Entender las derivadas parciales de forma intuitiva (pendiente en una dirección)

Una derivada ordinaria es la pendiente de una curva. Tienes una entrada, una salida, y en cada punto un solo número que dice qué tan rápido cambia la salida. Esa imagen falla en el momento en que la función tiene dos entradas. Una gráfica en tres dimensiones es una superficie, no una curva, y una superficie no tiene una sola pendiente. Desde el mismo punto puedes caminar al este y encontrar una subida suave, o al norte y encontrar un descenso.

La derivada parcial es el recambio honesto. Responde a una pregunta más estrecha: si dejo quietas todas las demás entradas y camino solo en esta dirección, ¿cuál es la pendiente? El resto del capítulo, las cruzadas, el gradiente, la regla de la cadena multivariable, es esa misma pregunta hecha a lo largo de varios caminos.

Una superficie no tiene una sola pendiente

Una función de una variable dibuja una curva en el plano. Una función de dos variables, f(x, y), dibuja una superficie en el espacio. Cada par (x, y) es un punto en el suelo, y f(x, y) es la altura del techo sobre ese punto.

Toma el cuenco

$$f(x, y) = x^{2} + y^{2}$$

En el origen la altura es 0. En (1, 0) es 1. En (0, 2) es 4. En (1, 2) es 5. De pie en (1, 2), ningún número único merece el nombre de «la pendiente». Camina en la dirección x y el techo sigue subiendo. Camina en y y sube más rápido. Camina en diagonal y obtienes una mezcla de las dos.

Por eso quienes dominan el cálculo de una variable sienten que el suelo se mueve. La derivada en la que confiaban era una descripción completa del cambio local. En una superficie solo describe un paseo elegido.

Los mapas del tiempo y los mapas topográficos ya usan la idea. Una curva de nivel es un conjunto de puntos a la misma altura. Donde las curvas se aprietan, la superficie es empinada. Donde se abren, es suave. Una derivada parcial es la pendiente que medirías si siguieras una línea de la cuadrícula en ese mapa e ignoraras la otra.

Mantén una entrada quieta

El movimiento que hace legible la superficie es un corte.

Fija y en una constante, por ejemplo y = 2, y mira solo cómo la altura depende de x. La función se reduce a

$$g(x) = f(x, 2) = x^{2} + 4$$

una parábola ordinaria sentada cuatro unidades por encima del eje x. Su derivada es 2x. Ese número es la derivada parcial de f respecto de x, evaluada a lo largo de la recta y = 2. En x = 1 vale 2: si estás en (1, 2) y das un paso minúsculo en x, el techo sube unas 2 unidades de altura por unidad de paso.

Fija en cambio x, por ejemplo x = 1, y el corte es

$$h(y) = 1 + y^{2}$$

con derivada 2y. En y = 2 esa pendiente vale 4. Mismo punto, otro paseo, otra pendiente. No hay contradicción. Hiciste dos preguntas distintas.

En el cálculo, la regla es la del análisis de una variable. Para hallar $\frac{\partial f}{\partial x}$, trata y como constante y deriva en x. Para hallar $\frac{\partial f}{\partial y}$, trata x como constante y deriva en y. Para el cuenco, $\frac{\partial f}{\partial x}$ = 2x y $\frac{\partial f}{\partial y}$ = 2y. La otra variable ni siquiera aparece, porque cada término de $x^{2} + y^{2}$ depende de una sola entrada. En un producto como $3x^{2}$y aparecen las dos: $\frac{\partial}{\partial x}$ da 6xy, porque 3y es un coeficiente fijo de $x^{2}$, y $\frac{\partial}{\partial y}$ da $3x^{2}$, porque $3x^{2}$ es un coeficiente fijo de y.

La frase «mantén la otra variable constante» no es un truco de examen. Es el corte. Estás sobre una línea de la cuadrícula y preguntas la pendiente del techo a lo largo de esa línea.

La d rizada es una etiqueta de aviso

El símbolo ∂, la d rizada, existe para que este corte no se confunda con otras dos derivadas.

La d ordinaria de $\frac{df}{dx}$ pertenece a una función de una variable. Si alguien escribe $\frac{df}{dx}$ para f(x, y), no ha dicho qué ocurre con y. Quizá y es independiente y está congelada, y entonces es la parcial. Quizá y es en secreto una función de x, en cuyo caso x puede cambiar la salida por ambos canales a la vez, y hace falta la derivada total. La d rizada anuncia la primera lectura: esta entrada se mueve, las otras no.

La notación se parte luego en dos hábitos que significan lo mismo:

• forma de Leibniz: $\frac{\partial f}{\partial x}$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$
• forma subíndice: $f_x$ y $f_y$

Ambas son la pendiente de un corte. Las parciales de orden superior apilan los subíndices o los denominadores. $f_xx$ es «corta en x, luego vuelve a cortar esa pendiente en x», la derivada segunda ordinaria a lo largo de esa línea de la cuadrícula. $f_xy$ es «corta en x, luego pregunta cómo cambia esa pendiente en x cuando caminas en y».

La d rizada no es un algoritmo nuevo. Regla de la potencia, del producto, de la cadena, todas siguen valiendo. La información nueva es qué variables están congeladas. Olvidarlo es leer todo el tema como si fuera otro tema.

Las cruzadas miden el torcimiento

Una vez que tienes $f_x$, puedes derivar otra vez. Derivar respecto de x produce $f_xx$, la concavidad del corte este-oeste. Derivar respecto de y produce la cruzada $f_xy$: cómo cambia la propia pendiente este-oeste cuando caminas al norte.

En el cuenco $x^{2} + y^{2}$, $f_x$ = 2x, así que $f_xy$ = 0. La pendiente este-oeste depende solo de x. Caminar al norte no la cambia. La superficie es un cuenco circular, con simetría de rotación, sin torcimiento.

En la silla

$$f(x, y) = x^{2} - y^{2}$$

las primeras parciales son $f_x$ = 2x y $f_y$ = -2y. Las cruzadas vuelven a ser ambas cero. El ejemplo cruzado interesante es un producto,

$$f(x, y) = x^{2} y$$

Aquí $f_x$ = 2xy, luego $f_xy$ = 2x. Del otro lado, $f_y$ = $x^{2}$, luego $f_yx$ = 2x. Las dos cruzadas coinciden.

Ese acuerdo es el caso habitual, no una coincidencia. Para las funciones suaves de un primer curso de cálculo multivariable, las cruzadas son iguales: el torcimiento que sientes al caminar al este y luego al norte es el que sientes al caminar al norte y luego al este. El teorema tiene hipótesis técnicas (las cruzadas deben ser continuas); la imagen no. En una superficie sin pliegue, el orden de los dos pasos pequeños no importa.

Cuando un libro pide «verifica que $f_xy$ = $f_yx$», te pide comprobar que la superficie no está torcida en un orden y no en el otro. Para cualquier función de un curso introductorio, encaja, y el cálculo es práctica de la regla del corte, no una idea nueva.

El gradiente reúne las pendientes

Dos primeras parciales en un punto son dos números. Escritas como par se convierten en un vector en el plano de las entradas:

$$\nabla f = (f_x, f_y)$$

Ese vector es el gradiente. Cada componente es la pendiente de un corte, así que el objeto entero es un viaje: «tanto al este, tanto al norte» en las coordenadas del suelo, no en la altura. El viaje apunta en la dirección de mayor subida. Su longitud es lo empinada que es esa subida. El viaje opuesto, -$\nabla f$, apunta cuesta abajo, por eso el descenso por gradiente camina contra el gradiente.

En (1, 2) sobre el cuenco $x^{2} + y^{2}$, el gradiente es (2, 4). Desde ese punto del suelo, el camino más rápido hacia arriba del techo es la dirección del vector (2, 4), la misma dirección que (1, 2) mismo. El camino más empinado en un cuenco circular sale radialmente hacia afuera, lo que la imagen ya sugería y el gradiente confirma.

Un punto donde ambas parciales se anulan es un punto crítico. El viaje del gradiente tiene longitud cero: a primer orden, ninguna dirección sube ni baja. Puede ser un mínimo (el fondo del cuenco, en el origen), un máximo (la cima de una colina) o una silla (un collado: un mínimo a lo largo de un corte y un máximo a lo largo de otro). La silla $x^{2} - y^{2}$ tiene un punto crítico en el origen. El corte en x es un valle, el corte en y una cresta, y el gradiente es cero porque esas dos pendientes de primer orden se cancelan en un instante plano, no en un entorno plano.

La optimización en varias variables es esta búsqueda. Encuentra dónde el gradiente es el viaje nulo, luego lee las segundas parciales, o los cortes vecinos, para ver si tienes un cuenco, una colina o un collado. El criterio de la segunda derivada con D = $f_xx$ $f_yy$ - ($f_xy$)² es una versión empaquetada de esa lectura. D no es la idea. La idea es que los dos cortes, y el torcimiento entre ellos, clasifican el punto.

La regla de la cadena multivariable es el mismo emparejamiento en movimiento. Si un camino (x(t), y(t)) camina por el suelo, la altura a lo largo del camino cambia a la tasa

$$\frac{df}{dt} = f_x x'(t) + f_y y'(t)$$

que es el producto escalar del gradiente con la velocidad del camino. La superficie ofrece un viaje de pendientes. El camino ofrece un viaje de movimiento. Su acuerdo es la tasa a la que cambia la altura para alguien que realmente camina. Cuando el camino es paralelo al gradiente, la altura cambia tan rápido como es posible. Cuando es perpendicular, la altura es instantáneamente constante, y ese es el sentido geométrico de una curva de nivel.

De dónde salen los errores

Los errores de derivadas parciales son casi todos fallos al congelar la variable correcta.

El primero: derivar todo lo que está a la vista. Pedida $\frac{\partial}{\partial x}$ de $3x^{2}$y, un estudiante escribe 6xy + $3x^{2}$, la suma de ambas parciales, o 6x, como si y fuera x. La regla del corte es más estricta: y es un número durante esta derivada. En la respuesta solo queda como coeficiente.

El segundo: creer que una superficie tiene una sola pendiente. El software que colorea por altura puede ocultarlo, porque el ojo lee una sola inclinación. Pregunta la pendiente en un punto y hay que responder «¿en qué dirección?». Una derivada parcial es una de esas respuestas. El gradiente es la colección de las respuestas alineadas con los ejes. Ninguno es «la» pendiente del techo.

El tercero: mezclar ∂ con d. Si y depende de verdad de x, congelar y es el modelo equivocado de la situación. Las tasas relacionadas y algunas ecuaciones diferenciales necesitan la derivada total, que deja contribuir a cada canal de dependencia. Una derivada parcial es correcta cuando las otras entradas son realmente independientes, o cuando has elegido estudiar un canal a propósito.

El cuarto: tratar un gradiente nulo como un mínimo garantizado. El origen de $x^{2} - y^{2}$ es crítico y no es ni min ni max. La planitud de primer orden no es la de segundo. Aun así hay que mirar los cortes.

El quinto: leer $\nabla f$ como un valor de f. El gradiente no es la altura. Es un viaje en el plano de las entradas, construido con pendientes. Confundirlos es el mismo lío del que avisaba el artículo de vectores: tratar una dirección como si fuera un lugar.

Dónde encaja Math Zen

Las derivadas parciales se apoyan en las ordinarias como las matrices se apoyan en los vectores. Si las reglas de una variable siguen siendo verbales, cada corte se vuelve un ritual. Si son fluidas, una derivada parcial es una decisión extra: qué entrada se mueve.

La práctica de derivadas parciales en Math Zen sigue ese orden. Los cubos tempranos perforan el corte mismo: dada f(x, y), escribe $f_x$ y $f_y$ tratando la otra variable como constante. Los cubos posteriores apilan derivadas ($f_xx$, $f_xy$, $f_yx$), arman el gradiente, aplican la regla de la cadena a lo largo de un camino y clasifican puntos críticos. Las imágenes de este artículo son exactamente esa lista.

Un ciclo útil: elige una función de dos variables, dibuja los dos cortes en un punto, calcula ambas primeras parciales, forma el gradiente y di en voz alta hacia dónde es cuesta arriba. Luego vuelve después de una pausa, con el mismo calendario de repetición espaciada que el resto de la secuencia de cálculo. El objetivo no es memorizar que «y es constante». Es ver una superficie y saber qué paseo estás dando.

En resumen

Una derivada parcial es la pendiente de una superficie en una dirección, con todas las demás entradas quietas. La d rizada marca esa congelación. Las cruzadas preguntan cómo cambia la pendiente de un corte cuando caminas a lo largo del otro eje, y en una superficie suave los dos órdenes coinciden. El gradiente reúne las primeras parciales en un viaje que apunta cuesta arriba. Los puntos críticos son donde ese viaje se desvanece, y pueden ser cuencos, colinas o sillas.

Sostenerlo así, la diferenciación multivariable no es un cálculo nuevo. Es el cálculo ordinario, apuntado a lo largo de una línea de la cuadrícula cada vez, y luego rearmado. La superficie tiene muchas pendientes. Una derivada parcial es lo que obtienes cuando por fin dices cuál de ellas quieres decir.