} = \binom{7}{4}$라는 대칭도 있습니다. 참여할 세 명을 고르면 참여하지 않을 네 명도 정해집니다. 두 설명은 같은 결정입니다.

중복은 질문을 다시 바꾼다

네 자리 코드는 첫 자리도 포함해 0부터 9까지 쓰며 숫자 중복을 허용한다고 합시다. 각 칸은 열 가지입니다.

$$10^4 = 10000$$

중복을 금지하면:

$$10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$$

“코드” 대신 “네 자리 수”라면 보통 첫 0을 제외합니다. 중복 허용 시:

$$9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$$

비슷한 세 문장이 서로 다른 답을 냅니다. 공식이 불안정한 것이 아니라 제한이 바뀌었습니다.

같은 맛을 반복할 수 있는 아이스크림처럼 중복을 허용하는 순서 없는 선택에는 다른 방법이 필요합니다. 일반 조합은 각 항목을 한 번까지만 선택한다고 가정합니다. 익숙한 공식이 적용되지 않음을 아는 것도 올바른 첫 단계입니다.

이 순서로 판단하기

계산 전에 완성된 결과 하나를 쓰세요. 이어 순서나 역할이 결과를 구분하는지, 항목을 반복할 수 있는지, 특정 위치에 특별한 제한이 있는지 묻습니다.

답을 바로 보지 말고 세 문제를 풀어 보세요.

1. 여섯 명 중 한 사람이 두 역할을 겸하지 않게 의장과 서기를 고른다.
2. 같은 여섯 명 중 동등한 대표 두 명을 고른다.
3. 네 기호를 써서 중복 가능한 세 문자 코드를 만든다.

첫째는 $6 \times 5 = 30$가지 배정입니다. 둘째는 이를 $2!$로 나눠 열다섯 쌍입니다. 셋째는 모든 위치에서 네 기호가 가능해 $4^3 = 64$개입니다.

숫자보다 설명이 중요합니다. 왜 하나는 2로 나누고 다른 하나는 나누지 않는지 말할 수 있다면 차이를 이해한 것입니다.

경우의 수 세기는 확률의 토대다

동일하게 가능한 결과를 정확히 세면 유리한 결과와 전체 결과를 비교해 확률을 구할 수 있습니다. 다음 단계는 직관적 확률 가이드에서 다룹니다. 생일 역설은 적절한 경우의 수 계산이 놀라운 결과를 다루기 쉽게 만드는 방법을 보여 줍니다.

지금은 결과를 정의하고, 위치가 있으면 그리고, 모든 인수를 설명하세요. 다음 적용에는 Math Zen 확률 연습을 쓰고, 기호가 추론을 가리면 작은 예로 돌아가세요.

순열은 배열을 보존하고 조합은 구성원을 보존합니다. 계승으로 나누는 것은 같은 그룹을 다시 세지 않으면서 배열 정보를 잊는 일입니다.