陰関数の微分を例題で理解する：接線の検算まで

方程式 $x^2+y^2=25$ は円を表します。この式は $y$ を $x$ の一つの式として与えていません。多くの $x$ に対して、円の上半分と下半分には異なる二つの $y$ があるからです。それでも、どちらかの半円上の指定された点では接線の傾きを求められます。陰関数の微分では、点の近くで $y$ を $x$ の関数として扱い、関係式そのものを微分します。ここでは計算を省略せず、各点が元の方程式を満たすか確かめ、通常の傾きの公式が使えなくなる場所も調べます。

傾きの意味から復習するなら、導関数の直感的な説明を読んでください。合成関数の微分の例題では、$y$ を含む式を微分するときに余分な因子が現れる理由を説明しています。ここでは両方の変数を含む方程式に、その考え方を適用します。

y を解いていない場合、何が変わるのか

明示的な関数 $y=x^2+1$ なら、微分すると $dy/dx=2x$ です。一方、$x^2+y^2=25$ のような関係式では、点が曲線上を動くと両方の座標が変わります。曲線を局所的に $y(x)$ と書ける場所では、$y^2$ は $(y(x))^2$ のことです。したがって合成関数の微分法により、

$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}.$$

$dy/dx$ の因子は忘れやすいものです。しかし飾りではありません。二乗の値は入力 $y$ が変わるので変化し、その $y$ は $x$ とともに変わります。同様に、$d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$、$d(\sin y)/dx=\cos y(dy/dx)$ です。$xy$ のように二つの変数を掛けた項には、さらに積の微分法が必要で、$d(xy)/dx=y+x(dy/dx)$ となります。Math Insight の Paul Garrett による解説でも、この二つの規則を組み合わせています。

例題が変わっても手順は同じです。

1. 指定された点を元の方程式に代入します。曲線上にない点で、その曲線の接線の傾きを求めることはできません。
2. すべての項を $x$ で微分します。微分する項が $y$ に依存していれば、$dy/dx$ を掛けます。
3. $dy/dx$ を含む項を集めてくくります。残った係数がゼロでないときだけ割ります。
4. 点を代入し、曲線の局所的な形、明示的な枝、または接線の方程式と傾きを照らし合わせます。

微分する前に点の座標を代入しないでください。変化する座標を定数にしてしまうと、知りたかった変化そのものが消えます。また、割る前の微分方程式を残しておきましょう。最後の分数の分母がゼロになる点で、垂直接線を見つける助けになります。

例題1：円の通常の接線

$x^2+y^2=25$ の点 $(3,4)$ における傾きを求めます。まず点を確かめると、$3^2+4^2=9+16=25$ です。確かに円上にあります。$y$ を $y(x)$ と見なして両辺を微分します。

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

$2x$ を右辺に移し、$y\ne0$ のときだけ $2y$ で割ります。

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y},\qquad y\ne0.$$

$(3,4)$ では傾きは $-3/4$。この点を通る接線は $y-4=-(3/4)(x-3)$ です。円の上半分を少し右に進むと高さが下がるので、負の符号も自然です。陰関数の計算とは別の方法でも検算できます。上側の枝は $-5<x<5$ で $y=\sqrt{25-x^2}$ と書け、その導関数は $-x/\sqrt{25-x^2}$ です。$x=3$ を入れると、やはり $-3/4$ になります。下側の枝では同じ $x$ に対する $y$ が違うため、傾きも違います。

枝を確かめることは重要です。円全体を単一の $y(x)$ として表すことはできません。陰関数の微分が求めるのは、指定された点を通る局所的な枝の傾きです。一つの $x$ に複数の点が対応する場合、$y$ 座標を省いてはいけません。

一つの曲線に二種類の接線

同じ円上の $(5,0)$ に移りましょう。$5^2+0^2=25$ なので、この点も円上です。これを $-x/y$ に代入するとゼロで割ることになります。数値の傾きを答えるのも、曲線に接線がないと言うのも誤りです。割る前の式に戻ります。

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

$(5,0)$ で有限の $dy/dx$ が存在するなら、$10+0(dy/dx)=0$ が必要です。しかし有限の値でこの式を満たすものはありません。図形としては円が最も右の点に達して左へ戻ります。その点の接線は垂直な直線 $x=5$ で、$dy/dx$ は定義されません。円は曲線として滑らかなままです。ただしこの点の近くでは、$x$ の微分可能な関数として表せません。

別の向きからも確かめられます。$x$ を局所的に $y$ の関数とすると、$2x(dx/dy)+2y=0$、したがって $x\ne0$ なら $dx/dy=-y/x$ です。$(5,0)$ では $dx/dy=0$。$y$ を少し変えても $x$ はより高次でしか変わらず、垂直接線の形と一致します。$(0,5)$ では逆に $dy/dx=0$ となり、接線は水平です。これは曲線の幾何的な判断であり、どの式でもゼロで割ってよいという意味ではありません。

例題2：積を含む三項の式

$x^2+xy+y^2=7$ の点 $(1,2)$ で $dy/dx$ を求めます。点の確認は $1+2+4=7$。各項を微分すると、$x^2$ から $2x$、積 $xy$ から $y+x(dy/dx)$、$y^2$ から $2y(dy/dx)$ が得られます。

$$2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

導関数の項を集めてくくります。

$$(x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+y),\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}\quad\text{ただし }x+2y\ne0.$$

$(1,2)$ では分子が $4$、分母が $5$ なので傾きは $-4/5$。接線は $y-2=-(4/5)(x-1)$ です。割る前の微分方程式に答えをそのまま入れると、$2(1)+2+1(-4/5)+2(2)(-4/5)=4-4=0$ です。この代入は積の微分の項と最終的な分数の両方を確認します。もし $xy$ を $x(dy/dx)$ とだけ微分したら、独立した $y$ の項が消え、誤った傾きになります。

$x+2y\ne0$ という条件は、指定点で満たされていても答えの一部です。曲線上の別の場所で分母がゼロになるなら、円と同じように割る前の式を別途調べる必要があります。一つの分数だけでは、曲線上のすべての接線について答えられません。

例題3：三次の関係式

$y^3+xy=2$ を点 $(1,1)$ で考えます。点の確認は $1^3+1\cdot1=2$。$y^3$ には合成関数の微分法、$xy$ には積の微分法を使います。

$$3y^2\frac{dy}{dx}+y+x\frac{dy}{dx}=0.$$

くくり出すと、

$$(3y^2+x)\frac{dy}{dx}=-y,\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{3y^2+x}\quad\text{ただし }3y^2+x\ne0.$$

$(1,1)$ では $-1/4$ となるので、接線は $y-1=-(1/4)(x-1)$。答えを微分方程式に戻すと $3(-1/4)+1+(-1/4)=0$ です。この短い残差の確認で、係数 $3$ の付け忘れや符号の間違いを見つけられます。これだけで導出全体を証明できるわけではありませんが、最後の確認として役立ちます。

合成関数の因子を忘れた誤り

誰かが $x^2+y^2=25$ を $2x+2y=0$ と微分したとします。これは接線の傾きを求める式ではありません。円の方程式が $y$ の変化を決めるにもかかわらず、$dy/dx=1$ と決めつけています。$(3,4)$ を入れると $6+8=0$ となり、すぐ矛盾します。正しい式 $2x+2y(dy/dx)=0$ なら $6+8(-3/4)=0$ です。

もう一つの落とし穴は、先に割って条件を忘れることです。$-x/y$ は $y\ne0$ で有効ですが、端の点 $(\pm5,0)$ が円から消えるわけではありません。元の関係式、点の確認、割る前の微分方程式をセットで残してください。分数が定義されない場所で何が起こるかを調べられます。

量が $x$ ではなく時間とともに変わる場合、同じ考え方は関連変化率の問題になります。対応する時間微分を使い、単位も確かめます。基本的な微分規則は Math Zen の導関数の練習トピックで復習できます。自分で確かめるなら例題2を別の有効な点で解き直し、その点が本当に曲線上にあるか最初に確認しましょう。

よくある質問

なぜ $y$ の微分には $dy/dx$ が必要ですか？ 局所的な枝では $y$ が $x$ とともに変化するからです。合成関数の微分法により、$y$ に関する微分に $dy/dx$ を掛けます。例えば $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$ です。

先に $y$ を解いてもよいですか？ はい。解きやすく、枝と定義域を正しく選べるなら問題ありません。円の上側の枝は $(3,4)$ で同じ傾きを与えます。ただし明示的に解くのが難しい場合や、複数の枝が出る場合もあるため、関係式を直接微分できると便利です。

$dy/dx$ が定義されなければ、必ず垂直接線ですか？ いいえ。分数が定義されないときは、元の曲線と割る前の微分方程式を調べます。この円の $(5,0)$ では、図形と $dx/dy=0$ が垂直接線を裏づけます。他の曲線の特異点では異なることが起こりえます。

答えを出した後の最短の確認方法は？ 点を元の曲線に代入し、傾きを割る前の微分方程式に代入し、$dy/dx$ を解くときに割った分母を確認します。三つの確認は、それぞれ異なる誤りを見つけます。