Varianza y desviación estándar: guía con un ejemplo resuelto

Dos grupos terminan un rompecabezas en cuatro minutos de media. En el primero, todas las personas tardan cuatro minutos. En el segundo, la mitad tarda dos y la otra mitad, seis. Las medias coinciden, pero los tiempos del segundo grupo están más dispersos. La varianza y la desviación estándar ponen un número a esa diferencia.

Miden la misma característica, la dispersión alrededor de la media, pero la expresan en escalas distintas. La varianza utiliza unidades al cuadrado. La desviación estándar saca su raíz cuadrada y vuelve a las unidades originales. Si los datos están en minutos, la varianza se mide en minutos cuadrados y la desviación estándar en minutos. El cálculo también cambia según si los datos abarcan toda una población o solo una muestra.

Esta guía recorre un conjunto de datos de principio a fin. Si antes necesitas una visión general de medias, medianas y distribuciones, lee nuestra introducción a la estadística.

Empieza por las desviaciones respecto de la media

Supón que ocho intentos de resolver el rompecabezas tardaron estos minutos:

$$2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$$

Suman $40$ minutos, de modo que la media es $40/8=5$ minutos. El siguiente paso es restar cinco a cada tiempo. Las desviaciones son:

$$-3,\ -1,\ -1,\ -1,\ 0,\ 0,\ 2,\ 4$$

Un número negativo significa más rápido que la media y uno positivo, más lento. Estas desviaciones suman cero, como siempre ocurre con las desviaciones respecto de una media aritmética. Si simplemente las promediaras, obtendrías una dispersión cero incluso con valores muy distintos. No sirve. Elevar cada desviación al cuadrado la vuelve no negativa y da más peso a los alejamientos mayores, como explica la referencia del NIST sobre medidas de dispersión.

Estas son las ocho desviaciones al cuadrado:

Tiempo, minutos	Desviación respecto de 5, minutos	Desviación al cuadrado, minutos²
2	-3	9
4	-1	1
4	-1	1
4	-1	1
5	0	0
5	0	0
7	2	4
9	4	16

La última columna suma $32$ minutos cuadrados. Esa suma es la base de ambas medidas. Ninguno de los tiempos observados cambia de aquí en adelante. El denominador depende de lo que representen esos ocho tiempos.

Si estos datos son toda la población

Imagina que los ocho intentos son todos los intentos del pequeño concurso que te interesa. Estás describiendo ese grupo completo, no estimando otro grupo mayor que no has visto. Divide la suma de desviaciones al cuadrado entre el número de valores, $N=8$:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}=\frac{32}{8}=4\ \text{minutos}^2$$

Esta es la varianza poblacional, cuyo símbolo es $\sigma^2$. Después extrae la raíz cuadrada:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{4}=2\ \text{minutos}$$

Esta es la desviación estándar poblacional. La raíz cuadrada no deshace el cálculo para producir la distancia absoluta media. Recupera las unidades y la escala después de que las desviaciones ya se elevaron al cuadrado y se combinaron. La sección de OpenStax sobre dispersión utiliza los mismos símbolos y denominador de población.

¿Qué significan aquí dos minutos? Son una medida de la dispersión de los tiempos alrededor de la media de cinco minutos, expresada en minutos. No significa que todos los resultados estén a menos de dos minutos de cinco: esta misma lista contiene dos y nueve. Tampoco implica que una fracción determinada deba caer dentro de esa banda. Tales reglas porcentuales requieren supuestos sobre la distribución, no solo calcular una desviación estándar.

Si estos datos son una muestra

Imagina ahora que esos mismos ocho tiempos se seleccionaron de un conjunto de intentos mucho mayor y que quieres estimar la variabilidad de esa población más amplia. La media observada de cinco se calculó a partir de la propia muestra. La varianza muestral habitual usa $n-1$ en el denominador:

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{32}{7}\approx4.5714\ \text{minutos}^2$$

La desviación estándar muestral es:

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{32}{7}}\approx2.1381\ \text{minutos}$$

El resultado es algo mayor que el cálculo poblacional porque la misma suma, $32$, se divide entre siete en lugar de ocho. No se trata de escoger entre una fórmula generosa y otra estricta. Responden dos preguntas diferentes: describir los ocho valores como grupo completo o usar ocho valores observados para estimar la dispersión de un grupo mayor. El texto de ciencia de datos de OpenStax muestra ambas fórmulas y la diferencia de unidades.

¿Por qué siete? La media muestral se ajusta a esas mismas observaciones, de modo que sus desviaciones tienden a parecer menores que las desviaciones respecto de la media poblacional desconocida. Usar $n-1$ corrige esa tendencia a subestimar la varianza bajo las condiciones habituales de muestreo. Una regla mnemotécnica útil: una vez fijada la media muestral, siete desviaciones pueden variar libremente; la octava debe hacer que todas sumen cero. La razón estadística más profunda tiene que ver con el comportamiento de la varianza muestral a través de muestras repetidas. Aquí basta con la norma práctica: decide antes de dividir si tienes una población o una muestra.

¿Qué número conviene presentar?

Usa la varianza cuando un cálculo exige dispersión al cuadrado o si vas a seguir trabajando con una fórmula estadística definida mediante varianza. Usa la desviación estándar cuando quieras que el lector compare la dispersión con las medidas originales. «Una desviación estándar de aproximadamente 2.14 minutos» se compara enseguida con una media de cinco minutos; «una varianza de aproximadamente 4.57 minutos cuadrados» es matemáticamente exacto, pero más difícil de imaginar.

Indica siempre la convención. «DE = 2» y «DE = 2.14» provienen de los mismos ocho tiempos; sin aclarar población o muestra, el lector no sabe por qué difieren. Si tu calculadora ofrece $\sigma$ y $s$, no son teclas intercambiables. Elige $\sigma$ para describir una población completa y $s$ para un cálculo muestral.

La unidad también importa. Si los valores están en centímetros, la varianza lleva $\mathrm{cm}^2$ y la desviación estándar, centímetros. Si los datos son puntuaciones sin unidad, ambos resultados carecen de unidad. Llamar a ambos números «puntos» o a ambos «puntos cuadrados» oculta el efecto de la raíz cuadrada.

¿Por qué no usar solo el rango?

El rango de nuestros tiempos es $9-2=7$ minutos. Indica la distancia entre los extremos, pero no dice nada sobre los seis valores intermedios. Cambia un valor del medio sin tocar el dos ni el nueve y el rango seguirá siendo siete, aunque cambie el patrón general. La varianza y la desviación estándar usan cada observación, por lo que estos cambios sí afectan al resultado.

Esa fortaleza trae una limitación: elevar al cuadrado da mucha influencia a los valores alejados. En los datos resueltos, el intento de nueve minutos aporta por sí solo $16$ de los $32$ minutos cuadrados totales. Es una ventaja cuando importa una gran desviación, pero también indica que debes mirar los datos antes de interpretar una sola medida de dispersión. El NIST señala la mayor influencia de las desviaciones grandes al comparar medidas de dispersión. Una desviación estándar no sustituye observar un valor inusual o una distribución asimétrica.

Para verlo, compara dos conjuntos de cuatro valores que tienen media cuatro: $[4,4,4,4]$ y $[2,2,6,6]$. El primero tiene desviaciones al cuadrado iguales a cero y desviación estándar cero. En el segundo, todos los valores están a dos unidades de cuatro, así que cada desviación al cuadrado es cuatro. Si tratas cada conjunto como una población completa, su varianza es cuatro y su desviación estándar es dos. La media compartida escondía toda la diferencia.

Errores de cálculo frecuentes

Dividir antes de decidir qué representan los datos. Escribe «población» o «muestra» encima de la cuenta. Para una población utiliza $N$; para una varianza muestral que estima la poblacional usa $n-1$. Confundir ambos casos es la causa más común de que dos respuestas que parecen correctas difieran.

Olvidar la raíz cuadrada. La suma dividida entre el denominador es la varianza. La desviación estándar es la raíz cuadrada de ese número. Presenta las dos si el ejercicio pide ambas.

Omitir las unidades. La suma de desviaciones al cuadrado y la varianza tienen unidades al cuadrado; la desviación estándar tiene unidades originales. Es una manera rápida de comprobar tu cálculo.

Llamarla diferencia absoluta promedio. Esa es otra medida, la desviación absoluta media. La desviación estándar primero eleva al cuadrado, luego promedia según la convención poblacional o muestral y al final saca la raíz cuadrada. En general, esas operaciones dan otro valor.

Redondear cada fila. Mantén las desviaciones al cuadrado y la fracción exacta tanto tiempo como puedas. Para estos datos, $32/7$ da una desviación estándar muestral más precisa que sacar la raíz de una varianza ya redondeada.

Practica sin copiar la tabla

Prueba $[1,3,3,5]$ y trata los cuatro valores como población completa. La media es $3$. Las desviaciones son $[-2,0,0,2]$, así que la suma de sus cuadrados es $8$. La varianza poblacional es $8/4=2$ unidades cuadradas y la desviación estándar poblacional es $\sqrt{2}\approx1.4142$ unidades. Si en cambio los cuatro valores son una muestra, divide entre tres: varianza muestral $8/3\approx2.6667$ y desviación estándar muestral $\sqrt{8/3}\approx1.6330$.

Cambia únicamente el último valor de cinco a nueve. Antes de calcular, predice si la dispersión aumentará. Aumentará, pero vuelve a hacer las cuentas: la media también cambió, así que no puedes actualizar solo una fila de la antigua tabla de desviaciones. Sirve para ver por qué media y dispersión deben calcularse juntas.

Los ejercicios de estadística de Math Zen vienen bien después de completar una tabla a mano. Úsalos para practicar cómo encontrar la media, elegir el denominador adecuado y comprobar las unidades de la respuesta. Si la distinción entre muestra y población todavía parece abstracta, nuestra guía de probabilidad explica por qué una muestra sirve para razonar sobre un conjunto mayor de resultados.

Preguntas frecuentes

¿La varianza siempre es mayor que la desviación estándar?

No. Sus unidades son diferentes, así que compararlas directamente como mayor o menor casi nunca tiene sentido. Numéricamente, si una varianza es menor que uno en una unidad elegida, su raíz cuadrada es mayor que la varianza; si supera uno, la raíz es menor. Cambiar de unidad puede alterar esa comparación numérica sin cambiar los datos.

¿La desviación estándar puede ser negativa?

No. Las desviaciones al cuadrado no son negativas, su suma tampoco, y la raíz cuadrada usada para la desviación estándar no es negativa. Vale cero solo cuando todos los valores observados son iguales.

¿Cuándo se usa n menos 1?

Usa $n-1$ para la varianza y la desviación estándar muestrales habituales cuando la media muestral se calcula con esos datos. Usa $N$ cuando los datos constituyen toda la población que quieres describir. Lee el enunciado antes de tocar la calculadora.

¿Cuál es la forma más sencilla de recordar la diferencia?

La varianza mide dispersión mediante desviaciones al cuadrado. La desviación estándar es la raíz cuadrada de esa varianza y vuelve a las unidades originales de los datos. El ejemplo pasa de un total de $32$ minutos cuadrados a $4$ minutos cuadrados de varianza poblacional y, por último, a $2$ minutos de desviación estándar poblacional.