Número de Euler e: qué es y por qué vale 2,718

Escribe "e elevado a 1" en una calculadora y responderá 2,718281828. Ese número es el número de Euler, que se escribe e, y es una de las pocas constantes con las que acaba topándose toda rama de las matemáticas: el interés compuesto, el crecimiento de poblaciones, la desintegración radiactiva, la probabilidad y todo el cálculo.

Esta guía da primero la respuesta corta y después muestra de dónde sale el valor, dos formas de calcularlo y por qué el cálculo trata a e como la base natural de los exponentes. Si los exponentes todavía te cuestan, empieza por entender los exponentes de forma intuitiva y vuelve aquí.

La respuesta corta: qué es e, cuánto es e elevado a 1 y sus valores clave

El valor de e es aproximadamente 2,71828. Con más cifras, es 2,718281828459045..., y los decimales ni terminan ni se repiten, porque e es irracional (MathWorld). Es la base del logaritmo natural y de la función exponencial natural $e^{x}$. También lo verás llamado constante de Napier, por John Napier (Wikipedia).

La mayoría de las búsquedas sobre e piden en realidad uno de unos pocos valores. Aquí están, calculados con seis o más cifras significativas:

Expresión	Valor	Por qué
$e^{1}$	2,718282	Cualquier número elevado a 1 es él mismo
$e^{0}$	1	Cualquier número distinto de cero elevado a 0 es 1
$e^{-1}$	0,367879	Igual que $1/e$
$e^{2}$	7,389056	$e \times e$
$e^{1/2}$	1,648721	Igual que $\sqrt{e}$
$\ln e$	1	El logaritmo natural deshace $e^{x}$

Así que e elevado a 1 es simplemente e, unos 2,71828. En la primera potencia no ocurre nada especial; lo especial es la propia base.

De dónde sale e: el interés compuesto

Jacob Bernoulli se topó con este número en 1683 al estudiar el interés compuesto de forma continua, y demostró que debía estar entre 2 y 3 (MacTutor). Su pregunta es fácil de plantear.

Imagina que depositas 1 dólar en una cuenta que paga un 100 % de interés al año. Si se paga una sola vez al final del año, tendrás 2 dólares. Ahora reparte ese mismo 100 % en n pagos más pequeños, cada uno de los cuales suma $1/n$ del saldo, y deja que cada pago genere intereses sobre los anteriores. Al cabo de un año tendrás

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$$

dólares. Capitalizar con más frecuencia paga más, pero no sin límite:

Capitalización	n	Saldo tras un año
Anual	1	2,000000
Semestral	2	2,250000
Trimestral	4	2,441406
Mensual	12	2,613035
Diaria	365	2,714567
Cada hora	8.760	2,718127
Continua	n crece sin límite	2,718282 = e

Pasar de la capitalización mensual a la diaria añade unos diez centavos. Pasar de la diaria a la de cada hora añade menos de medio centavo. El saldo se arrastra hacia un techo que nunca supera, y ese techo es e. Así define exactamente el número el texto de cálculo de OpenStax: cuando m crece, $\left(1 + 1/m\right)^{m}$ se acerca a un número, y ese número se llama e (OpenStax Calculus Volume 1, sección 1.5). Para una tasa r durante t años, la misma idea da la fórmula del crecimiento continuo $A = Pe^{rt}$.

Dos definiciones que coinciden, y la rapidez con que cada una llega

Hay un segundo camino hacia el mismo número. Suma 1 dividido entre cada factorial:

$$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$$

MathWorld recoge ambas formas como definiciones de e, y Euler las puso una junto a otra en su Introductio in analysin infinitorum de 1748, donde además dio e con 18 cifras decimales (MacTutor). Producen el mismo número, pero a velocidades muy distintas. Aquí tienes la carrera de convergencia, calculada directamente; la meta es 2,71828, las cinco primeras cifras decimales de e:

Carrera de convergencia: límite frente a serie

Límite $\left(1 + 1/n\right)^{n}$	Valor	Serie, términos usados	Suma parcial
n = 1	2,000000	2 términos (hasta 1/1!)	2,000000
n = 10	2,593742	4 términos (hasta 1/3!)	2,666667
n = 100	2,704814	6 términos (hasta 1/5!)	2,716667
n = 1.000	2,716924	8 términos (hasta 1/7!)	2,718254
n = 100.000	2,718268	9 términos (hasta 1/8!)	2,718279
n = 1.000.000	2,718280	10 términos (hasta 1/9!)	2,718282

La serie fija 2,71828 tras 10 términos. El límite necesita una n de unos 743.000 antes de mostrar por primera vez 2,71828, e incluso con un millón de pasos todavía falla en la sexta cifra decimal. La razón está en el tamaño de los errores. Cada nuevo término factorial es mucho más pequeño que el anterior, así que el error de la serie se reduce más rápido que cualquier potencia. El error del límite se reduce aproximadamente como $e/(2n)$, de modo que diez veces más pasos solo aportan aproximadamente una cifra correcta más.

La lección práctica: el límite explica por qué existe e (es el techo del crecimiento compuesto), y la serie es lo que realmente usas para calcularlo.

Por qué el cálculo prefiere e

Toda función exponencial $b^{x}$ con $b > 0$ es una curva que sube (o baja) cada vez más deprisa. Su pendiente en cualquier punto es proporcional a su altura. Para la mayoría de las bases, esa proporción es una constante incómoda: para $2^{x}$ la pendiente es aproximadamente 0,693 veces la altura; para $3^{x}$, aproximadamente 1,099 veces la altura.

Hay exactamente una base para la que esa constante vale 1, de modo que la pendiente en cada punto es igual a la altura. Esa base es e. OpenStax define e así en su capítulo de derivadas: la única base cuya exponencial tiene pendiente 1 en $x = 0$, de lo cual se sigue que

$$\frac{d}{dx}\, e^{x} = e^{x}$$

(OpenStax Calculus Volume 1, sección 3.9). Una función que es su propia derivada vuelve casi gratuito el cálculo con crecimiento: derivas $e^{x}$ y no cambia nada, la integras y no cambia nada. Si la idea de derivada como pendiente es nueva para ti, las derivadas desde cero la construyen paso a paso.

El logaritmo natural, escrito ln, es la función inversa de $e^{x}$: $\ln(e^{x}) = x$ y $e^{\ln x} = x$ para $x > 0$. Su derivada es igual de limpia, $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$. Por eso los científicos llaman "natural" a la base e: es la base que hace más cortas las fórmulas. Nuestra guía para entender los logaritmos de forma intuitiva cubre ln junto con las bases 10 y 2.

La serie de la sección anterior tampoco es una casualidad. La serie de Maclaurin de $e^{x}$ es $\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}/n!$ (OpenStax Calculus Volume 2, sección 6.3); haz $x = 1$ y obtendrás la suma de factoriales de e.

Número de Euler, constante de Euler e identidad de Euler

El nombre de Euler está ligado a tantos resultados que en las búsquedas se mezclan tres cosas distintas:

Nombre	Símbolo y valor	Qué es
Número de Euler	e ≈ 2,71828	Base del logaritmo natural; el límite y la serie de arriba
Constante de Euler (Euler-Mascheroni)	γ ≈ 0,57722	El límite de $1 + \tfrac{1}{2} + \cdots + \tfrac{1}{n} - \ln n$ cuando n crece
Identidad de Euler	$e^{i\pi} + 1 = 0$	Una ecuación que une e, i, π, 1 y 0

También difieren en lo que se sabe de ellas. De e se ha demostrado que es irracional y, por Charles Hermite en 1873, trascendente (MathWorld). De γ todavía no se sabe ni siquiera si es irracional (MathWorld, constante de Euler-Mascheroni). Y la identidad de Euler no es un número, sino una afirmación sobre e elevado a una potencia imaginaria; nuestro recorrido por la identidad de Euler muestra por qué $e^{i\pi}$ cae en -1.

Errores frecuentes con e

Tratar e como una variable. En $e^{x}$, x varía y e no. Resolver $e^{x} = 5$ significa tomar ln en ambos lados: $x = \ln 5 \approx 1.609$.

Redondear demasiado pronto. Usar 2,7 en lugar de e en $e^{3}$ da 19,683 en vez de 20,0855. Conserva el e de la calculadora hasta el último paso.

Confundir $e^{-1}$ con $-e$. Un exponente negativo significa un inverso: $e^{-1} = 1/e \approx 0.3679$, que es positivo. $-e \approx -2.718$ es otro número.

Mezclar ln y log. En la mayoría de las calculadoras "log" significa base 10 y "ln" significa base e. $\ln e = 1$, pero $\log e \approx 0.4343$.

Practica con e

Prueba estos ejercicios antes de comprobar las respuestas:

1. Sin calculadora, ¿cuánto valen $e^{0}$, $e^{1}$ y $\ln 1$?
2. Simplifica $e^{2} \cdot e^{3}$ y $\ln\left(e^{7}\right)$.
3. Resuelve $e^{x} = 1$.

Respuestas: 1, e y 0; $e^{5}$ y 7; $x = 0$.

La práctica de logaritmos de Math Zen entrena ln y el cambio de base, y la práctica de funciones incluye funciones exponenciales, para que conviertas estas reglas en hábitos, un problema cada vez.

Preguntas frecuentes

¿Es e un número racional?

No. e es irracional y sus decimales ni terminan ni se repiten. Hermite demostró en 1873 que además es trascendente: no es raíz de ningún polinomio no nulo con coeficientes racionales.

¿Por qué se llama e?

Leonhard Euler usó la letra en una carta a Christian Goldbach en 1731 y en un texto impreso en 1736. Nadie sabe con certeza por qué eligió la e; los historiadores no respaldan la historia de que escogió su propia inicial.

¿Cuánto es e^2?

Unos 7,389. Es e multiplicado por sí mismo, $2.71828 \times 2.71828$.

¿Cuánto es e elevado a 0?

Exactamente 1, como cualquier número distinto de cero elevado a 0.