Permutaciones y combinaciones: por qué el orden cambia el resultado

Cinco personas se ofrecen para un proyecto. Necesitas un capitán y un suplente. Puedes elegir al capitán de cinco formas y después al suplente de cuatro. Hay veinte asignaciones.

Ahora cambia una frase: necesitas un comité de dos personas, sin funciones separadas. Las mismas cinco personas producen diez comités. Las personas no han cambiado. Lo que ha cambiado es la definición de un resultado.

Las permutaciones y las combinaciones son dos formas de contar resultados sin enumerar todas las posibilidades. Las fórmulas cobran sentido cuando decides qué información conserva el resultado. Este artículo construye primero esa decisión y después deriva la notación.

Empieza por las posiciones, no por una fórmula

Imagina dos casillas vacías llamadas capitán y suplente. La primera admite cinco personas. Después de llenarla, quedan cuatro para la segunda. Cada primera elección tiene cuatro continuaciones, así que:

$$5 \times 4 = 20$$

Este es el principio multiplicativo. Si cada opción de una etapa tiene el mismo número de continuaciones posibles, multiplica las cantidades de cada etapa. Puedes imaginar un árbol con cinco ramas y cada una dividiéndose en otras cuatro.

Las etiquetas importan. Alex como capitán y Bea como suplente es distinto de Bea como capitana y Alex como suplente. Son las mismas personas en posiciones diferentes. Es una selección ordenada, llamada permutación.

Un comité no tiene posiciones etiquetadas. Escribir Alex, Bea o Bea, Alex describe el mismo grupo. Si utilizas el recuento de veinte asignaciones para los comités, habrás contado cada grupo dos veces.

La prueba del intercambio indica si importa el orden

Pregunta: si intercambio dos elementos elegidos, ¿obtengo un resultado distinto?

En el podio de una carrera, sí. El oro y la plata son resultados diferentes. En un conjunto de ingredientes para pizza, normalmente no. Champiñones con aceitunas es la misma selección que aceitunas con champiñones.

La pregunta se refiere al modelo, no al sustantivo. Un problema puede pedirte que elijas tres libros para comprar, donde se ignora el orden, o que coloques tres libros en una estantería, donde se registra. La palabra «libros» no indica qué fórmula debes usar.

Escribe un resultado de ejemplo antes de calcular. «Capitán Alex, suplente Bea» contiene funciones. «El grupo formado por Alex y Bea» no. Este pequeño paso evita más errores que memorizar una hoja de fórmulas más larga.

Situación	Qué registra el resultado	Modelo
Conceder oro, plata y bronce	Persona en cada puesto	Ordenado, sin repetición
Elegir tres miembros de un comité	Solo pertenencia	Sin orden, sin repetición
Crear un código de cuatro dígitos	Dígito en cada posición	Ordenado, puede permitirse la repetición
Elegir varias bolas de helado	Cantidades de cada sabor	Sin orden, puede permitirse la repetición

En las dos últimas filas también debes preguntar por la repetición. No decidas solo a partir del orden.

Los factoriales cuentan ordenaciones completas

Coloca en fila cuatro libros distintos. Hay cuatro opciones para el primer lugar, tres para el segundo, dos para el tercero y una para el último:

$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

El signo de exclamación significa factorial. Abrevia el producto descendente. Para un entero no negativo $n$, el factorial cuenta las ordenaciones de los $n$ elementos distintos.

¿Por qué $0! = 1$? Hay una ordenación vacía. No haces nada y la ordenación vacía queda completa. También es el valor que mantiene coherente $1! = 1 \times 0!$.

No interpretes el factorial como una suma repetida ni como una potencia. Cuatro factorial es veinticuatro; cuatro elevado a cuatro es doscientos cincuenta y seis. En un factorial, las opciones disminuyen porque un elemento no puede volver a usarse. En una potencia, se mantienen constantes.

Las permutaciones detienen antes el producto

Supón que hay siete corredores y solo quieres conocer los tres primeros, sin empates. Tienes siete opciones para el primer puesto, seis para el segundo y cinco para el tercero:

$$P(7,3) = 7 \times 6 \times 5 = 210$$

No te importa cómo terminan los otros cuatro corredores. Seguir multiplicando hasta uno respondería a otra pregunta.

Para $r$ posiciones ordenadas que se llenan con $n$ elementos distintos sin repetición:

$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

El denominador cancela la cola del factorial que no se utiliza. En el ejemplo de los corredores, dividir siete factorial entre cuatro factorial deja exactamente siete por seis por cinco.

Esta fórmula presupone $0 \le r \le n$ y elementos disponibles distintos. Si el problema cambia esas condiciones, vuelve a las casillas en lugar de forzar los números dentro de la expresión.

Las combinaciones eliminan las ordenaciones duplicadas

Elige a tres personas de siete para formar un comité. El recuento ordenado es 210, pero trata diferentes ordenaciones del mismo trío como respuestas distintas.

Toma un trío formado por Alex, Bea y Chen. Sus miembros pueden enumerarse en seis órdenes: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA. Cada trío aparece exactamente seis veces en el recuento ordenado, porque $3! = 6$.

Divide entre el número de ordenaciones duplicadas:

$$\binom{7}{3} = \frac{210}{6} = 35$$

En general:

$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Esto se lee «n sobre r». La primera división elimina los elementos no usados del recuento de ordenaciones; la segunda elimina órdenes que ya no distingues.

Aquí hay una simetría útil: $\binom{7}{3} = \binom{7}{4}$. Elegir las tres personas que entran también identifica a las cuatro que no. Las dos descripciones señalan el mismo conjunto de decisiones.

La repetición vuelve a cambiar la pregunta

Un código de cuatro dígitos puede usar cualquier dígito de cero a nueve en cada posición, también al principio. Se permiten dígitos repetidos. Cada casilla tiene diez opciones:

$$10^4 = 10000$$

Si ningún dígito puede repetirse, el recuento pasa a ser:

$$10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$$

Si el problema dice «número de cuatro cifras» en lugar de «código», normalmente se excluye el cero inicial. Con repetición permitida, eso da:

$$9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$$

Tres frases muy parecidas, tres recuentos distintos. La fórmula no se ha vuelto poco fiable. Han cambiado las restricciones.

La selección sin orden y con repetición, como elegir bolas de sabores que pueden repetirse, exige otro método de conteo. Las combinaciones ordinarias presuponen que cada elemento disponible puede elegirse una vez como máximo. Reconocer que una fórmula conocida no sirve es un primer paso correcto.

Recorre la decisión en este orden

Antes de calcular, escribe el aspecto de un resultado completo. Después pregunta si el orden o las funciones distinguen resultados, si un elemento puede repetirse y si hay alguna restricción especial para una posición.

Intenta resolver estos tres problemas sin mirar inmediatamente las respuestas:

1. Entre seis personas, elige un presidente y un secretario, sin que nadie ocupe las dos funciones.
2. Entre esas mismas seis personas, elige dos representantes con el mismo rango.
3. Crea un código de tres caracteres con cuatro símbolos, permitiendo repeticiones.

El primero tiene $6 \times 5 = 30$ asignaciones. El segundo divide esa cantidad entre $2!$, lo que da quince parejas. El tercero tiene $4^3 = 64$ códigos porque los cuatro símbolos siguen disponibles en cada posición.

La explicación importa más que el número. Si puedes decir por qué una respuesta divide entre dos y otra no, entiendes la diferencia.

Contar es la base de la probabilidad

Cuando cuentas correctamente resultados equiprobables, puedes formar probabilidades comparando los resultados favorables con todos los posibles. Nuestra guía intuitiva de probabilidad da el siguiente paso. La paradoja del cumpleaños muestra cómo un recuento bien elegido vuelve manejable un resultado sorprendente.

Por ahora, mantén la habilidad pequeña: define un resultado, dibuja las posiciones si las hay y explica cada factor. Usa la práctica de probabilidad de Math Zen para la siguiente aplicación y vuelve a un ejemplo pequeño siempre que la notación empiece a ocultar el razonamiento.

Una permutación conserva la ordenación. Una combinación conserva la pertenencia. Dividir entre un factorial es simplemente olvidar la ordenación sin volver a contar el mismo grupo.