Distribución binomial: ejemplos de exactamente, al menos y como máximo

Supón que lanzas una moneda cinco veces y quieres obtener exactamente tres caras. Es fácil calcular la probabilidad de una secuencia concreta: cara, cara, cruz, cara, cruz. Pero esa es solo una de las formas de obtener tres caras. Un cálculo binomial hace ambas cosas: halla la probabilidad de una secuencia y cuenta todas las secuencias que cumplen la condición.

Estos ejemplos de distribución binomial muestran cómo hallar un número exacto de éxitos, al menos un éxito y como máximo dos. Antes de usar la fórmula, comprueba que la situación se ajusta a ella. Si prefieres una introducción más sencilla al lenguaje del azar, consulta nuestra guía de probabilidad.

Comprueba las cuatro condiciones binomiales

El modelo binomial cuenta éxitos en ensayos repetidos. La lección de distribución binomial de OpenStax describe un modelo que podemos comprobar en cuatro partes:

1. Un número fijo de ensayos: decide $n$ antes de observar los resultados.
2. Dos resultados por ensayo: llama éxito o fracaso a cada resultado según la pregunta.
3. Ensayos independientes: conocer un resultado no cambia la probabilidad de otro.
4. Una probabilidad de éxito constante: el mismo $p$ se aplica en cada ensayo.

Si se cumplen las cuatro, sea $X$ el número de éxitos. Entonces $X$ puede ser cualquier entero desde cero hasta $n$. La palabra éxito no significa que el resultado sea deseable. Si cuentas piezas defectuosas, una pieza defectuosa puede ser el éxito matemático porque es el suceso que elegiste contar.

Considera cinco preguntas independientes con una probabilidad $p=0.4$ de acertar cada una. Fijamos cinco preguntas, llamamos éxito al acierto, suponemos independencia y mantenemos la probabilidad en 0.4 cada vez. Es una situación binomial.

Construye la fórmula de probabilidad

Para obtener exactamente $k$ éxitos en $n$ ensayos, empieza por un orden concreto. Si el éxito tiene probabilidad $p$, el fracaso tiene probabilidad $1-p$. Gracias a la independencia, la probabilidad de un orden con $k$ éxitos y $n-k$ fracasos es $p^k(1-p)^{n-k}$.

Ahora cuenta los órdenes posibles. Hay $\binom{n}{k}$ maneras de escoger las $k$ posiciones de los ensayos en las que habrá un éxito. Todas tienen la misma probabilidad, así que:

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\qquad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Por ejemplo, tres éxitos en cinco ensayos tienen $\binom{5}{3}=10$ distribuciones posibles. No necesitas enumerarlas. Si el término de conteo aún no te resulta familiar, permutaciones y combinaciones explica por qué elegir posiciones es una combinación y no un problema de ordenar elementos.

Como comprobación rápida de escala, en este modelo el número medio de éxitos es $np$ y la varianza es $np(1-p)$, según OpenStax. Ambos resumen toda la distribución, pero no sustituyen la probabilidad de un número concreto de éxitos. Para distinguir varianza y desviación estándar, consulta esta guía.

Ejemplo 1: exactamente tres éxitos

Vuelve a las cinco preguntas independientes, cada una con $p=0.4$ de respuesta correcta. Calcula la probabilidad de acertar exactamente tres. El número de ensayos es $n=5$ y el número pedido de éxitos es $k=3$. Sustituye antes de usar la calculadora:

$$\begin{aligned} P(X=3)&=\binom{5}{3}(0.4)^3(0.6)^2\\ &=10(0.064)(0.36)\\ &=0.2304. \end{aligned}$$

Por tanto, la probabilidad es $23.04\%$. El factor $10$ cuenta dónde pueden aparecer las tres respuestas correctas. Sin él, $0.02304$ sería la probabilidad de una sola secuencia, como correcta, correcta, incorrecta, correcta, incorrecta. Omitir ese factor es el error más habitual al calcular un número exacto de éxitos.

Los exponentes también comprueban el planteamiento: tres éxitos más dos fracasos suman cinco ensayos. Si los exponentes no suman $n$, detente antes de calcular. Conviene conservar el decimal exacto $0.2304$ en los pasos posteriores y redondear solo al presentar la respuesta.

Ejemplo 2: al menos un éxito

Supón que haces cuatro intentos independientes, cada uno con una probabilidad de éxito de $0.3$. Halla la probabilidad de al menos un éxito. La expresión incluye uno, dos, tres y cuatro éxitos. Podrías sumar cuatro términos binomiales, pero su complemento es más corto: cero éxitos.

$$\begin{aligned} P(X\geq1)&=1-P(X=0)\\ &=1-\binom{4}{0}(0.3)^0(0.7)^4\\ &=1-0.2401=0.7599. \end{aligned}$$

La respuesta es $75.99\%$. Lee el complemento en palabras antes de elegirlo: «al menos uno» solo falla cuando no hay ninguno. En cambio, el complemento de «al menos dos» incluye cero y uno. Restar solo $P(X=0)$ en ese caso daría una respuesta incorrecta.

Observa que $P(X=0)=(1-p)^n$. El término de combinaciones vale uno porque solo existe un orden sin éxitos. Este atajo funciona porque todos los ensayos tienen la misma probabilidad y son independientes.

Ejemplo 3: como máximo dos éxitos

Imagina ahora seis ensayos independientes, cada uno con una probabilidad de éxito $p=0.25$. «Como máximo dos» significa cero, uno o dos. Suma exactamente esos tres casos mutuamente excluyentes:

$$\begin{aligned} P(X\leq2)&=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\ &=\binom{6}{0}(0.25)^0(0.75)^6 +\binom{6}{1}(0.25)^1(0.75)^5 +\binom{6}{2}(0.25)^2(0.75)^4\\ &=0.177978515625+0.35595703125+0.296630859375\\ &=0.83056640625\approx0.8306. \end{aligned}$$

Es aproximadamente $83.06\%$. Aquí la suma directa tiene tres términos. El complemento, $1-P(X\geq3)$, exigiría cuatro, así que resulta menos cómodo. Para un umbral alto, compara el número de términos de ambos lados y calcula el más corto. La función de probabilidad binomial acumulada de una calculadora puede ayudarte, pero debes introducir bien la desigualdad. Una función que devuelve $P(X\leq2)$ incluye el dos; una que devuelve $P(X<2)$ no lo incluye.

Si redondeas demasiado pronto los decimales intermedios, la suma puede cambiar unas unidades en la última cifra decimal. Conserva toda la precisión al sumar y redondea la probabilidad final según lo que pida el ejercicio. La respuesta debe estar entre cero y uno.

Una situación que no es binomial

Extraes tres cartas de una baraja francesa estándar de 52 cartas sin reemplazo y cuentas los ases. El número de extracciones es fijo y cada carta puede clasificarse como as o no as. Sin embargo, después de la primera extracción la baraja ha cambiado. Si salió un as, la probabilidad de as en la siguiente es $3/51$; si no salió, es $4/51$. La probabilidad de éxito ya no es fija y las extracciones son dependientes. Por eso, la fórmula binomial con $n=3$ y $p=4/52$ no es un modelo exacto.

Devolver cada carta a la baraja y volver a mezclar antes de la siguiente extracción restauraría la probabilidad constante y la independencia en este ejemplo simplificado. Esta distinción importa más que memorizar una fórmula: primero determina qué se extrae y si un ensayo cambia el siguiente.

Intenta resolver tres preguntas y después comprueba

1. Exactamente dos. Un juego tiene cinco rondas independientes y una probabilidad $0.2$ de ganar cada ronda. ¿Cuál es la probabilidad de lograr exactamente dos victorias?

Solución: $n=5$, $k=2$ y $p=0.2$. Las dos victorias pueden colocarse de $\binom{5}{2}=10$ formas. Por tanto,

$$P(X=2)=10(0.2)^2(0.8)^3=10(0.04)(0.512)=0.2048.$$

La probabilidad es $20.48\%$. Contar un solo orden daría $0.02048$, una décima parte de la respuesta correcta.

2. Al menos dos. Cuatro intentos independientes tienen cada uno una probabilidad de éxito de $0.5$. ¿Cuál es la probabilidad de al menos dos éxitos?

Solución: «Al menos dos» excluye cero y uno. Con $p=0.5$, el complemento es sencillo:

$$\begin{aligned} P(X\geq2)&=1-P(X=0)-P(X=1)\\ &=1-\binom{4}{0}(0.5)^4-\binom{4}{1}(0.5)^4\\ &=1-\frac{1}{16}-\frac{4}{16}=\frac{11}{16}=0.6875. \end{aligned}$$

La respuesta es $68.75\%$. Si restaras solo los casos con cero éxitos, estarías resolviendo «al menos uno».

3. Como máximo uno. Tres comprobaciones independientes tienen cada una una probabilidad $0.1$ de dar un resultado positivo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener como máximo uno?

Solución: Incluye cero y uno, y suma:

$$\begin{aligned} P(X\leq1)&=\binom{3}{0}(0.1)^0(0.9)^3 +\binom{3}{1}(0.1)^1(0.9)^2\\ &=0.729+0.243=0.972. \end{aligned}$$

La respuesta es $97.2\%$.

Para seguir practicando los fundamentos, usa los ejercicios de probabilidad de Math Zen. El primer paso más valioso de cada problema sigue siendo comprobar las cuatro condiciones.