Gaokao Mathématiques

1. Il y a neuf augmentations entre le premier et le dixième terme.

   $$a_{10}=3+9\cdot2=21$$

2. Associez le premier et le dernier terme. Leur moyenne est celle des dix termes.

   $$\frac{a_1+a_{10}}{2}=\frac{3+21}{2}=12$$

3. Multipliez cette moyenne par le nombre de termes.

   $$S_{10}=10\cdot12=120$$

Erreur fréquente: Ne comptez pas dix augmentations pour trouver le dixième terme. Le premier terme est déjà compté.

1. Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls perpendiculaires est nul.

   $$\mathbf a\cdot\mathbf b=0$$

2. Multipliez les coordonnées correspondantes, puis additionnez les produits.

   $$2x+3(-2)=0$$

3. Résolvez l’équation linéaire obtenue.

   $$2x=6\quad\Rightarrow\quad x=3$$

Erreur fréquente: Le produit scalaire est un nombre unique. Ne multipliez pas les coordonnées en diagonale.

1. Appliquez la règle du produit avec la probabilité conditionnelle donnée.

   $$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$$

2. Remplacez par les deux fractions.

   $$P(A\cap B)=\frac34\cdot\frac23$$

3. Simplifiez le résultat. Il n’est pas nécessaire de supposer les événements indépendants.

   $$P(A\cap B)=\frac{6}{12}=\frac12$$

Erreur fréquente: Ne remplacez pas P(B sachant A) par P(B). Ces probabilités ne sont pas nécessairement égales.

1. Comparez l’équation à la forme canonique pour identifier le paramètre p.

   $$y^2=2px\quad\Rightarrow\quad p=4$$

2. L’abscisse du foyer est p/2 et la directrice est la droite verticale x = -p/2.

   $$F=(2,0),\qquad x=-2$$

3. Soustrayez les deux abscisses pour obtenir la distance.

   $$d=\lvert 2-(-2)\rvert=4$$

Erreur fréquente: La distance entre le sommet et le foyer vaut 2. La distance demandée va du foyer jusqu’à la directrice.

1. Dérivez, puis factorisez le résultat.

   $$\begin{aligned}f'(x)&=3x^2-3\\&=3(x-1)(x+1)\end{aligned}$$

2. La dérivée est positive lorsque ses deux facteurs ont le même signe.

   $$x<-1\quad\lor\quad x>1$$

3. Écrivez les deux intervalles séparément. La dérivée est négative entre les points critiques.

   $$(-\infty,-1),\quad(1,\infty)$$

Erreur fréquente: Une dérivée positive signifie que la fonction est croissante, pas que sa valeur est positive.

1. Dérivez à l’aide de la règle du produit.

   $$f'(x)=e^{-x}(1-x)$$

2. Le facteur exponentiel est toujours positif. La dérivée passe du positif au négatif en x = 1.

   $$f'(x)\begin{cases}>0&x<1\\=0&x=1\\<0&x>1\end{cases}$$

3. La fonction croît avant 1 et décroît après 1. Remplacez x par 1 pour obtenir son maximum.

   $$\max_{x\in\mathbb R} f(x)=f(1)=\frac1e$$

Erreur fréquente: Le maximum est atteint pour x = 1, mais la valeur maximale de la fonction est 1/e.