La paradoja del cumpleaños: por qué bastan 23 personas para una coincidencia

En el Mundial de 2014, unos periodistas revisaron las 32 selecciones. Cada plantilla tenía exactamente 23 jugadores, y en 16 de las 32, la mitad, al menos dos jugadores compartían cumpleaños. Nadie lo había organizado. Es simplemente lo que hace el número 23.

Esa es la paradoja del cumpleaños: en una sala de 23 personas, un cumpleaños compartido es más probable que improbable. Hay 365 cumpleaños posibles y solo 23 personas, así que la afirmación suena absurda, y esa reacción es casi universal. Pero el resultado no es un truco, ni una ilusión estadística, ni algo sensible a la letra pequeña. Es un breve argumento de conteo, y una vez que ves qué cuenta hace la intuición en lugar de la correcta, la paradoja se disuelve en algo cercano a lo obvio.

La afirmación, enunciada con cuidado

Toma 23 personas cuyos cumpleaños son independientes e igual de probables en cualquiera de los 365 días, ignorando por ahora el 29 de febrero. La afirmación es:

La probabilidad de que al menos dos de ellas compartan cumpleaños es del 50.7%, un poco mejor que lanzar una moneda.

Dos detalles importan. Primero, la afirmación trata de que dos personas cualesquiera coincidan, no de coincidir con una persona en particular. Segundo, "compartir cumpleaños" significa el mismo día del año, como el 14 de marzo, no el mismo día y año. Ambos detalles suenan menores. Uno de ellos, como veremos, es toda la paradoja.

La demostración es solo contar

La pregunta directa, cuál es la probabilidad de que alguien coincida con alguien, es incómoda de atacar de frente, porque las coincidencias pueden producirse de muchas maneras superpuestas. La probabilidad tiene una jugada estándar para esto: calcular la probabilidad de que no ocurra nada y restarla de 1. Para un recorrido desde cero sobre por qué esa jugada es legítima, consulta entender la probabilidad de forma intuitiva.

Esa es toda la demostración: cuenta los pares para ver por qué una coincidencia es plausible, y luego multiplica 23 fracciones para ver exactamente cuán plausible. Sin maquinaria avanzada, sin nada que aceptar por fe. Cada paso puede comprobarse con una calculadora.

Y la curva sigue subiendo deprisa. Con 30 personas la probabilidad de una coincidencia es del 70.6%. Con 50 personas es del 97.0%. Con 70 personas es del 99.9%: un cumpleaños compartido está prácticamente garantizado mientras 295 días del año siguen sin tocarse.

Dónde se equivoca la intuición

La paradoja del cumpleaños engaña a la gente de forma fiable, y la engaña de una manera concreta y diagnosticable: la gente responde a la pregunta equivocada.

Escucha el acertijo y tu mente sustituye en silencio una versión protagonizada por ti. ¿Qué probabilidades hay de que alguien aquí coincida con mi cumpleaños? Esa pregunta sí tiene una respuesta pequeña. En una sala de 23, solo hay otras 22 personas, cada una coincidiendo contigo con probabilidad 1/365, y la probabilidad total de que alguien coincida contigo es de alrededor del 6%. Si el acertijo tratara de tu cumpleaños, los escépticos tendrían razón.

Pero el acertijo trata de cualquier coincidencia. Tú frente a cada uno de los demás: 22 pares. Pero también la persona 2 frente a la persona 3, la persona 7 frente a la persona 19, y todas las demás combinaciones que no te involucran en absoluto: 231 pares más, 253 en total. La intuición cuenta las 22 comparaciones que puede imaginar desde dentro y es estructuralmente ciega a los 231 pares de los que no forma parte. La paradoja no es que la probabilidad se comporte de forma extraña. Es que una sala de 23 personas contiene once veces más comparaciones de las que experimenta cualquier persona por sí sola.

Hay una forma ordenada de ver lo grande que es esa brecha. Para tener un 50% de probabilidad de que alguien coincida contigo específicamente, 22 personas más no bastan ni de lejos: necesitas 253 personas además de ti. El número de personas necesarias para coincidir con un cumpleaños fijo es el mismo que el número de pares entre 23 personas. No es casualidad, son las dos preguntas resueltas por la misma aritmética, y mide con precisión cuánto subestima la situación el enfoque de "mi cumpleaños".

La letra pequeña que hace honesta la respuesta

El cálculo asumió 365 cumpleaños igual de probables y ningún día bisiesto. Ambas suposiciones son falsas en el mundo real, así que es justo preguntarse si el 50.7% sobrevive al contacto con la realidad.

Sobrevive, y de hecho la realidad ayuda. Añadir el 29 de febrero como un raro día 366 empuja la probabilidad hacia abajo una pizca, demasiado poco para mover el umbral de 23. Los cumpleaños desiguales empujan en la otra dirección: los datos reales de nacimientos muestran picos estacionales, con ciertos meses fiablemente más concurridos que otros. Cualquier desigualdad de ese tipo hace las colisiones más probables, porque concentrar probabilidad en los días populares es exactamente aquello de lo que se alimentan las colisiones. El modelo uniforme es el escenario más difícil posible para la paradoja, y aun así supera el 50%.

Vale la pena detenerse en esta robustez, porque es lo contrario de cómo suelen comportarse los acertijos con sabor a paradoja. El problema de Monty Hall, por ejemplo, es célebremente sensible a su letra pequeña: cambia lo que sabe el presentador y cambia la respuesta. La paradoja del cumpleaños es la hermana robusta. Toda desviación realista de las suposiciones de libro de texto empuja la probabilidad hacia arriba, así que la sorpresa sobrevive a cualquier objeción.

Del truco de fiesta a romper funciones hash

La paradoja del cumpleaños ya se ganaría el sustento como apuesta de fiesta, pero también tiene un trabajo serio. En criptografía fija el precio de encontrar colisiones, y toda una estrategia de ataque lleva su nombre.

Una función hash comprime cualquier entrada en una huella de tamaño fijo, y la seguridad a menudo depende de que nadie encuentre dos entradas distintas con la misma huella. Supón que las huellas son de 128 bits, así que hay 2 elevado a 128 posibilidades, un número astronómicamente grande. Adivinar una entrada que dé con una huella concreta sí requiere del orden de 2 elevado a 128 intentos, imposible para siempre. Pero un atacante que solo quiere alguna colisión, dos entradas cualesquiera que coincidan, está jugando al juego del cumpleaños: genera entradas aleatorias y, por la regla de la raíz cuadrada, se espera una colisión tras aproximadamente 2 elevado a 64 intentos. Ese es el ataque de cumpleaños, y 2 elevado a 64 es un número grande pero no un número seguro; atacantes decididos lo han cruzado.

La paradoja, en otras palabras, reduce a la mitad la fuerza efectiva de un hash, medida en bits. Por eso los criptógrafos que quieren 128 bits de resistencia a colisiones usan hashes con salidas de 256 bits: la raíz cuadrada de 2 elevado a 256 es 2 elevado a 128, lo que deja incluso el atajo del cumpleaños fuera de alcance. Un patrón que decide a cuántas personas invitas a una fiesta también decide cuántos bits protegen tu conexión bancaria, y es el mismo cálculo las dos veces.

Pruébalo, porque no cuesta nada

Como los mejores resultados de probabilidad, este es barato de poner a prueba. Cualquier grupo de unas 25 personas sirve: un aula, una planta de oficinas, la plantilla de un equipo, la lista de invitados de una boda. Pregunta el cumpleaños de todos y espera la coincidencia. Un solo grupo no demuestra nada en ningún sentido, por supuesto. La afirmación es 50.7%, no certeza, así que la apuesta se pierde casi la mitad de las veces.

La versión persuasiva es la repetición. Las plantillas deportivas son ideales para esto, y por eso el Mundial aparece una y otra vez en los artículos sobre la paradoja del cumpleaños: las plantillas de 23 son el experimento exactamente en el tamaño umbral, ya montadas y públicas. Revisa diez plantillas y deberías esperar coincidencias en unas cinco. O simúlalo: unas pocas líneas de código que asignen 23 números aleatorios del 1 al 365 y comprueben repeticiones, ejecutadas diez mil veces, aterrizarán a una fracción de punto porcentual de 0.507. El argumento de multiplicar 23 fracciones hace una predicción precisa, el mundo sigue dándole la razón, y hay pocas maneras más rápidas de sentir cómo la probabilidad se vuelve real.

El zen de todo esto

La paradoja del cumpleaños perdura porque es una miniatura perfecta de un modo de fallo general. La intuición evalúa las situaciones desde un único punto de vista, el tuyo, y en situaciones combinatorias el punto de vista único se desvía por un factor que crece con la multitud. Nada en el azar se está portando mal. El error está por completo en qué pregunta se responde en silencio.

Y la cura es la de siempre en probabilidad: negarse a adivinar, y contar. Cuenta los pares y aparece la plausibilidad. Multiplica las fracciones y sale el número exacto. El mismo conteo reaparece después, intacto, en el diseño de sistemas criptográficos, que es la lección silenciosa de todo el asunto: un argumento de probabilidad no sabe si se está usando para una apuesta de bar o para asegurar internet.

Veintitrés personas. Doscientas cincuenta y tres oportunidades. La sala nunca estuvo tan vacía como parecía.