Derivadas parciales: ejercicios resueltos paso a paso

Halla las dos derivadas parciales de $f(x,y)=x^2y+3y^2$. Si obtienes $2x$ y $6y$, has perdido un coeficiente y un término entero. Mantener fija una variable significa tratarla como un número, no borrar todos los términos que la contienen. Las respuestas correctas son $f_x=2xy$ y $f_y=x^2+6y$.

Esta serie empieza con ese error y avanza hacia productos, funciones compuestas, derivadas mixtas y comprobaciones numéricas. Intenta resolver cada problema antes de leer la solución. Escribe junto a la primera línea qué variable mantienes fija: esa pequeña anotación ayuda a detectar muchas respuestas incorrectas.

Para visualizar el cálculo, consulta la guía intuitiva de derivadas parciales. Aquí nos centramos en hacer el álgebra y comprobar el resultado, sin volver a presentar superficies y gradientes.

La regla que debes escribir encima del desarrollo

Para $f_x$, deriva respecto a $x$ tratando $y$ como constante. Para $f_y$, intercambia sus papeles. La definición de derivada parcial de OpenStax deja explícita la entrada fija en el cociente incremental. Después, aplica las reglas habituales de derivación a la variable que sí cambia.

Por ejemplo, si $y$ está fija, $y^2$ es una constante, mientras que $xy^2$ es una constante multiplicada por $x$. Por tanto, sus derivadas respecto a $x$ son diferentes:

$$\frac{\partial}{\partial x}(y^2)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(xy^2)=y^2.$$

No sustituyas las dos coordenadas antes de derivar. Sustituir el punto completo convierte la expresión en un número y elimina la variación cercana que necesitas. Deriva primero y evalúa después. Sustituir solo la coordenada fija sí es válido y permite una comprobación independiente.

Problema 1: un polinomio con dos entradas independientes

Halla $f_x$ y $f_y$ para

$$f(x,y)=2x^3y-5xy^2+7y,$$

y evalúa ambas en $(1,2)$.

Respecto a x: mantén $y$ fija. Los coeficientes de $x^3$ y $x$ son $2y$ y $-5y^2$. El último término no cambia:

$$f_x=6x^2y-5y^2.$$

Respecto a y: mantén $x$ fija. El primer término es lineal en $y$, el segundo cuadrático y el tercero lineal:

$$f_y=2x^3-10xy+7.$$

En el punto pedido,

$$f_x(1,2)=12-20=-8, \qquad f_y(1,2)=2-20+7=-11.$$

Las dos derivadas son negativas allí. Su signo no determina el valor de la función: altura y pendiente son magnitudes diferentes. Para comprobar la primera respuesta de otro modo, sustituye $y=2$ en la función original. Obtienes $4x^3-20x+14$, cuya derivada ordinaria es $12x^2-20$. En $x=1$ vuelve a valer $-8$.

Problema 2: un producto y una exponencial

Halla las dos derivadas parciales de

$$g(x,y)=x^2e^{xy}.$$

Para $g_x$, ambos factores dependen de $x$, así que usa la regla del producto. La exponencial también exige la regla de la cadena: con $y$ fija, la derivada de $xy$ es $y$.

$$g_x=2xe^{xy}+x^2e^{xy}y =e^{xy}(2x+x^2y).$$

Para $g_y$, el factor $x^2$ es constante. Solo cambia la exponencial, y la derivada de su exponente respecto a $y$ es $x$:

$$g_y=x^2e^{xy}x=x^3e^{xy}.$$

En $(1,0)$, resultan $g_x=2$ y $g_y=1$. Una respuesta incorrecta frecuente es $g_x=2xe^{xy}$: deriva el primer factor y olvida que el segundo también depende de $x$. Otra reemplaza la derivada interior por 1 en ambos cálculos y pierde la diferencia entre $x$ y $y$.

Si necesitas practicar cómo identificar la función interior, los ejemplos de la regla de la cadena separan cada capa antes de recombinar los factores.

Problema 3: logaritmos, fracciones y dominio

Sea

$$h(x,y)=\ln(x^2+2y^2).$$

El logaritmo exige $x^2+2y^2>0$, por lo que se excluye el origen. En cualquier otro punto, deriva el interior y divide entre él:

$$h_x=\frac{2x}{x^2+2y^2}, \qquad h_y=\frac{4y}{x^2+2y^2}.$$

En $(2,1)$, el denominador es 6 y ambas derivadas valen $2/3$. Esa igualdad solo se cumple en este punto; no significa que las dos funciones derivadas sean idénticas.

El denominador da una advertencia útil. Ni la función original ni estas fórmulas tienen valor en $(0,0)$. Un cálculo que devuelva cero allí ha sustituido en una fracción indefinida. Comprueba el dominio antes de evaluar, sobre todo si un ejercicio combina raíces, logaritmos y cocientes.

Problema 4: derivadas mixtas en ambos órdenes

Considera

$$p(x,y)=x^2y^3+\sin(xy).$$

En esta guía, $p_{xy}$ significa derivar primero respecto a $x$ y después respecto a $y$. Escribe la derivada intermedia para que el orden no ofrezca dudas:

$$p_x=2xy^3+y\cos(xy).$$

Ahora deriva esa expresión respecto a $y$. El segundo término requiere la regla del producto:

$$p_{xy}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

Invierte el orden:

$$p_y=3x^2y^2+x\cos(xy),$$ $$p_{yx}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

Las respuestas coinciden. Aquí todas las derivadas pertinentes son continuas, así que la igualdad también se espera por el teorema de las derivadas mixtas descrito en OpenStax. No conviertas esa coincidencia en una regla incondicional para cualquier función imaginable. En un ejercicio usual con una función suave es una comprobación excelente; en un punto donde falla la regularidad importan las hipótesis del teorema.

Problema 5: una tercera variable también es una entrada fija

Para

$$q(x,y,z)=xy^2+z\cos x,$$

halla las tres derivadas parciales de primer orden. Manteniendo dos entradas fijas en cada caso, obtenemos

$$q_x=y^2-z\sin x, \qquad q_y=2xy, \qquad q_z=\cos x.$$

En $(0,2,3)$ sus valores son 4, 0 y 1. El cero del medio no afirma que la función nunca dependa de $y$. Indica que la tasa de cambio de primer orden en esa dirección es cero en ese punto concreto. Sustituir $x=0$ en la expresión original confirma que la sección es simplemente $q=3$ cuando $z=3$.

Una comprobación numérica que detecta factores omitidos

Vuelve al problema 1 en $(1,2)$. Mantén $y=2$, elige un número positivo pequeño $s$ y calcula la diferencia centrada

$$\frac{f(1+s,2)-f(1-s,2)}{2s}.$$

Para este polinomio, al desarrollar el numerador se obtiene exactamente $-8+4s^2$. Las comprobaciones son:

Esto comprueba una respuesta simbólica, no demuestra una fórmula de derivación. Además, solo comprueba el punto elegido. Si por error cambias las dos coordenadas en el numerador, mides la variación a lo largo de otro camino. Con aritmética de coma flotante, un paso diminuto puede introducir un error por cancelación; añadir más ceros no siempre mejora la prueba.

Diagnostica la respuesta incorrecta antes de recomenzar

Usa la tabla para corregir el paso concreto en vez de rehacer toda el álgebra. Si aún fallan las reglas ordinarias de derivación, repasa la introducción a las derivadas.

Prueba otros dos ejercicios y compara tu trabajo

Ejercicio A. Halla $r_x$ y $r_y$ para $r(x,y)=3x^2y+y^4$ y evalúalas en $(2,-1)$.

Las derivadas son $r_x=6xy$ y $r_y=3x^2+4y^3$. En el punto valen $-12$ y $8$. El término $y^4$ desaparece solo de la derivada respecto a x. En la derivada respecto a y aporta $4y^3=-4$.

Ejercicio B. Halla las dos primeras derivadas parciales de $s(x,y)=\cos(2x-y)$ y evalúalas en $(0,0)$.

La regla de la cadena da $s_x=-2\sin(2x-y)$ y $s_y=\sin(2x-y)$. El signo positivo de la segunda respuesta viene de dos signos negativos: uno al derivar el coseno y otro al derivar $2x-y$ respecto a $y$. Ambas valen cero en el origen, aunque sus fórmulas sean diferentes.

Cuando estos cálculos resulten cómodos, continúa con la práctica de derivadas parciales. Anota brevemente qué error corregiste: entrada fija, regla del producto, derivada interior o sustitución prematura. Esa nota te indica qué tipo de problema conviene repetir después.