Comprendre les matrices intuitivement (des machines qui transforment les trajets)

Les matrices sont le chapitre où des élèves pourtant capables se sentent soudain stupides. Jusqu'ici, chaque opération avait une image. L'addition, c'est combiner. La multiplication, c'est mettre à l'échelle. Même les opérations sur les vecteurs de l'article de la semaine dernière étaient des trajets que l'on pouvait marcher. Puis quelqu'un écrit deux grilles de nombres, annonce qu'on les multiplie en faisant « lignes fois colonnes », et l'image disparaît. La règle fonctionne. Personne ne sait dire ce qu'elle fait.

Le résultat est une deuxième vision double, sœur de celle de l'article sur les vecteurs. En cours d'algèbre, une matrice est une boîte de nombres. Dans les cours suivants, c'est une « application linéaire », une expression qui sonne comme une réponse et n'explique rien. Cet article est le pont : une matrice est une machine qui prend un trajet et rend un trajet, chaque colonne de la grille est le relevé de l'arrivée d'un axe, et la règle de multiplication n'est que la comptabilité de deux machines lancées à la suite.

Une machine qui transforme les trajets

Cette série revient sans cesse à une même idée : les nombres pointent. Un nombre négatif est un nombre ordinaire qui pointe vers l'arrière. Un nombre imaginaire est un nombre qui pointe de côté, hors de la droite, dans un plan. Un vecteur est cette idée enfin libérée, une grandeur qui porte n'importe quelle direction. Une fois que l'on a des trajets, la question suivante s'impose presque. Qu'est-ce qui agit sur un trajet ? Qu'est-ce qui prend « 3 vers l'est, 4 vers le nord » et en fait un autre trajet ?

Ce qui agit ainsi, c'est une matrice.

Imaginez une machine dont le réglage peut étirer, écraser, tourner ou retourner tout ce qu'on lui donne. Vous lui donnez un trajet, elle vous rend un trajet. Une matrice 2 par 2 est l'instruction complète d'une telle machine agissant sur le plan. Une matrice 3 par 3 est la même idée dans l'espace. La grille de nombres n'est pas l'objet. La grille est la fiche technique.

C'est pourquoi une matrice n'est pas un vecteur plus grand. Un vecteur est un trajet. Une matrice est une règle pour changer les trajets. Confondre les deux, c'est comme confondre un voyage avec le vent qui vous déporte.

Les colonnes sont l'arrivée des axes

Voici le fait qui rend tout le chapitre lisible. Vous n'avez pas besoin de savoir ce qu'une matrice fait à chaque trajet possible. Il suffit de savoir ce qu'elle fait à deux d'entre eux : un pas vers l'est, et un pas vers le nord. Tout autre trajet est une combinaison de ces deux-là, donc l'effet de la machine sur n'importe quel trajet est la même combinaison de ses effets sur les axes.

Écrivez ces deux résultats en colonnes, et vous avez la matrice.

Supposez que la machine envoie un pas vers l'est sur (2, 1) et un pas vers le nord sur (0, 3). La matrice est la grille 2 par 2 dont la première colonne est 2, 1 et dont la seconde colonne est 0, 3. Donnez-lui le trajet (3, 4), qui signifie « 3 vers l'est puis 4 vers le nord », et la sortie est 3 copies de la première colonne plus 4 copies de la seconde : 3 fois (2, 1) plus 4 fois (0, 3), c'est-à-dire (6, 3) plus (0, 12), c'est-à-dire (6, 15). C'est le produit d'une matrice par un vecteur. Le rituel ligne-colonne du manuel est cette même somme, écrite pour qu'un ordinateur puisse la lancer sans dessiner de flèches.

Les lecteurs venus de l'article sur les vecteurs reconnaîtront la somme : vous additionnez des trajets mis à l'échelle. La matrice n'invente pas une nouvelle arithmétique. Elle réutilise l'arithmétique des trajets, une fois par colonne.

La matrice identité est la machine qui ne fait rien. Un pas vers l'est reste un pas vers l'est, un pas vers le nord reste un pas vers le nord, donc ses colonnes sont exactement les deux trajets des axes. Donnez-lui n'importe quoi et vous récupérez le même n'importe quoi. C'est la photocopieuse réglée à 100 pour cent, sans rotation, et c'est la raison pour laquelle le nombre 1 a un pendant dans ce chapitre.

Multiplier, c'est appliquer ceci, puis cela

La règle qui semble inventée, multiplier deux matrices, est la composition de fonctions habillée d'une grille. Multiplier A par B, c'est construire l'unique machine qui fait B d'abord et A ensuite. Vous donnez un trajet à B, prenez ce qui sort, et le donnez à A. Le produit AB est la fiche technique de cette machine combinée.

C'est pourquoi l'ordre compte, et pourquoi il semble à l'envers. AB n'est pas BA, pour la même raison que mettre les chaussettes puis les chaussures n'est pas mettre les chaussures puis les chaussettes. La machine de droite agit d'abord parce que c'est déjà ainsi que nous écrivons les fonctions : f(g(x)) applique g d'abord. Le produit matriciel a hérité de la même convention.

C'est aussi pourquoi la recette ligne-colonne existe. Les colonnes de AB sont ce que la machine combinée fait aux axes, c'est-à-dire A appliquée aux colonnes de B. Chacune de ces colonnes est un produit matrice-vecteur, et chaque produit matrice-vecteur est un tas de produits scalaires. Le rituel du manuel, c'est trois couches de la même idée, comprimées en un seul moyen mnémotechnique.

Une conséquence utile : vous pouvez arrêter d'apprendre par cœur quand deux matrices ont le droit de se multiplier. Elles se multiplient quand les trajets qui sortent de la première machine ont la bonne taille pour entrer dans la seconde. Une matrice 2 par 3 mange des trajets de dimension 3 et en rend de dimension 2. Elle peut se placer à droite d'une matrice 2 par 2, qui mange des trajets de dimension 2, et à gauche d'une 3 par 4, qui rend des trajets de dimension 3. Les tailles intérieures doivent coïncider parce qu'elles sont le même couloir.

Le déterminant est l'aire qui survit

Donnez à la machine le carré unité dont les côtés sont les deux trajets des axes. L'image est un parallélogramme dont les côtés sont les deux colonnes. Le déterminant est l'aire algébrique de ce parallélogramme.

Si le déterminant vaut 2, la machine double les aires. S'il vaut 1/2, elle les divise par deux. S'il vaut 0, le parallélogramme s'est effondré en un segment ou un point : la machine a aplati le plan, deux trajets différents peuvent atterrir au même endroit, et de l'information a été jetée. S'il est négatif, la machine a inversé l'orientation, transformant un carré parcouru dans le sens antihoraire en un carré horaire, le même renversement que les nombres négatifs opèrent sur la droite.

Les recettes de calcul, ad moins bc pour une 2 par 2, le développement par cofacteurs plus tard, sont des façons de calculer cette aire. Elles n'en sont pas le sens. Une fois le parallélogramme vu, « le déterminant est nul » cesse d'être un échec mystérieux et devient une image : les deux colonnes pointent le long de la même droite, donc elles n'engendrent aucune aire, donc la machine ne se distingue pas d'une projection sur cette droite.

C'est aussi pourquoi un déterminant nul interdit une inverse, ce qui est tout le propos de la section suivante.

Inverser, c'est annuler

Une matrice inverse est le bouton d'annulation. Si A envoie un trajet v sur un trajet w, alors l'inverse de A envoie w vers v. Lancer la machine puis son inverse, c'est l'identité : vous vous retrouvez là où vous avez commencé, comme si rien n'était arrivé.

Une machine peut être annulée exactement quand elle n'a pas jeté d'information. C'est encore le test du déterminant. Si deux trajets d'entrée différents peuvent produire la même sortie, il n'y a pas de façon honnête de dire de quelle entrée une sortie est venue, et aucune inverse n'existe. Si chaque sortie est venue d'exactement une entrée, la machine d'annulation existe et elle est unique.

À l'école, cela arrive sous la forme d'une formule impliquant 1 sur le déterminant et une grille d'entrées remaniée. La formule est réelle, et elle mérite d'être travaillée, mais c'est une conséquence. L'idée est « remonter le film », et cela ne marche que lorsque le film n'a pas aplati la scène.

Les systèmes d'équations linéaires sont cette même idée sous un autre costume. L'algèbre vous a appris à résoudre deux équations à deux inconnues par élimination. Ces deux équations sont une matrice qui agit sur un trajet inconnu, égalée à un trajet connu. Résoudre le système, c'est appliquer l'inverse. Quand le système n'a pas de solution, ou en a une infinité, le déterminant est nul : la machine a aplati le plan, et le second membre a soit manqué la droite qui reste, soit atterri dessus d'une infinité de façons. Les cas que vous avez mémorisés comme « incompatible » et « indéterminé » sont les deux manières dont une machine qui s'effondre peut échouer à avoir une seule annulation.

Les vecteurs propres refusent de tourner

La plupart des trajets entrent dans la machine et en sortent pointés autrement. Quelques trajets particuliers en sortent pointés dans le même sens qu'à l'entrée, seulement plus longs ou plus courts. Ces trajets sont les vecteurs propres, et le facteur d'étirement est la valeur propre.

L'image est une soufflerie. La plupart des flèches sont déportées de côté. Les vecteurs propres sont les flèches que le vent ne fait qu'allonger ou raccourcir. Si le facteur vaut 2, la machine double ce trajet. S'il vaut 1, elle laisse ce trajet tranquille. S'il vaut 0, elle écrase ce trajet jusqu'à rien, c'est l'aplatissement des deux sections précédentes vu le long d'une seule direction. S'il est négatif, elle renverse le trajet en plus de l'étirer.

C'est la seule idée des chapitres plus avancés qui a l'air avancée et ne l'est pas. Demander les vecteurs propres, c'est demander : le long de quelles directions cette machine agit-elle comme une multiplication ordinaire par un nombre ? Une fois ces directions trouvées, la machine devient simple dans ce système de coordonnées, et c'est pourquoi chaque discipline qui utilise les matrices, des équations différentielles au classement des pages web, se met à les chercher.

D'où viennent les erreurs

Les erreurs sur les matrices se concentrent en trois endroits, et chacun est une image qui n'a jamais été dessinée.

La première est de multiplier case par case. Les élèves voient deux grilles de même taille et apparient les nombres, comme on additionne des matrices, ce qui se fait vraiment case par case. La multiplication n'est pas l'addition. C'est lancer une machine puis l'autre. Deux matrices 2 par 2 produisent une autre 2 par 2, mais chaque colonne de sortie est A appliquée à une colonne de B, pas les quatre paires de cases correspondantes, multipliées.

La deuxième est d'ignorer l'ordre. AB et BA sont des machines différentes dès que A et B font des choses différentes, ce qui est presque toujours le cas. Écrire les facteurs dans l'ordre où vous les avez rencontrés, plutôt que dans l'ordre où ils agissent, c'est l'erreur des chaussettes et des chaussures, et c'est le faux pas algébrique le plus fréquent de tout le chapitre.

La troisième est de traiter un déterminant nul comme une calculatrice cassée plutôt que comme un parallélogramme aplati. La machine fait encore quelque chose : elle envoie chaque trajet sur une droite, ou à l'origine. Elle ne peut simplement pas être annulée. « Pas d'inverse » n'est pas un refus de l'univers. C'est la description d'une machine qui a perdu une dimension.

La place de Math Zen

Les matrices reposent sur l'étage des vecteurs, et toute instabilité là-dessous remonte tout de suite. Additionner des colonnes, c'est l'addition de vecteurs. L'étape « ligne fois colonne » est un produit scalaire. Le déterminant d'une 2 par 2 est l'aire algébrique d'un parallélogramme, la même géométrie que l'article sur les vecteurs utilisait pour la règle du parallélogramme. Si ces opérations sont encore verbales plutôt que visuelles, chaque calcul matriciel devient un rituel.

La progression par paniers de Math Zen garde les étages dans l'ordre. Les premiers paniers font travailler l'arithmétique des nombres relatifs et le cercle trigonométrique. Les paniers de vecteurs rendent ensuite réflexes l'addition, la mise à l'échelle et le produit scalaire. Les paniers de matrices prennent tout cela comme acquis et font travailler les opérations nouvelles : multiplier, calculer des déterminants, inverser, résoudre des systèmes, et trouver des valeurs propres, exactement la liste des images de cet article, transformée en courts problèmes que l'on peut faire chaque jour. La répétition espacée est ce qui transforme « les colonnes sont l'arrivée des axes » d'une phrase qui vous a un jour convaincu en un réflexe que vous utilisez à la deuxième ligne d'une question d'examen.

L'essentiel

Une matrice est une machine qui prend un trajet et rend un trajet. La grille de nombres est la fiche technique : chaque colonne est l'arrivée d'un axe, et l'effet sur tout autre trajet est la combinaison correspondante de ces colonnes. Multiplier deux matrices construit la machine qui lance d'abord celle de droite. Le déterminant est l'aire qui survit, nul quand la machine aplatit le plan. L'inverse est le bouton d'annulation, et il existe exactement quand rien n'a été aplati. Les vecteurs propres sont les rares trajets que la machine étire sans les tourner.

Tenu ainsi, le chapitre ne contient qu'une seule idée, appliquée à des machines de plus en plus grandes. La vision double des deux salles de classe se dissipe dès que vous cessez de demander si une matrice est vraiment une grille ou vraiment une transformation. C'est vraiment une machine, et la grille n'est que la liste de l'arrivée des axes.