Regla de L'Hôpital: cuándo se aplica y cuatro límites resueltos

Sustituyes el valor al que tiende $x$ en una fracción y obtienes $0/0$. ¿Hay que derivar numerador y denominador? A veces. Antes conviene preguntar si la expresión se simplifica con álgebra, si las dos partes forman realmente un caso permitido y si derivarlas facilitará el límite. La regla de L'Hôpital es un teorema con condiciones, no una orden para derivar toda fracción cuyo denominador dé problemas.

Esta guía coloca una tabla de elegibilidad antes de los cálculos y la sigue en cuatro límites resueltos. Uno se resuelve más rápido al factorizar, otro queda fuera de la regla, uno la utiliza en el infinito y el último solo se vuelve apto tras tomar logaritmos. Si todavía estás aprendiendo qué es un límite, empieza por nuestra explicación de límites. La guía de derivadas repasa el otro requisito.

Comprueba las condiciones antes de derivar

Al acercarte al punto, examina el numerador y el denominador por separado. La regla se aplica directamente a cocientes de las formas $0/0$ o $\pm\infty/\pm\infty$, siempre que se cumplan las demás condiciones. No se aplica directamente a $5/0$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$ ni a una potencia como $1^{\pm\infty}$. Algunas de estas formas pueden transformarse en un cociente admisible; otras requieren otro método.

En una formulación habitual, bajo las hipótesis del teorema,

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

si existe el límite de la derecha como límite finito o infinito apropiado. Cerca del punto de aproximación, $f$ y $g$ deben ser derivables en el intervalo perforado pertinente y $g'(x)$ no debe anularse allí. El par original debe tender simultáneamente a cero o crecer ambos sin límite en el sentido considerado. Hay versiones correspondientes para límites laterales y límites en el infinito. OpenStax, Cálculo, volumen 1, §4.8 presenta el teorema y las transformaciones; Paul's Online Notes insiste en revisar la forma antes de aplicarlo.

Si no existe el límite de $f'/g'$, el intento puede ser sencillamente inconcluyente. Eso no demuestra por sí solo que el límite original no exista. Y ver $0/0$ al sustituir es solo la primera comprobación: también hacen falta las condiciones sobre funciones y derivada del denominador alrededor del punto. En todos los ejemplos indicaremos el dominio y el sentido de aproximación.

Caso 1: primero resuelve el álgebra

Considera

$$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}.$$

Numerador y denominador tienden a cero, de modo que la forma es $0/0$. Según la primera fila de la tabla, la regla podría usarse, pero factorizar es más sencillo. Para $x\ne3$,

$$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.$$

La fracción no está definida en $x=3$, pero un límite se refiere a valores cercanos. En esos valores equivale a $x+3$, así que el límite es $6$. Como comprobación, derivar numerador y denominador por separado da $\lim_{x\to3}2x/1=6$. Los dos métodos coinciden, pero la factorización deja visible el hueco evitable y justifica la cancelación.

Aquí hay que elegir método: que la regla sea válida no significa que sea preferible. Factorizar, racionalizar o simplificar una fracción compleja suele eliminar el obstáculo antes de usar derivadas. Nuestra explicación de límites emplea otro ejemplo con un hueco para distinguir el valor en el punto del límite. En este caso se trata de escoger el camino válido más corto y claro.

Caso 2: 5/0 no es una indeterminación

Ahora toma

$$\lim_{x\to0}\frac{5}{x}.$$

El numerador tiende a $5$, no a cero ni a infinito, y el denominador tiende a cero. Es la segunda fila, $5/0$, por lo que la regla de L'Hôpital no se aplica. El sentido de aproximación decide: si $x\to0^+$, $5/x\to+\infty$; si $x\to0^-$, $5/x\to-\infty$. El límite bilateral no existe, aunque conocemos el comportamiento por cada lado.

Derivar ciegamente arriba y abajo daría $0/1=0$, respuesta falsa. No es que el teorema haya fallado: se ha calculado sin cumplir sus hipótesis. Comprueba la elegibilidad antes de derivar. Aquí el signo del denominador a cada lado aporta más información que otra línea de álgebra.

El ejemplo también muestra por qué «el denominador tiende a cero» no basta para clasificar un límite. Compáralo con el caso 1: los dos denominadores tienden a cero, pero en el primero también lo hace el numerador y el cociente se acerca a un número finito. La forma inicial determina qué métodos están disponibles; los lados indican si existe una respuesta bilateral.

Caso 3: infinito entre infinito

Haz $x\to+\infty$ en

$$\frac{2x^2+3x}{x^2-1}.$$

Tanto numerador como denominador crecen hacia $+\infty$, así que tenemos la forma admisible $\infty/\infty$ de la tercera fila. Para $x$ positivo suficientemente grande, ni el denominador ni su derivada son cero. Deriva el numerador y el denominador por separado:

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+3x}{x^2-1} =\lim_{x\to+\infty}\frac{4x+3}{2x}=2.$$

El último paso se debe a que $3/(2x)\to0$. Basta con aplicar la regla una vez; no sigas derivando cuando el nuevo cociente tenga un límite claro. Una comprobación algebraica es incluso más corta: divide numerador y denominador originales entre $x^2$ y obtendrás $(2+3/x)/(1-1/x^2)\to2$. Ambos métodos muestran que mandan los coeficientes cuadráticos principales.

Esta comparación ayuda a escoger método. Derivar sirve cuando simplifica el cociente. Si dividir entre la mayor potencia de $x$ resuelve inmediatamente el problema, hazlo. La regla es válida aquí, pero eso no invalida la solución algebraica más simple.

Caso 4: una potencia necesita logaritmos

Considera la expresión positiva $(1+x)^{1/x}$ cuando $x\to0$, con $x>-1$ y $x\ne0$. La base tiende a $1$ mientras el valor absoluto del exponente crece sin límite, dando la forma de potencia indeterminada $1^{\pm\infty}$. No es un cociente: según la cuarta fila, no debemos aplicar L'Hôpital directamente a la potencia.

Sea $y=(1+x)^{1/x}$ y toma logaritmos naturales en el dominio positivo:

$$\ln y=\frac{\ln(1+x)}{x}.$$

Ahora numerador y denominador del cociente logarítmico tienden a cero. Cerca de cero son derivables y la derivada del denominador es $1$. Aplica la regla a este cociente:

$$\lim_{x\to0}\ln y =\lim_{x\to0}\frac{1/(1+x)}{1}=1.$$

La función exponencial es continua, así que el límite original es $e^1=e$. Dentro de $x>-1$ se obtiene el mismo valor por ambos lados. La distinción esencial: L'Hôpital calculó el límite de $\ln y$, no el de la potencia directamente. Nuestra guía sobre el número de Euler explica por qué los límites con $e$ aparecen tanto en cálculo.

No tomes el logaritmo de una expresión que pueda ser no positiva sin revisar el dominio. Aquí $1+x>0$ cerca de cero, por lo que el logaritmo es legítimo. El paso logarítmico transforma el problema en un cociente; la exponenciación devuelve la respuesta a la expresión original. Sin uno de esos pasos, el argumento queda incompleto.

No confundas dos operaciones distintas

La regla de L'Hôpital compara el límite de $f/g$ con el límite de $f'/g'$. Por su parte, la regla del cociente calcula la derivada de la función completa $f/g$:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$

Son objetos distintos. En el caso 1, para $x\ne3$ la fracción equivale a $x+3$, así que su derivada ordinaria cerca de ese punto es $1$. Pero su límite cuando $x\to3$ es $6$. Sustituir la derivada de la regla del cociente por $f'/g'$ contestaría otra pregunta. Del mismo modo, aplicar $f'/g'$ al caso 2 dio una respuesta errónea porque faltaba la forma inicial requerida.

Una rutina breve: sustituye o examina ambas partes, nombra la forma, simplifica si puedes, comprueba el dominio y las hipótesis, y deriva arriba y abajo por separado solo si eso facilita un cociente apto. Mantén el sentido de aproximación en la notación. Para practicar, cambia el caso 3 a $x\to-\infty$ y vuelve a comprobar su forma y resultado. Los temas de límites y derivadas de Math Zen trabajan estas destrezas paso a paso.

Preguntas frecuentes

¿Puedo usar L'Hôpital siempre que sustituir dé $0/0$? Es una posibilidad, no una instrucción automática. Comprueba la derivabilidad en el entorno perforado pertinente, que la derivada del denominador no sea cero allí y que el cociente de derivadas tenga un límite adecuado. Prueba antes el álgebra sencilla.

¿Se puede aplicar la regla más de una vez? Sí, si el nuevo cociente vuelve a cumplir las condiciones y otra aplicación ayuda. Comprueba otra vez la forma. Para cuando ya puedas calcular un límite ordinario.

¿Por qué no usar la regla del cociente? Esa regla halla la derivada de $f/g$. L'Hôpital compara los límites de $f/g$ y $f'/g'$ bajo condiciones especiales. No son operaciones intercambiables.

¿Y si el numerador no tiende a cero? Si el denominador tiende a cero y el numerador a un valor finito distinto de cero, no hay forma $0/0$. Examina el signo y los límites laterales, como en $5/x$ cerca de cero.