逆関数を直感的に理解する：計算を逆順にたどる

ある工房では、予約料が8ドル、作業台の使用料が1時間につき5ドルかかります。3時間なら23ドルです。レシートに23ドルとあったら、何時間予約したのでしょうか。

順方向には、時間に5を掛けて8を足します。逆方向には、レシートの金額から8を引いて5で割ります。この逆向きの規則が逆関数です。同じ関係を使って別の問いに答えます。

代数計算そのものはたいてい難しくありません。気をつけたいのは、逆向きの規則が答えを一つに定められるか、そしてどんな数を入力として受け取れるかです。

最後の操作から取り消す

工房の料金を次のように書きます。

$$f(x) = 5x + 8$$

逆関数では、時間あたりの料金を元に戻す前に、予約料を取り除かなければなりません。

$$f^{-1}(x) = \frac{x-8}{5}$$

レシートで確かめましょう。$f^{-1}(23) = (23-8)/5 = 3$ です。先に5で割ると、予約料まで時間料金として分けてしまい、答えが間違います。

$f$ の入力は時間で、$f^{-1}$ の入力はドル単位の金額です。どちらも $x$ と書いてあっても、同じ量を表すわけではありません。それぞれの関数が受け取る値の代わりに置いた文字です。

このモデルでは、負の時間に意味はありません。元の関数の定義域は $x \geq 0$、値域は $f(x) \geq 8$ です。したがって逆関数が受け取る料金は8ドル以上です。代数的には3ドルを代入できますが、得られる負の時間はこのモデルの範囲外です。

逆関数と逆数は別の操作

$f^{-1}$ の右肩の表記は負の指数に見えます。しかし関数の記法では逆関数を表します。$f(x)$ で1を割れ、という指示ではありません。

同じ料金の規則で比べます。

$$f^{-1}(x)=\frac{x-8}{5}, \qquad \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{5x+8}$$

前者は料金から時間を取り戻します。後者は料金の逆数で、意味も用途も異なる量です。OpenStaxの逆関数の節でも、この記法の違いを明確に説明しています。

逆関数を $g$ と名付けてもかまいません。$g(f(x))=x$ と書けば、右肩の記号なしでも言いたいことが表せます。料金を計算し、そこから元の時間を取り戻すということです。

代数を使って逆関数を求める

一般的な手順は、$y=f(x)$ と書き、$x$ と $y$ を入れ替え、$y$ について解くことです。入れ替えることで、元の出力が新しい入力になるという役割の変化を記録します。

別の例を見ましょう。

$$y = \frac{2x-7}{3}$$

変数を入れ替えます。

$$x = \frac{2y-7}{3}$$

3を掛け、7を足し、2で割ります。

$$3x = 2y-7$$ $$3x+7 = 2y$$ $$y = \frac{3x+7}{2}$$

したがって逆関数は $f^{-1}(x)=(3x+7)/2$ です。最後に行った3での割り算から順に、元の規則の操作を一つずつ取り消しています。

Paul's Online Math Notesには、同じ一般的な手順と、根号や有理関数を使った計算例があります。どんな式でも、変形中に入力できない値を見失わないでください。分母を掛けても、元々使えなかった値が使えるようにはなりません。

両方向で確かめる

一つの数で試せば計算ミスを見つけられるかもしれません。しかし、どの値でも二つの規則が互いを取り消す証明にはなりません。示した定義域で合成を確認します。

上の例で、元の規則を逆関数に入れます。

$$f^{-1}(f(x)) = \frac{3\left(\frac{2x-7}{3}\right)+7}{2} = \frac{2x-7+7}{2}=x$$

次に、逆関数を元の規則に入れます。

$$f(f^{-1}(x)) = \frac{2\left(\frac{3x+7}{2}\right)-7}{3} = \frac{3x+7-7}{3}=x$$

この例では、両方の定義域がすべての実数です。根号、対数、分数がある場合は、確認式の横に定義域も書きましょう。式を約分すると、それ以前にあった制限が見えなくなることがあります。

合成がまだ分かりにくければ、まず関数の解説を読んでみてください。内側の規則の出力が外側の規則の入力になります。括弧は内側から外側へ読みます。

二次関数にはなぜ定義域の制限が必要か

$f(x)=(x-2)^2$ とします。$f(1)$ も $f(3)$ も1です。出力が1だとだけ知らされても、どちらの入力を使ったかは規則だけでは分かりません。

この関数は、実数全体では一対一ではありません。逆向きの対応は、ほとんどの入力に二つの答えを返すため、関数になりません。

元の定義域を $x \geq 2$ に制限し、右側の枝を選びます。すると逆向きの計算は一意になります。

$$y=(x-2)^2, \qquad x \geq 2$$

$x-2$ は0以上なので、主平方根を取ると $\sqrt{y}=x-2$ です。変数の名前を入れ替えると、次のようになります。

$$f^{-1}(x)=2+\sqrt{x}, \qquad x \geq 0$$

逆関数は0以上の数を受け取り、2以上の数を返します。$f^{-1}(9)=5$、続いて $f(5)=9$ を確かめましょう。

元の定義域を代わりに $x \leq 2$ に制限すると、逆関数は $2-\sqrt{x}$ です。これは、定義域を別々に制限した二つの異なる関数の逆関数です。プラスマイナスを付けて、一つの逆関数と呼んではいけません。

二次方程式でも、この区別は重要です。方程式には二つの解があり得ますが、関数は許された各入力に出力を一つだけ対応させます。

グラフから逆関数を読み取る

$f(4)=9$ なら、元のグラフには $(4,9)$ があり、逆関数のグラフには $(9,4)$ があります。座標を入れ替えると、点は対角線 $y=x$ を軸に反転します。

これで水平線テストも説明できます。水平な直線が元のグラフと2回交わるなら、一つの出力に二つの入力が対応しています。座標を入れ替えた後、その2点は同じ垂直線上に並び、一つの入力に二つの出力が対応してしまいます。

先ほどの放物線で試しましょう。高さ1の水平線は $x=1$ と $x=3$ で交わります。左の枝を取り除けば、交点は一つだけです。これでグラフから元に戻るための情報がそろいました。

逆関数の定義域は元の関数の値域です。まず元のグラフが縦方向にどの高さを取るかを見ます。出力がある高さ以上にしかないグラフなら、その高さより低い値を受け取る逆関数はありません。

三つの短い練習問題

一次の規則： $f(x)=7-2x$ の逆関数を求めましょう。7から入力を引き、2で割ります。$f^{-1}(x)=(7-x)/2$ です。この例では逆関数の式は元の式と異なります。$f(2)=3$ と $f^{-1}(3)=2$ を確かめてください。

三乗： $g(x)=x^3+6$ の逆関数を求めましょう。三乗なら負の入力と正の入力を区別できるため、枝を制限する必要はありません。すべての実数を入力として $g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-6}$ です。

二乗： $h(x)=x^2+6$ の、$x \geq 0$ における の逆関数を求めましょう。逆関数は $h^{-1}(x)=\sqrt{x-6}$、定義域は $x \geq 6$ です。最後の条件を忘れると答えが不完全になります。

答えを確かめる前に定義域を書きましょう。次に一つの数で往復計算をし、両方向の代数的な合成も確認します。Math Zenの関数の練習では、順方向の規則、逆方向の規則、定義域の制限をまとめて短時間で練習できます。

同じ考え方は指数関数と対数も結び付けます。指数関数は指数を受け取って数を出し、対数はその指数を取り戻します。入力が何を意味し、どんな出力が可能か分かれば、逆関数を筋道立てて考えられます。