モンティホール問題：なぜドアを替えると勝率が2倍になるのか

1990年、ある読者がマリリン・ボス・サヴァントの雑誌コラムに、ゲーム番組についての短い質問を寄せました。「ドアを替えるべき」という彼女の答えは約1万通の抗議の手紙を招き、そのうち1000通近くには博士号保持者の署名がありました。コラムニストが基礎的な確率を間違えるとは何事か、と多くの人が息巻いたのです。間違っていたのは彼女ではありません。彼らの方でした。

モンティホール問題が時間を割く価値を持つのはそのためです。ひっかけ問題ではなく、細かい注釈に答えが隠されているわけでもありません。3行で説明できる設定を持つ完全にフェアなパズルでありながら、プロの数学者を含む聡明な人々の直感を確実に打ち負かします。見落とされたたったひとつの非対称性に気づくまでは。ひとたびそれが見えれば、答えは逆説的に感じられることをやめ、必然に感じられ始めます。

ゲームのルール

このパズルはゲーム番組「Let's Make a Deal」を題材にしており、その初代司会者モンティ・ホールが名前の由来です。設定は次の通りです。

閉じた3つのドアがあります。1つの奥には車が、残り2つの奥にはヤギがいます。車はランダムに置かれたので、何かが起きる前の時点では、どのドアにも1/3の確率で車があります。

あなたはドアを1つ選びます。仮にドア1としましょう。ドアは閉じたままです。

車の場所を正確に知っている司会者が、あなたの選ばなかった2つのドアのうち1つを開けます。しかも必ずヤギのいるドアを開けます。仮にドア3を開け、ヤギがこちらを見つめ返してきたとしましょう。

いま閉じたドアは2つ：あなたのドア1と、手つかずのドア2です。司会者は選択を持ちかけます。ドア1に留まるか、ドア2に替えるか。

ほとんどの人の直感は同じことを言います：ドアは2つ、車は1台、50/50、だからどちらでも同じ。この直感は間違いです。留まれば勝率は1/3。替えれば勝率は2/3。替えることで文字通りチャンスが2倍になり、この余分な確率がどこから来るのかを理解することがパズルのすべてです。

証明はただの数え上げ

答えを見る最もきれいな方法は、ゲーム全体がたったひとつの出来事、つまり最初の選択が当たりだったかどうかで決まることに気づくことです。

これで証明はすべてです。留まることは、目隠しの最初の推測が当たっていたことに賭けること、つまり1/3の出来事への賭けです。替えることは、それが外れていたことに賭けること、つまり2/3の出来事への賭けです。選択肢はこの2つだけであり、勝負は接戦ですらありません。

すべてのケースを並べて見たいなら、あなたの選択をドア1に固定して、車の位置を動かしてみてください。車がドア1の奥：司会者はドア2か3を開け、留まれば勝ち、替えれば負け。車がドア2の奥：司会者はドア3を開けるしかなく、留まれば負け、替えれば勝ち。車がドア3の奥：司会者はドア2を開けるしかなく、留まれば負け、替えれば勝ち。同じ確からしさの3つの世界のうち、替えれば2つで勝ちます。この数え上げが証明です。

余分な確率はどこから来るのか

50/50という本能は、普段はよく役に立つ経験則から来ています：未知が2つあり、どちらかを選ぶ理由がなければ、確率を均等に分ける。経験則そのものは健全です。誤りは、2つの閉じたドアが対称だと考えることにあります。対称ではありません。2つのドアはまったく異なる歴史を歩んできたからです。

あなたのドアは、何かが明かされる前に、あなたが盲目的に選んだものです。その後に起きたことは、あなたのドアには一切関わっていません：車が隠れていようがいまいが、司会者はそのドアに触れることを許されていませんでした。だからあなたのドアについての情報は一度も生み出されておらず、その確率は始まりの1/3のまま留まります。

もう一方の閉じたドアは、何かを生き延びています。司会者はあなたの選ばなかった2つのドア、少なくとも一方にはヤギがいる組を見て、その組から意図的にヤギを排除しました。彼が閉じたまま残したドアは、ただの残り物（あなたの選択が当たっていた1/3の世界）か、車そのもの（あなたの選択が外れていた2/3の世界）のどちらかです。彼の選択は真実によって制約されており、制約は情報を漏らします。組が最初に持っていた2/3の確率のすべてが、生き残ったただひとつのドアの上に集まるのです。

納得できない人のための100ドア版

3つのドアの議論がまだつかみどころなく感じられるなら、スケールを上げてみましょう。ルールは同じで、ドアは100個、車は1台、ヤギは99匹。あなたはドア1を選びます。車の場所を知っている司会者が、残りのドアのうち98個を開けます。すべてヤギです。そして他にちょうど1つだけドアを閉じたまま残します。留まりますか、替えますか？

最初の選択が当たっている確率は100回に1回です。残りの99のケースでは、車はあなたの選ばなかったドアのどこかにあり、司会者の98回のドア開けはその車を避けるように強制されていました：彼は車以外のすべてを開けたのです。彼が閉じたまま残したただひとつのドアは、ランダムな生き残りではありません。100回のうち99回、そこが車のある場所なのです。

100ドアのゲームで留まる人はいません。しかし3ドアのゲームは同じゲームです。司会者のドア開けは、まったく同じ形で車を避けるよう強制されていました。ただ、見える場面が少なかっただけです。100個のドアで替えるのが明らかに正しいなら、3つのドアでは違うと主張する側にこそ立証責任があり、先ほどのケースの数え上げが、違いなどないことを示しています。

答えを誠実にする但し書き

ここからは通俗的な語り直しがたいてい飛ばす部分であり、答えを知っていることと理解していることの違いはここにあります。2/3という結果は、あなたが見たものだけでなく、司会者の振る舞いに依存しているのです。

標準ルールでは、司会者は必ずドアを開け、必ずヤギを見せ、必ず交換を持ちかけると仮定します。このルールを変えれば答えも変わります。古典的な変種は「モンティ・フォール」と呼ばれることがあります：司会者がうっかり足を滑らせ、選ばれていない2つのドアのどちらかを完全にランダムに開けてしまい、たまたまヤギが現れた、という設定です。同じドア、同じヤギ、画面に映る絵はまったく同じです。しかしこの場合、替えて勝つ確率は1/2しかありません。

なぜ違うのでしょうか？標準のゲームでは、司会者はどの世界でもヤギを見せるので、その開示はあなたの選択が当たっていたかどうかについて何も語らず、あなたのドアは1/3のままです。モンティ・フォールでは、ランダムに開ける司会者はときどき事故で車をさらしてしまいます。ヤギが見えたこと自体がいまや証拠であり、しかもあなたの最初の選択に有利な証拠です。あなたの選択が当たっていた世界からは、さらされた車が現れることは決してあり得なかったからです。計算してみると、2つの閉じたドアは本当にそれぞれ1/2に落ち着きます。

一度は自分で試してみてください

モンティホール問題にはひとつ大きな救いがあります：検証が安上がりなことです。カップを3つとコインを1枚用意して友人に司会者役を頼むか、数行のコードで自分でシミュレートするか、紙の上でサイコロを振って車を配置してください。必ず留まる戦略で30回、次に必ず替える戦略で30回プレイしてみましょう。

その結果には、議論にはない不思議な説得力があります。留まる人の勝率はおよそ3分の1に、替える人はおよそ3分の2に収束し、十分な回数を重ねると、そのパターンはパラドックスに感じられることをやめ、先ほどのステップ1の当然の帰結に感じられ始めます：目隠しの最初の選択はたいてい外れており、替えることはまさにその外れを現金化するのです。多くの試行にわたって計算される平均は、そもそも確率の主張が意味を持つ場所でもあります。この点は統計を直感的に理解するで掘り下げています。

歴史的にも、議論はこうして決着しました。ボス・サヴァント騒動の後、国中の教室でこの実験が行われ、シミュレーションは望む限りの小数位まで2/3を裏づけました。怒りの手紙を書いた数学者の多くが、2通目の、ずっとばつの悪そうな手紙を書くことになったのです。

その禅的な本質

モンティホール問題が生き続けているのは、確率が実際にどう働き、人間の直感が実際にどう失敗するかの完璧なミニチュアだからです。この問題が打ち負かす本能、つまり2つの閉じたドアへの対称な無知は、良い本能です。ただ、非対称な歴史との接触に耐えられないだけです。そしてパズルはその非対称性を堂々と隠しています：一方のドアはあなたの選択によって守られ、もう一方は答えを知る者によって選び残されたのです。

混乱を解いたものが何だったかに注目してください。公式ではなく、権威でもありません。数え上げです。同じ確からしさの3つの世界、それぞれで起きることの正直な集計、そして感覚よりも集計を信じる意志。可能性を列挙して数えるというこの動きは、確率のほとんどすべてであり、学んで身につけられるものです。

次に2つの選択肢が明らかに50/50に感じられたときは、モンティホールの問いを立ててみる価値があります：この2つの可能性は、同じ道筋でここへ来たのだろうか？同じ道筋のこともあり、そのときのコイン投げは本物です。しかしときには、一方が何かを知っている過程によって残された生き残りであり、勝ち目は静かに、しかし決定的に偏っています。

ドアは覚えていません。手続きが覚えているのです。