El problema de Monty Hall: por qué cambiar de puerta duplica tus posibilidades

En 1990, un lector envió a la columna de Marilyn vos Savant una pregunta corta sobre un concurso de televisión. Su respuesta, que conviene cambiar de puerta, provocó alrededor de diez mil cartas de protesta, cerca de mil de ellas firmadas por doctores, muchas insistiendo en que una columnista no tenía derecho a equivocarse en probabilidad básica. Ella no estaba equivocada. Ellos sí.

Eso es lo que hace que el problema de Monty Hall merezca tu tiempo. No es una pregunta con trampa y no depende de letra pequeña. Es un acertijo completamente justo con un planteamiento de tres líneas, y derrota de forma fiable la intuición de personas inteligentes, incluidos matemáticos profesionales, hasta que ven la única asimetría que se les escapó. Una vez que la ves, la respuesta deja de sentirse paradójica y empieza a sentirse inevitable.

Las reglas del juego

El acertijo está inspirado en el concurso Let's Make a Deal, cuyo presentador original, Monty Hall, le dio su nombre. El planteamiento:

Hay tres puertas cerradas. Tras una hay un coche. Tras las otras dos hay cabras. El coche se colocó al azar, así que antes de que pase nada, cada puerta tiene una probabilidad de 1/3 de esconderlo.

Eliges una puerta, digamos la puerta 1. Permanece cerrada.

El presentador, que sabe exactamente dónde está el coche, abre una de las dos puertas que no elegiste, y siempre abre una con cabra. Digamos que abre la puerta 3 y una cabra te devuelve la mirada.

Ahora quedan dos puertas cerradas: tu puerta 1 y la intacta puerta 2. El presentador te ofrece elegir. Quedarte con la puerta 1 o cambiar a la puerta 2.

El instinto de casi todo el mundo dice lo mismo: dos puertas, un coche, 50/50, así que da igual. El instinto se equivoca. Quedarse gana 1/3 de las veces. Cambiar gana 2/3 de las veces. El cambio literalmente duplica tus posibilidades, y todo el acertijo consiste en entender de dónde sale esa probabilidad extra.

La demostración es solo contar

La forma más limpia de ver la respuesta es notar que el juego entero se decide por un solo evento: si tu primera elección fue correcta o no.

Esa es toda la demostración. Quedarse apuesta a que tu primera elección a ciegas fue correcta, un evento de 1/3. Cambiar apuesta a que fue incorrecta, un evento de 2/3. Esas son las únicas dos opciones, y no están ni cerca.

Si prefieres ver todos los casos desplegados, fija tu elección en la puerta 1 y deja variar el coche. Coche tras la puerta 1: el presentador abre la puerta 2 o la 3, quedarse gana, cambiar pierde. Coche tras la puerta 2: el presentador debe abrir la puerta 3, quedarse pierde, cambiar gana. Coche tras la puerta 3: el presentador debe abrir la puerta 2, quedarse pierde, cambiar gana. Tres mundos igual de probables, y cambiar gana en dos de ellos. El conteo es la demostración.

De dónde sale la probabilidad extra

El instinto del 50/50 viene de una regla práctica que normalmente te sirve bien: dos incógnitas, ninguna razón para preferir una, así que reparte la probabilidad a partes iguales. La regla está bien. El error es pensar que las dos puertas cerradas son simétricas. No lo son, porque tuvieron historias muy distintas.

Tu puerta la elegiste tú, a ciegas, antes de que se revelara nada. Nada de lo que pasó después involucró tu puerta en absoluto: al presentador no se le permitía tocarla, escondiera el coche o no. Así que nunca se produjo información alguna sobre tu puerta, y su probabilidad se queda donde empezó, en 1/3.

La otra puerta cerrada sobrevivió a algo. El presentador miró las dos puertas que no elegiste, de las cuales al menos una tenía cabra, y eliminó deliberadamente una cabra de ese par. La puerta que dejó cerrada es o bien un descarte cualquiera (en el mundo de 1/3 donde tu elección fue correcta) o bien el coche mismo (en el mundo de 2/3 donde tu elección fue incorrecta). Su decisión estaba condicionada por la verdad, y esa condición filtra información. Todos los 2/3 de probabilidad con los que empezó el par colapsan sobre su único superviviente.

La versión de 100 puertas, para los no convencidos

Si el argumento de las tres puertas todavía te resulta escurridizo, amplíalo. Las mismas reglas, 100 puertas, un coche, 99 cabras. Eliges la puerta 1. El presentador, que sabe dónde está el coche, abre 98 de las puertas restantes, todas y cada una con cabra, y deja exactamente otra puerta cerrada. ¿Te quedas o cambias?

Tu primera elección acertó 1 vez de cada 100. En los otros 99 casos, el coche está en algún lugar de las puertas que no elegiste, y las 98 revelaciones del presentador se vieron forzadas a rodearlo: abrió todo excepto el coche. La única puerta que dejó cerrada no es una superviviente al azar. Es donde el coche tiene que estar, 99 de cada 100 veces.

Nadie se queda en el juego de las 100 puertas. Pero el juego de tres puertas es el mismo juego. La revelación del presentador se vio forzada a rodear el coche exactamente de la misma manera; solo que había menos que observar. Si cambiar es obviamente correcto con 100 puertas, la carga de la prueba recae sobre quien afirme que con tres puertas es distinto, y el conteo de casos de arriba muestra que no lo es.

La letra pequeña que hace honesta la respuesta

Aquí viene la parte que las versiones populares suelen saltarse, y es la diferencia entre saber la respuesta y entenderla. El resultado de 2/3 depende del comportamiento del presentador, no solo de lo que viste.

Las reglas estándar asumen que el presentador siempre abre una puerta, siempre abre una con cabra y siempre ofrece el cambio. Cambia esas reglas y la respuesta cambia. La variante clásica se llama a veces Monty Fall: el presentador tropieza, abre una de las dos puertas no elegidas completamente al azar, y da la casualidad de que revela una cabra. Las mismas puertas, la misma cabra, la misma imagen en tu pantalla. Pero ahora cambiar gana solo 1/2 de las veces.

¿Por qué la diferencia? En el juego estándar, el presentador revela una cabra en todos los mundos, así que la revelación no te dice nada sobre si tu elección fue correcta, y tu puerta se queda en 1/3. En Monty Fall, un presentador aleatorio a veces expone el coche por accidente. Ver una cabra es ahora, en sí mismo, evidencia, y es evidencia a favor de tu elección original, porque los mundos donde tu elección fue correcta jamás podrían producir un coche expuesto. Haz las cuentas y las dos puertas cerradas terminan genuinamente en 1/2 cada una.

Pruébalo, porque todo el mundo debería hacerlo una vez

El problema de Monty Hall tiene una gran virtud: es barato de comprobar. Toma tres vasos y una moneda y recluta a un amigo como presentador, o simúlalo tú mismo con unas pocas líneas de código, o en papel con un dado para colocar el coche. Juega treinta rondas quedándote siempre, y luego treinta rondas cambiando siempre.

El resultado es extrañamente persuasivo de una manera que los argumentos no logran. Quienes se quedan convergen a ganar más o menos un tercio de las veces, quienes cambian a unos dos tercios, y tras suficientes rondas el patrón deja de sentirse como una paradoja y empieza a sentirse como la consecuencia obvia del paso 1 de arriba: tu primera elección a ciegas suele ser incorrecta, y cambiar cobra exactamente eso. Los promedios calculados sobre muchos ensayos son, además, donde las afirmaciones de probabilidad adquieren su significado en primer lugar, un punto que explora entender la estadística de forma intuitiva.

Así fue también, históricamente, como se zanjó la discusión. Tras la tormenta de vos Savant, aulas de todo el país realizaron el experimento, y las simulaciones confirmaron el 2/3 con tantos decimales como cualquiera quisiera calcular. Muchos de los matemáticos que habían escrito cartas furiosas escribieron unas segundas cartas, bastante más avergonzadas.

El zen de todo esto

El problema de Monty Hall perdura porque es una miniatura perfecta de cómo funciona realmente la probabilidad y de cómo falla realmente la intuición humana. El instinto que derrota, la ignorancia simétrica ante dos puertas cerradas, es un buen instinto. Simplemente no sobrevive al contacto con una historia asimétrica, y el acertijo esconde la asimetría a plena vista: una puerta estaba protegida por tu elección, la otra fue seleccionada por alguien que conocía la respuesta.

Fíjate en qué resolvió la confusión. No una fórmula, ni la autoridad. Contar. Tres mundos igual de probables, un recuento honesto de lo que ocurre en cada uno, y la disposición a confiar en el recuento por encima de la sensación. Ese movimiento, enumerar las posibilidades y contarlas, es la mayor parte de lo que es la probabilidad, y se puede aprender.

La próxima vez que dos opciones parezcan obviamente 50/50, vale la pena hacerse la pregunta de Monty Hall: ¿llegaron estas dos posibilidades hasta aquí de la misma manera? A veces sí, y la moneda al aire es real. Y a veces una de ellas quedó en pie gracias a un proceso que sabía algo, y las probabilidades están silenciosa y decisivamente desequilibradas.

Las puertas no recuerdan. El procedimiento sí.