ロピタルの定理はいつ使える？四つの極限を例題で確認

分数に目標の値を代入したら $0/0$ になった。分子と分母を微分すればよいのでしょうか。そうできる場合もあります。ただし先に、普通の代数で簡単にならないか、分子と分母が本当に適用可能な形か、微分が計算を簡単にするかを考えてください。ロピタルの定理は条件付きの定理であり、分母が困った形になる分数を何でも微分する指示ではありません。

このガイドでは計算より前に適用条件の表を置き、その表に沿って四つの極限を解きます。一つは因数分解のほうが速く、一つは定理の対象外、一つは無限遠で定理を使い、最後のべき乗は対数を取って初めて適用可能な商になります。極限自体が初めてなら極限の解説から始めましょう。導関数の解説ではもう一つの前提知識を確認できます。

微分する前に適用条件を調べる

近づく先で分子と分母を別々に調べます。ロピタルの定理を直接使える候補は $0/0$ または $\pm\infty/\pm\infty$ の形の商です。ただし定理の残りの条件も必要です。$5/0$、$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$1^{\pm\infty}$ のようなべき乗には直接使えません。別の形を適切な商へ変形できることもありますが、ほかの方法が必要な場合もあります。

よく使われる形では、定理の仮定が成り立つとき

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

右辺の極限が有限値または適切な無限大として存在すれば、この等式が使えます。近づく点を除いた適切な区間で $f$ と $g$ が微分可能であり、そこで $g'(x)$ はゼロでないことが必要です。元の二つの関数は、ともにゼロに近づくか、考えている方向でともに絶対値が際限なく大きくなる必要があります。片側極限や無限遠の極限にも、それぞれ条件を合わせた形があります。OpenStax 微積分第1巻 §4.8は定理と変形を扱い、Paul's Online Notesは使う前の形の確認を重視しています。

$f'/g'$ の極限が存在しなくても、試した方法で結論が出なかっただけかもしれません。元の極限も存在しないと証明したことにはなりません。逆に代入して $0/0$ が見えたことは最初の確認にすぎません。点の近くでの関数と分母の導関数の条件も調べましょう。以下では定義域と近づく方向を明示します。

例1：0/0 でも先に代数で解ける

次の極限を考えます。

$$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}.$$

分子も分母もゼロに向かうので $0/0$ です。表の最初の行によれば定理を使えますが、因数分解のほうが簡単です。$x\ne3$ では

$$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.$$

元の分数は $x=3$ そのものでは定義されません。しかし極限は周囲の値を見ます。そこでは $x+3$ に等しいので、極限は $6$ です。検算として、分子と分母を別々に微分すれば $\lim_{x\to3}2x/1=6$ になります。答えは一致しますが、因数分解なら取り除ける穴と約分できる理由がはっきりします。

ここで重要なのは方法の選択です。使えることと最善であることは違います。因数分解、有理化、複雑な分数の整理で、微分前に問題が消えることはよくあります。極限の説明には別の穴の例があり、一点での関数値と極限値の違いを解説しています。ここでは正しい方法の中で最短でわかりやすいものを選びます。

例2：5/0 は不定形ではない

次に

$$\lim_{x\to0}\frac{5}{x}$$

を見ます。分子はゼロでも無限大でもなく $5$ に近づき、分母はゼロに近づきます。表の二行目にある $5/0$ なので、ロピタルの定理は使えません。方向を見ると、$x\to0^+$ では $5/x\to+\infty$、$x\to0^-$ では $5/x\to-\infty$ です。左右からの挙動はわかりますが、両側極限は存在しません。

条件を無視して上下を微分すると $0/1=0$ という間違った答えになります。定理が破れたのではなく、仮定を満たさずに計算したのです。微分の前に適用可能か確認しましょう。この例では左右での分母の符号が、余計な計算より多くを教えます。

また「分母がゼロへ向かう」だけで極限を分類できないこともわかります。例1でも分母はゼロに向かいましたが、分子もゼロに向かい、商は有限の値に近づきました。最初の形が使える方法を決め、近づく方向が両側極限の有無を決めます。

例3：無限大どうしの商

次の分数で $x\to+\infty$ とします。

$$\frac{2x^2+3x}{x^2-1}.$$

分子も分母も $+\infty$ に大きくなるため、表の三行目にある適用可能な $\infty/\infty$ です。十分大きな正の $x$ では、分母とその導関数はゼロではありません。分子と分母を別々に微分します。

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+3x}{x^2-1} =\lim_{x\to+\infty}\frac{4x+3}{2x}=2.$$

最後は $3/(2x)\to0$ によります。一度適用すれば十分です。新しい商の極限が明らかなのに、さらに微分しないでください。代数による検算のほうが短いほどです。元の分子と分母を $x^2$ で割ると $(2+3/x)/(1-1/x^2)\to2$ です。どちらの方法でも、この例では最高次の二次項の係数が結果を決めるとわかります。

方法の比較は大切です。微分によって商が簡単になるなら使います。最高次の $x$ で割ればすぐ求まるなら、それを使えばよいのです。ここで定理が有効でも、簡単な代数が間違いになるわけではありません。

例4：べき乗を対数で書き換える

$x>-1$ かつ $x\ne0$ として、$x\to0$ で正の式 $(1+x)^{1/x}$ を考えます。底は $1$ に近づき、指数の絶対値は際限なく大きくなります。これは不定のべき乗形 $1^{\pm\infty}$ です。商ではないため、表の四行目のとおり、べき乗へ直接ロピタルの定理を適用できません。

$y=(1+x)^{1/x}$ とおき、正である定義域で自然対数を取ります。

$$\ln y=\frac{\ln(1+x)}{x}.$$

今度は対数を取った商の分子と分母がともにゼロへ向かいます。ゼロの近くで双方が微分可能で、分母の導関数は $1$ です。この商に定理を適用します。

$$\lim_{x\to0}\ln y =\lim_{x\to0}\frac{1/(1+x)}{1}=1.$$

指数関数は連続なので、元の極限は $e^1=e$ です。$x>-1$ の範囲では左右から同じ値になります。重要なのは、定理で求めたのが $\ln y$ の極限であり、べき乗そのものに直接適用したのではないことです。ネイピア数のガイドでは、$e$ を含む極限が微積分によく現れる理由を説明しています。

正でない可能性のある式の対数を、定義域の確認なしに取らないでください。ここではゼロの近くで $1+x>0$ なので問題ありません。対数で商に変え、最後に指数を戻します。どちらかを省くと説明は完成しません。

二つの異なる微分操作を混同しない

ロピタルの定理は $f/g$ の極限と $f'/g'$ の極限を比較します。一方、商の微分法は関数 $f/g$ 全体の導関数を求めます。

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$

二つは別物です。例1の分数は $x\ne3$ では $x+3$ に等しいため、近くでの通常の導関数は $1$ です。しかし $x\to3$ での極限は $6$ です。$f'/g'$ の代わりに商の微分の結果を使うと、別の問いに答えることになります。例2で $f'/g'$ を使うのも、元の形が条件を満たさず、間違った結果になりました。

判断の順序は、分子と分母を調べ、形を名付け、簡単なら先に整理し、定義域と定理の条件を確認した後で、適用可能な商がより簡単になる場合だけ上下を別々に微分する、です。近づく方向も記号に残します。練習として例3を $x\to-\infty$ に変え、形と答えを改めて確認してみてください。Math Zen の極限と導関数のトピックでは、基礎を一問ずつ練習できます。

よくある質問

代入して $0/0$ なら必ず使えますか？ 候補にはなりますが、自動的な指示ではありません。点を除いた適切な近傍での微分可能性、分母の導関数がゼロでないこと、導関数の商に適切な極限があることを確認します。まず簡単な代数を試しましょう。

定理を繰り返し使えますか？ 新しい商も条件を満たし、もう一度適用すると役立つなら可能です。毎回新しい形を確認してください。普通に極限を計算できるようになったら止めます。

商の微分法を使わないのはなぜですか？ 商の微分法は $f/g$ の導関数を求めます。ロピタルの定理は特別な条件で $f/g$ と $f'/g'$ の極限を比較します。交換できる操作ではありません。

分子がゼロへ向かわない場合は？ 分母がゼロへ向かい、分子がゼロでない有限値に近づくなら $0/0$ ではありません。ゼロ付近の $5/x$ と同様、符号と片側からの挙動を調べてください。