偏微分の練習問題：途中式つきの例題と答え

$f(x,y)=x^2y+3y^2$ の二つの偏微分を求めましょう。答えが $2x$ と $6y$ なら、係数一つと項一つを丸ごと落としています。変数を固定するとは、その変数を数として扱うことであり、その変数を含む項をすべて消すことではありません。正しくは $f_x=2xy$ と $f_y=x^2+6y$ です。

この練習集はその誤りから始め、積、入れ子の関数、混合偏導関数、数値による検算へと進みます。解答を読む前に各問を自分で解いてください。最初の行の横に、どの変数を固定しているか書きましょう。その小さなメモで多くの誤答に気づけます。

計算の背後にある図を見たい場合は、偏微分を直感的に理解する記事を参照してください。ここでは曲面や勾配をもう一度導入するより、式を計算し結果を確かめることに重点を置きます。

計算の上に書いておく規則

$f_x$ では $x$ で微分し、その間 $y$ を定数として扱います。$f_y$ ではその役割を逆にします。OpenStax による偏微分の定義は、差商の中で固定する入力を明示しています。変化する変数には通常の微分法則を適用します。

たとえば $y$ を固定すると、$y^2$ は定数ですが、$xy^2$ は定数に $x$ を掛けたものです。したがって $x$ に関する導関数は異なります。

$$\frac{\partial}{\partial x}(y^2)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(xy^2)=y^2.$$

微分する前に二つの座標を両方代入しないでください。点全体を代入すると式が一つの数になり、必要な近傍での変化が失われます。先に微分してから値を求めます。固定する座標だけを先に代入するのはよく、独立した検算にもなります。

問題1：二つの独立した入力を持つ多項式

次の関数の $f_x$ と $f_y$ を求め、

$$f(x,y)=2x^3y-5xy^2+7y,$$

さらに $(1,2)$ での値を計算します。

x で微分： $y$ を固定します。$x^3$ と $x$ の係数はそれぞれ $2y$ と $-5y^2$ です。最後の項は変わりません。

$$f_x=6x^2y-5y^2.$$

y で微分： $x$ を固定します。最初の項は $y$ の一次式、次は二次式、最後は一次式です。

$$f_y=2x^3-10xy+7.$$

指定された点では、

$$f_x(1,2)=12-20=-8, \qquad f_y(1,2)=2-20+7=-11.$$

二つの導関数はここでどちらも負です。その符号だけでは関数値は分かりません。高さと傾きは別の量だからです。最初の答えを独立に確かめるには、元の関数に $y=2$ を入れます。$4x^3-20x+14$ となり、通常の導関数は $12x^2-20$ です。$x=1$ で再び $-8$ になります。

問題2：積と指数関数

次の関数の二つの偏微分を求めます。

$$g(x,y)=x^2e^{xy}.$$

$g_x$ では二つの因子が両方とも $x$ に依存するので、積の微分法則を使います。指数関数には連鎖律も必要です。$y$ を固定すると $xy$ の微分は $y$ です。

$$g_x=2xe^{xy}+x^2e^{xy}y =e^{xy}(2x+x^2y).$$

$g_y$ では $x^2$ は定数です。変化するのは指数関数だけで、その指数を $y$ で微分すると $x$ です。

$$g_y=x^2e^{xy}x=x^3e^{xy}.$$

$(1,0)$ では $g_x=2$、$g_y=1$ です。よくある誤答 $g_x=2xe^{xy}$ は最初の因子だけを微分し、二つ目も $x$ に依存することを忘れています。別の誤りは両方の計算で内側の微分を 1 にしてしまい、$x$ と $y$ の違いを失うことです。

内側の関数を見分ける練習が必要なら、連鎖律の例題で層を分けてから因子を組み直してください。

問題3：対数、分数、定義域

次を考えます。

$$h(x,y)=\ln(x^2+2y^2).$$

対数には $x^2+2y^2>0$ が必要なので、原点は定義域から外れます。それ以外では内側を微分し、内側そのもので割ります。

$$h_x=\frac{2x}{x^2+2y^2}, \qquad h_y=\frac{4y}{x^2+2y^2}.$$

$(2,1)$ では分母が 6 なので、両方とも $2/3$ です。この一致はその点に限られ、二つの導関数が同じ関数だという意味ではありません。

分母は大切な警告になります。元の関数もこれらの式も $(0,0)$ では値を持ちません。そこでゼロという答えが出た計算は、定義されない分数に代入しています。根号、対数、商がある問題では、値を求める前に定義域を確かめましょう。

問題4：二通りの順序で混合偏微分

次を使います。

$$p(x,y)=x^2y^3+\sin(xy).$$

このガイドでは $p_{xy}$ を、最初に $x$、次に $y$ で微分する意味で使います。順序を明確にするため、中間の導関数を書きます。

$$p_x=2xy^3+y\cos(xy).$$

これを $y$ で微分します。二つ目の項には積の微分法則が必要です。

$$p_{xy}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

順序を逆にして計算します。

$$p_y=3x^2y^2+x\cos(xy),$$ $$p_{yx}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

答えは一致します。ここでは関係する導関数がすべて連続なので、OpenStaxにある混合偏導関数の定理からも一致が予想されます。どんな関数でも無条件に成り立つ規則とは考えないでください。通常の滑らかな関数では優れた検算ですが、正則性が欠ける点では定理の仮定が重要です。

問題5：三つ目の変数も固定する入力

次の関数で、

$$q(x,y,z)=xy^2+z\cos x,$$

一階の偏微分を三つとも求めます。毎回二つの入力を固定すると、

$$q_x=y^2-z\sin x, \qquad q_y=2xy, \qquad q_z=\cos x.$$

$(0,2,3)$ での値は 4、0、1 です。真ん中のゼロは、関数が $y$ に依存しないという意味ではありません。その点でその方向の一次の変化率がゼロという意味です。元の式に $x=0$ を入れると、断面が単に $q=3$ となることを、$z=3$ のとき確かめられます。

係数の抜けを見つける数値検算

問題1の $(1,2)$ に戻ります。$y=2$ に固定し、小さな正の数 $s$ を選んで中心差分を計算します。

$$\frac{f(1+s,2)-f(1-s,2)}{2s}.$$

この多項式では分子を展開すると正確に $-8+4s^2$ となります。結果は次の通りです。

これは記号で求めた答えの検算であって、微分公式の証明ではありません。また、選んだ点だけを確かめています。分子で二つの座標をうっかり両方変えれば、別の経路での変化を測ることになります。浮動小数点計算では刻みが極端に小さいと桁落ちが起こるため、ゼロを増やせば必ず精度が上がるわけではありません。

最初からやり直す前に誤答を診断する

表を使って誤った一手を直し、計算全体を最初から書き直さないようにしましょう。通常の微分法則もまだ難しいなら、前提として微分の入門記事に戻ってください。

もう二問、自分で解いてから比べる

練習 A。 $r_x$ と $r_y$ を、関数 $r(x,y)=3x^2y+y^4$ について求め、$(2,-1)$ で評価します。

導関数は $r_x=6xy$ と $r_y=3x^2+4y^3$ です。その点で $-12$ と $8$ になります。$y^4$ が消えるのは x で微分したときだけです。y で微分すると $4y^3=-4$ を加えます。

練習 B。 $s(x,y)=\cos(2x-y)$ の二つの一階偏微分を求め、$(0,0)$ で評価します。

連鎖律から $s_x=-2\sin(2x-y)$ と $s_y=\sin(2x-y)$ です。二つ目の正符号は負号が二つ重なるためです。余弦を微分すると一つ、$2x-y$ を $y$ で微分するともう一つ出ます。式は違っても原点での値は両方ゼロです。

これらが無理なく計算できたら、偏微分の練習に進んでください。直した誤りの種類を、固定する入力、積の微分、内側の微分、早すぎる代入のどれかで短く記録しましょう。次にどの種類の問題を繰り返すべきか分かります。